哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
% s( V* o+ D- i1 ^8 t2 ^* l5 W0 i    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
5 f3 X2 q! K6 f1 i8 |$ L* x已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
7 h  o9 d+ ~3 {0 m它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
: p9 f! k9 s3 X7 j: _将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
& W! q% r! K. R: h/ A则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
' L. B6 |0 I! E由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
9 U6 A4 C4 U; R% a9 @* Z' P即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
+ T; n: e" Q* E2 W  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
' E& A: k* R% A; o5 x, h2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
  v# \- j: z2 P* B5 R7 U# q5 C即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
+ F  g2 Q) z7 J! ~2 S用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
- H8 G; Q3 Z6 H( R2 h4 Q' H9 iPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
; K4 _3 G6 D/ ^即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
) l: ~1 W( r9 S+ ^  i8 J例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
: q4 L7 b5 s$ N% b8 w; K2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2 ^0 Y3 e/ X* _& I) X2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
. Z; a  A! N  p$ E4 x: H在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
) e  t6 q% e( M代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
5 d/ _" a, Y* t3 ^( W5 ^( G5 P! s或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
5 H7 t. S% P3 }9 l2 P从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
; C' J+ r: a( j" L1 j* J由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
7 V. L0 j4 A$ ], M- P+ b  J! j4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
5 g0 [# ?% Y4 l! Y. [由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
/ [* b$ |/ g3 f+ }# y（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
# G! F. }$ g) X' c1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
: J: R( A2 p" O" R  Y) x. p; |
* v3 o0 ?" l3 r8 r得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
- B+ i; u) K9 a6 v) [5 l' R若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
2 d8 U" q8 g- q/ B% k同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
3 d) R8 T1 A' j" D/ P5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
) e+ [3 v% s/ T即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
3 F/ `2 o% X8 B2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2 {2 m1 t4 Y! I2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
& D0 L3 M! P* ?& iM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
' B2 l& M1 L& b$ p2 W+ E4 c3 IPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
; W$ \$ ^/ [0 I* ]) k) K
# O8 F  f! ~! F1 s由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
  |/ w4 H5 Q1 d# E3 e( c+ f# M  [Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
5 \' L& z- c4 t6 dPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
% y2 F' n; U3 |" ]4 k
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
/ X, B2 L" b6 y若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
+ ^. S' W  ]2 \. b- I: s代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
0 v" o9 ^. }! V& [（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
% ~0 B- Y) X) nPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
0 H' x8 a+ s. ?6 p/ b5 E; _9 @9 M代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
# b: A$ \  \& ^4 ^' Z( M$ }" M7 k或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
) g% i7 G$ Q' {0 _/ H% w由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
: n' ^3 p8 Y8 h$ b) ~* g设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
: }+ c4 R6 [- r" ?: @+ L代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
, _$ c) P, E' {( K或Pn*+Pn*+1=6+2n
# f+ G' T! q. H% \2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
  q* q: ~% J( g! e: C7 \在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
6 \9 t  M5 @1 }1 f代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
5 }7 C! L. d* b7 `! {5 o4 D若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
& q6 \% i( {  t/ Bn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
' I* V: K# \1 r/ \! h" q# V4 V2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
- O* K$ _. P$ d  Q& o3 A' ~. t将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
% R: m5 X! b9 J: P3 }Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
9 t( n! G0 M# e7 Z  Y. b: A* n四，奇质数定理三的证明
7 a1 A$ j4 g) M" }- |) g（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
7 w4 C2 Z. a/ h0 A. I. z2 ZPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
+ l8 F" s1 f, h$ J4 @. q- i3 D# K由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
+ Y% |& _1 r5 |/ d- h                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
. N" d. Z/ I) d( @3 W, o* ^得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
% P6 y$ I; d- C6 Z5 g, m) F( n     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
) H% E4 p; I4 Y     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
: T$ f- K4 Q( ?. B6 \0 B+ y% o     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
' |. x3 `- m0 a    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
% m, B& [+ j3 w( u; t0 Q' k    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
$ X& L3 K( N! R- w; b: j: CPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
& e$ A& }7 |+ s 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
& ~: n! j( i+ u" x9 S1 Y& {; a即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
$ c8 j$ a) I( o存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
& l5 V* f* S/ J! D+ R+ h" r$ T7 q5 S1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
# G( n! v8 M: r  }; f' K第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
& x1 y4 |, ^5 t; |                                             =0+3+4+3=3+7
$ O# g- O& _6 O1 _4 f' z                                             =0+3+8+3=3+11
) O- T* R( L; b3 G! c5 X                                             =0+3+10+3=3+13
" f" S3 I+ F& w+ H4 O3 E- a8 N                                             =0+3+14+3=3+17
5 N  S+ N) I* L& x3 c. C                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
# T* z; |# Y8 x6 D, \# p5 `即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
' P+ Z( h) a, B/ z) b$ z% FPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
7 D* J" N2 g0 |  W* D            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
) N/ F( O) l6 X( p- J: I            =4+3+50+3=7+53
' v3 S! |7 F- v! e4 C又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0 _# N6 u1 N7 r$ t6 T0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
: K0 l& p$ R4 O; i  |; x+ `! R它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
, j7 C" h0 R: k+ n0 F; d2 G( r综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2 T0 n" }( g4 d. Z2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
3 @% M1 x2 _* a5 S) G0 @                                                   =n+3
1 k; j, [; W: [% f  B& A                                                   =3,4,5……
( D1 R* Z- l9 q0 s+ s( i即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
& W+ l( @' L& Z" G& P8 [2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
* E  V" u% E8 d- I- A      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
) b1 \9 M, v! V! Y/ f6 SPn=2n’+3   ……（1）
9 B. n8 i0 W; `2 A5 U! u% t. zPn’=2n-2n’+3……（2）
# x) \3 c  S, x0 d& Y2n=4n’+2n’’’ ……（3）
+ ^) r: \& S' Z7 x, N上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
/ r( p5 H& m5 @1 t, u2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
( Q3 @/ G+ r, l, L  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
( x- n' y( o5 ~7 S, L% w, ]2 Y  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
$ {/ _+ g) i# b3 i& V5 C( d5 q8 W# k; ~  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
1 M% h9 K: {: y2 q* D  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
0 F" `" S  m" E# O' @! K4 wPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
1 `( a/ I, N" L2n=4n’+2n’’’ ……（3）
" a+ b, f5 V, Q  G6 [/ B①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
( d, c0 g0 F& d% T) K②解方程的步骤
+ S/ _& q5 e; f: B( P设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
' W) Q5 ?1 q* A0 `# b2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
8 m! M: k. d/ D% z: w, f1 F9 t得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
* X; a) B6 u, {/ [/ R( T6 MPn’=2n’+3+2n’’’
$ X& s3 P) `" N+ L 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
: J. n. a8 V$ R* g3 d即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
# c  u1 M5 ~4 u  a即Pn’=2n’’+3 也成立
2 m. X8 u9 M+ ~* l0 ~1 T) v3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
- ?( `6 G( Q) C5 v, x3 `  N     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
# i& }+ \9 M1 M  [. o      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
) ~( T6 h& r. p) P3 j      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
  g4 `9 t* p( ~0 r      12       8        4         4        8       7        11          18
% e- ^' {  d" }" v- }0 Y      14       8        6         4        10      7        13          20
5 B/ s; w2 K7 D0 \7 }$ l% T$ h      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
! ?' W& G$ ~4 o0 Z3 X$ }     92        32      60        16      76        19        79         98
& x9 n! U/ Z0 a5 I1 o     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
: I! }3 h9 ~. E& @" J, `     122       32      90        16      106       19        109        128
- d& v2 F# M: R     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
1 w9 ~$ R: J9 E/ Z) \0 J6 z 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
. d, @% W" Y4 n由上述三个特征得到三个定理（见注2）
6 U" W! u$ U7 c" |) M' }即奇质数之间的共同规律
! `& n( Z  t1 H+ A/ Y) F% ?, n2，以上证明涉及到五个问题
  F! o" C' J# {/ B) v8 w% k$ M# | ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
' h+ j3 R$ K/ j, ]: X# N③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
) {" ?6 v5 f8 f, G0 \( M+ w. o! l ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
7 r, b" y8 N: E" b" m! t公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
- K" d7 v, b! T4 N8 y2 b3 {如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
  Z4 c2 Y: E- P* z) U  T+ W: i, |这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
  p0 c" t$ n2 o7 |( T3 N因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
7 i' x6 Z9 M% `注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
! h& [4 C! i+ Q' qPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
; s# O7 M4 q* L! |, f. M即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
0 X7 L. f: z5 d9 {! s$ I0 F8 R由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
% T  m5 o- W0 z! s" p则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
& Z: z. P( z$ B# M( _# o7 P得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61

