哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
3 Z) f7 c4 V. p  j$ F    一、质数表示式
' ~' D. _: W, N9 m9 V! {: ~  ?1、质数表示式的由来
1 }6 l1 A* V5 o) y( R已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
3 z: I; A  a  F- P8 i它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
* }3 v3 i; J1 k- x. r将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
5 n" c9 X5 N8 W8 N已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
/ ]- a4 ~5 P. F% l; A1 a  J以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
4 T# }4 A! Q: p: E; B/ C$ w" E则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
9 B& H6 B+ M7 P) p即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
& l6 [" m4 f3 d; L同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
. m5 Y1 K/ E, J- J" i* f2 }* m由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
7 y- e) a6 t1 E3 Z7 X! u3 u即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
2 ~( G! {/ e2 ~  Y9 g' _8 ~ 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! ]! O" K/ @$ D  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
* L5 @: Z7 R  h# ^! j7 C由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
0 n4 m# u  v$ @+ T均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
, w: o0 E4 C4 ~9 B8 K  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
0 S6 {- }1 H( }& Q) n+ O" c设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
' m' B2 d' X- Q5 c' v用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
% d" O; u/ q" q& e) O8 \+ hPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
' R# X; [: u2 ]2 K/ i; n; g                    
( r/ l& e8 f. R0 O其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
, K4 ~& R; X( A) z这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
6 F% b. h& }5 n" f+ J即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
3 ^; {3 }: D, }. H) ?  ], ^例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
: H0 P! i9 M& w  ~; i* T2 E9 V  s2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
. c: {: z  z! G. r) _即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
- _' j2 ]. [; n$ G在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
7 F5 w6 g! t5 {0 T' t, ^代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
1 V6 f9 H5 i/ \7 V" u( B# ~代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
+ x2 `& }$ D( p7 z4 C; Q即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
5 X" J. G- a7 d或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
) R  [0 Y: c- N6 C" h7 _4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
8 R9 m, R) f% q+ a由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
6 V( @1 S% O* }8 R二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
0 [* @6 t1 _5 v" }8 Y7 D& [+ o
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
' o7 B; c/ g" I9 ?7 M/ C同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
( w. b' y! Q# p# i0 ~9 F即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
9 B& @1 J. G2 j; f8 [6 E5 a5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
# z7 }+ U9 y9 a& b- [1 |1 m8 H2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
5 D- G1 f( E$ O2 o, L5 K, |+ sM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
0 b) n2 B: R# P- S% Z- @7 m因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
7 r6 Y8 ^2 d4 K0 c& ^: \2 F+ S9 B4 I则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
  k6 G# P2 i4 c# L0 Z+ {! i" P(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
2 c0 B' \/ Z; O8 E4 CM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
, k' n% Z+ k* i# A) G0 bPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
' ?, i! j, X/ Q0 _/ D1 B% S' K7 N1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
/ P7 M$ P5 R; d% Y% F" q设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
, f( f( P9 C8 D6 v7 v9 \若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
9 Z9 ]! W8 c& N2 K代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
$ `+ c+ P2 H6 `0 O4 u代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
/ [/ M: s$ F3 f$ d或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
( l8 r: z3 M# G4 n5 k' {- Z% G当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
# ]; N$ x1 O% b4 H* B5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
. C  O& h# H9 r2 Y9 Q或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
) c1 p6 Z/ _# }+ o* a3 \8 w即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
; K- Y( X) y+ w/ j1 ^- l9 ^/ T在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
' U% E- G8 p; q) U7 L% m8 {  ?# n' B代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
0 G6 Q- ~& o2 A- A, u) J2 z) ]若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
( d3 V7 _& A' c! A: B得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
6 E* o$ ^/ i& J: b4 Y2 \即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
