哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
/ ~; H! J) t& |9 H    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
1 P1 }  U. E1 g' ^! T& j它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
" [% J$ e3 t6 ]* O* T* {; x以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
' n4 g+ F; m9 E: V. q3 w7 N" |将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
. d" d, Z6 Z$ b4 w. R& E( Q  G同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
% C4 N) s% Z: Q  b% F9 O% I% U由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
- b. s4 {% [% m0 j/ p即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
* _( t; I) S# m: d! @# ~  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
9 j6 |, V$ n8 s' D/ K  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
; V. h6 M) p% k) a  q) R7 w$ }即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
% {- q  G' Q( {* ]+ F# B用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
" Q* Q* C  I; d! C其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
* }4 R0 }+ v: H1 ?* G9 j4 r这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
: g* c$ N, F) D# m* v$ H" V2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
; `/ Z$ r  y( m4 f. E& s即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
* A! u' O9 Y& w! c0 f1 V; u" l又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
8 Z% J" A5 }0 v5 m3 P3 v, u: f即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
; \& X1 t* n( {0 P( o1 M或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
% a8 \$ `8 W1 k) C3 O2 c( q由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
. k" O3 ~  P- k由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
( ^3 Y8 O5 \, y1 B: e4 C( q( R二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1 Z  ~+ K7 a9 D% X* K3 n1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
: k9 y( g1 a) n- W同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
: r, X, s% m( L+ U在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
4 w4 i  y0 b5 g（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
- r. B; |3 t, N4 J即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
# b  v3 g( O$ @/ r! J  r设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
8 ?& D0 P8 w) ?例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
; ~9 r7 T# ^7 ^, e: G8 ^4 Y: gPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
1 C5 x! C& d4 x- x' H4 m% R" [Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
, `; @. C# Y' B# ^# uPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
  o+ m' @9 f: u  X$ c' ?
! `5 F) z- i9 F- H4 G由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
" a% K( u4 Z: d5 N然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
; o2 I3 j4 M# D已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
2 s8 w1 F3 u% m0 m5 [# EPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
% ]3 r3 U7 w) {0 h5 M/ a若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
  U5 C; u& y3 i+ Q9 Q" V. X% Q若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
+ ~, f" t$ d7 j9 F! h- ^4 R( aPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
! q) {7 r, i' i3 }0 N! z2 c代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
1 w' ?5 c) o! h% P  K2 g或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
% W& q/ x0 x/ {4 P. B  C5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
: w5 @& g) {( u* Q0 Y/ R( P3 c. o5 v代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
+ n; a) L+ f# s3 V4 F代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
' \7 d9 `. v7 E- ?+ u) h同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
' }# h8 T/ P* J2 nn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
) Z9 O$ a5 f8 N# a: x2n’=0,2,4,6……偶数集
6 V* ?- l7 o* `' R/ J+ ]n为奇数  2n=2,6,10,14……
* d7 x( U: O( G: y3 F- h4 e+ P% J6 b4 }2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
8 Z' z* `. q& H9 s5 Q将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
6 I/ _0 r& p0 @) w* b四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
6 V7 \/ ]9 v' J) V0 @! g1 ZPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
0 X! R3 h: z; r( _0 t或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
1 C4 P( m1 D) S( A（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
  {( |) Q: b5 G     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
6 Y8 v1 J( n: ~4 p5 J' K     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
" N* B5 A& w7 S+ [( h& [& y% x" l     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
8 a" \9 L; s6 e; q: C( b) [    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
. T" ~# d. k/ j5 y! G. ?% p    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
7 h  D7 r: f- n; u5 ~    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
6 x$ @# t$ t8 h* C: o- qPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
, q. X, h/ ?- K（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
" y7 K+ D  N5 m5 Q即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
/ L- j1 |4 d4 V+ e$ [4 v存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
$ Y0 M! F6 A" T' x# l( H由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
, p9 H) r/ i, g$ x/ K五、质数表示式的证明
" o/ K2 `% W+ c: n1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
' V2 k+ F' ]! u( F# J& @* }                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
9 h- b+ q  e9 m" K: Y& L& y                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
- s4 I9 j5 @9 ?6 t, n0 M( }! }. c                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
1 }* c! n1 {" e/ b( U- u, `* p这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
# X$ P# P$ _' [! b- MPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
0 |! j# S+ o* h      =2+3+16+3=5+19
. m& a9 i4 T$ ^8 N/ F' V      =2+3+20+3=5+23
3 ~' I6 N( S4 A3 @( h7 @. C2 U第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
) B5 N& A/ _; E5 s. o            =4+3+44+3=7+47
$ b! S" X9 q2 h  T            =4+3+50+3=7+53
! `* b3 E! e5 u又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
% j6 M, i( S3 M7 n* e7 r* I它们的偶数公由数分别为24，31对。