( m5 z7 e8 D% {( A+ N  W) A% f5 wPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
/ _6 H6 O9 C1 T! E0 N6 CM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
. b# K$ s. \9 V2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
+ d' m5 |: o& W# a6 v' P! o/ i由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
* e) \! A' a2 @. x& n8 ?Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
- L% N% s+ I% A2 o. O/ l7 WPn’        3        5        5        7        67        67

1 K9 l; D' S3 H注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
& I. K6 j5 g% p$ e3 U4 B式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
* f' {3 F1 }( Q! D0 J" g3 I# K                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
: d9 }5 P0 w7 ^. l! @% A7 I$ t( {: w5+7=3+2+5+2=4+8
( j( g. b% H* x$ S) }$ B' c7+7=5+2+5+2=4+10
* B5 @, M# F3 H1 ^59+67=57+2+65+2=4+122
: k' N3 Q8 W- Y61+67=59+2+65+2=4+124
( I' r& K' b( L2 I2 j: o, w; b…………………………
  G/ b  I0 c/ K( t+ u" C& g3 v- q0 d在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
: E- h1 `5 a( D) v$ R8 KM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
0 i* |$ {5 t5 J: Z0 A: a# U7 s0 Z =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
6 y+ B7 n: u/ [1 \( Z& D5 X4 T$ X再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
3 J8 d' j+ \- L) \5 ?笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
3 x* f! J8 e! \9 |8 z& q; b邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


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