% e% m2 W, b0 P. V7 ?4 r' j$ j2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
0 Z  Y0 a. H- o% p' i( @; `8 i) Nn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
  Y! t2 k" P$ ?: R. F4 [2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
+ Q2 a# f0 \! ~7 t$ K. `8 y" K5 o将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
4 z. s( q: i# B. l  gPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
: M5 d4 p: G2 ]2 l四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
+ Y2 W# v$ Z$ M0 {2 a4 Y' ~1 c, z' r又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
: N8 t* V& P6 {2 oPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
& T6 r( o. y. h（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
0 O$ w! m& P0 I" u6 ]得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
7 Y9 E5 x; ?2 b1 z" C, v/ `     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
3 n# @8 S0 B, F0 R5 q5 c/ H& P     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
% V1 Z$ z$ g0 n4 q- ^/ y; q     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
8 S7 X0 g* a  z5 h( u) o    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
" X2 H& V: Y1 \3 Y      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
' p( f9 |* O' H* C0 M: Z/ G; r9 I. i（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
0 |: t6 l* k) W1 i8 P$ @第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
4 H! b. R% c6 H* N! {' f# R                                             =0+3+8+3=3+11
$ U! C) X  W, j4 p& \0 I: C                                             =0+3+10+3=3+13
! I2 ]: g1 v# C! c4 }* `, i' c                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
+ P8 c7 C" U- N4 N第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
, @! D; T) J4 n1 }这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
) d. X3 O8 S0 I, J      =2+3+10+3=5+13
; Y4 W$ B( W+ B3 S  R, X, W      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
& m5 g- u  N, e$ e" ?第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
7 C9 j' d8 t) \3 y% s8 |: K5 I' C            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
& u4 D( d, s4 Q1 o: J            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
  a0 |! \  Z* C0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
/ ]# v, }/ L  [; k0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
2 Y6 C) F( U$ `) p/ W. ~它们的偶数公由数分别为24，31对。
1 ]2 A+ N2 k0 c5 i# r2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
  \. {6 u& y5 Y# }% `                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
3 k0 O8 I/ F3 [- P% W8 Z                                   =28+3+94+3=31+97
% D) e9 j! M. }  c                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
. ^  j$ v2 h4 G# f                                                   =n+3
( `" k; K9 h4 X2 c, F. |1 |+ J                                                   =3,4,5……
5 i$ x2 j& K8 l- \) j5 b% }9 b2 ?5 Z即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
, i0 ?' ?) ~6 W' [( C9 P, n2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
5 m3 p4 ]! {- b6 X设N=2    2n’=2n  代入上式
. p+ B) j' G9 M! |# P得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
( B* b8 \+ m7 }, a+ z/ x又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
# Q+ T5 f  i- L2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
6 ^: V0 v6 l9 D% lPn=2n’+3   ……（1）
/ d3 i& |/ y- L8 f* PPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
& H, f% z8 M" R! V8 J& t上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
! v- l+ B7 e6 y6 a- k+ y" k; f2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
+ E" l8 a! |0 W! A9 v, Y  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
( q2 {8 z& j$ V4 M  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
1 K$ G* {5 i& r  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
! V" v3 r/ U" A（2）方程组
! u% i8 W% M. q$ jPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
9 p5 A( `3 f: `8 m2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
. X  M, {& w, h设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
/ u7 Y6 e3 u" ^- U. V2 E% h③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
% t5 s3 ^* b9 ^' j" U# M; o又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
3 @, C6 f' j2 {8 `3 t. F   
$ Z, H( {4 F) {2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
( P  u7 ~3 }! J# E* hPn=2n’+3
6 J9 I+ X; k5 N" _2 ^1 rPn’=2n’+3+2n’’’
7 _1 [/ q, Y% n! u0 N; ]& F+ Z 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
/ }/ I# L- V' v! g6 r2 y0 WPn’=2n’+3+2n’’’
  _( H+ J4 M. _9 Q  =Pn+2n’’’
% [- L) K0 C. @! @) B+ q  =Pn+0，2，4，6……
! q( w: X1 g$ P, W3 |% ?已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
1 O7 m5 S$ j% P+ a3 X! `已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