4 j! P2 b* l& J. m- C6 r, _& r7 U, d2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
% D5 L1 I* u9 i- E                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
$ ~* a  z+ x8 o5 e" s1 J2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
- `8 S, m4 ~% B& Q" }9 _3 r6 Q* z                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
/ k2 L9 |6 t7 `7 n  D即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
* x) p7 x$ H3 \! P/ A( i8 ]2，质数表示式的证明
+ B6 \) {+ }5 v6 K+ e(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
) F+ ?( e1 D6 k; ~得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
& E. m+ k! J  N$ Q/ M3 Q      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
0 ?- s" v8 [' J3 ?! i4 [2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
+ f7 c, c! x7 O3 X0 X; `) b3 l; PPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 E+ |* r( `7 O上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
% V. S0 ~/ e) [' l; ^4 H( W- x2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
6 Q" A2 h+ h# H& q3 S  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
: {1 x- T6 Y7 A1 K  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
' ?: t9 j# a. ]. @% d& v5 l, d: BPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2 F* D! b5 V; C# A# r, o2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
6 Y$ E- j1 U: N9 Q. u# d( y2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
$ S. p$ N0 l/ c. t1 L: c: n* f5 k设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
6 e6 s7 h! b8 O  z4 w# z- O% j③证明方程组成立
) ?( q4 `  C+ T0 j( q5 P" k即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
- e6 m5 c, M0 t2 K& [2 z: L4 t3 x已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
, l6 l& I3 |1 ~; b* s* w% z又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
! `5 m, A* F) E即Pn=2n’+3成立
( |0 ~5 O4 J, U0 ]' }) s& x3 ePn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
7 r" K1 v0 x2 N# u+ l, i! c) I, r已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
7 G! b) @  B: I/ G则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
: w: a% v3 e  k' u* q% Z: L" k已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
1 l- ^  u0 ]" w   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
" T; |1 h1 L+ Z7 h, u' C      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
/ b* v$ i  D7 G) N( f      10       4        6         2        8       5        11          16
2 p4 s7 G0 o* d: A2 d      12       8        4         4        8       7        11          18
9 J* r. U6 x8 f8 H+ B      14       8        6         4        10      7        13          20
; e2 l  g# {1 H* I, u      16       16       0         8        8       11       11          22
4 ^% q$ `+ y7 s- `# r     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
3 ~% t! W  y& I" A     92        32      60        16      76        19        79         98
% s+ ~7 b1 A$ |. v7 `* d9 P' A( q# D) \4 l     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
( A, [: b4 l+ i     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
" Q  a  {9 l7 B7 M  A! A: P     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
- r$ D0 K7 H3 B/ c4 r2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
7 R& [0 x6 `' F1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
2 X; W3 s7 G  D' C由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
$ E! p! O2 E5 \6 W! @3 H# p1 b ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
/ o( c: Z: O2 j ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
* ]5 F( t9 ]0 `9 M3 I4 |③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
/ ?# `: v1 h9 J7 w ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
, O3 a0 \: W3 a. q9 d% h8 t3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
0 |1 ], Z/ n# D( [  |* @7 n因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
# W4 a5 A+ A: k! Q  X7 Z4 a* O 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
8 W% u" r! P& B+ O; t. O   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
& j+ Y5 Y3 D! J# Y: O" [$ }2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
0 r. Y* x7 _. `! t9 z' n+ Y注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
8 Y& _7 W  r% r* j  `Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
0 p$ J/ O, }& Y8 ?$ \由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
: `4 U. x" r( G  AM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
0 |1 F6 p" _2 L则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
8 s# t4 p0 p8 D例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
9 W+ w# P2 [& ~2 l8 @: n2n’        0        2        0        2        8        6
& D7 ^# s7 a' ^( N" Fn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
8 f" i& j8 |2 c; B( n7 A! q/ wM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
' X( b' {9 q; z8 @2n’        0        2        0        2        8        6
% c8 W+ q5 ]! @! R3 On’        0        1        0        1        4        3
5 y( f" i( o3 @! u" v: M& QPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
; F& R( Z% p& W
9 |; M, g" ?9 S, {注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
1 s# {+ T3 n2 |式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
3 c( n8 {/ T. k" _* u: K例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
' s6 e3 _' L: s2 l$ P+ @, S& x9 V% X                                          3+5=1+2+3+2=4+4
" W0 c; T) K3 t& n. S                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
5 N" L+ w  M3 ]$ g  g9 B- ?3 v$ y+ V7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
. ?$ V7 [; {$ ]" Y; ?61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
( j. r; O1 [( S" T& y若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
* a! [! U! F* J# h! R1 n# S( ^ =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
: T9 d# u, D0 ^1 [/ ^- q再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
4 |4 q8 l$ ?  D6 R即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
; {+ I0 R& y, z" C* ?籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！