; V! S3 W( I1 d! F6 t' p5 K* ^   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
, I. X9 c- O+ w) b: o, V      4        4        0         2        2       5        5           10
, A# Z; R6 k) E" a5 @  ]  Q. I      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
0 k0 y; T$ p$ _8 P4 a      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
/ [/ Z2 o' _5 Z      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
- p, ^( f' [; Z, E; Z5 @     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
! z" T: [/ H# s! ?4 t# T     92        56      36        28      64        31        67         98
. U2 T' t2 `) N" y     92        68      24        34      58        37        61         98
  Q/ \  v$ k/ @- B- K7 ?& M; ]+ Q     122       32      90        16      106       19        109        128
, J; f' r+ ?4 C7 U; t, B7 N     122       56      66        28      94        31        97         128        
( \: v* {! {0 ~& v0 q1 u" T: ~8 v     122       116      6        58      64        61        67         128
% @9 @) l6 G5 t# \# _ 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
' ~+ z3 G0 v( B9 m; T! j/ S' I(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
% @3 l; [+ K+ I0 Q! p6 I) C  [(3)，它们的分布是不规则的
1 Q3 ^8 Y) Z  j0 B- D由上述三个特征得到三个定理（见注2）
: Z3 X& N( x: _6 i; I即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
& H5 h) o) i& m1 M' @( Z ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
' E! I8 w9 }$ S. Q4 t③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
" @% i0 o' c! B) D1 Q6 q  p+ t- T. n如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
% W: k/ o, h; u. D又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
/ F# u+ s+ |/ _０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
3 |! J$ @& \7 A# g# E! A+ I因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
: T, d5 C) x( }. \ 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
8 C* _# A8 t6 O/ }   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
/ ^4 X1 ~3 F) g) g3 h4 T, j) B. J2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
' c: w- _* p5 O5 {+ N1 g$ t注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
- m. a' s2 i  Z3 ^: ~6 ~: p下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
) ]2 z# C; f- X) h' e则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
$ `- `, N, V" ?, h* U: FPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
2 o7 N) A; N& C8 l即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
1 c8 G  j) a+ o3 f+ c: J由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
, \+ r* d: _- N& x. K得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
' n+ }1 w; H. i2 j- L. _$ b例
pn        3        3        5        5        59        61
( h( h4 {: J" m4 N7 }4 e- m
Pn’        3        5        5        7        67        67
) b8 s+ N( B6 _! i$ h1 Y+ S8 F- _2n’        0        2        0        2        8        6
- R3 r  H: \! A$ g8 U  @7 vn’         0        1        0        1        4        3
- k& j4 s* t" j1 z: kM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
6 g" v! Q3 O  e+ _Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
" Q* O1 h* P, f+ s9 M) ]+ ^M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
5 W5 l8 r" l3 _0 I! C0 S0 j2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
& M4 j; C, w: @n’        0        1        0        1        4        3
+ ?1 k7 {$ B5 G0 R2 Y" l9 ^& CPn        3        3        5        5        59        61
0 r% N( T. ~6 B# a1 K- ePn’        3        5        5        7        67        67

& e- L0 u4 g" o4 q8 H注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
* I2 T1 [9 M" ]- n0 ]* L0 m, n4 F                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
! R4 S/ B" K9 T1 Q. Q                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
4 a- C) y. v3 f7 o# a7+7=5+2+5+2=4+10
9 v1 d7 }" i8 S- a1 C59+67=57+2+65+2=4+122
: f: I4 C& }1 u61+67=59+2+65+2=4+124
5 b" l. w! }8 S; T…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
' M5 [( N7 s0 ]5 \当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
1 n6 b; T8 F( |; r, c  w若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
. x& R; n: u1 fM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
0 s/ ]* H+ I/ l8 V# o =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
0 C  V" M2 J; R, C2 O0 M$ |5 J: a/ M再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
3 E# m( \2 D1 B2 @' t即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
! u$ e. x2 j7 y( n3 s7 l        2011-8-6
! ^% C2 }' `- l  o6 b* y& A1 P# A通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
( J4 @2 F( r4 L; F/ m6 R2 ]籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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蓝色琉璃

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wangxun2010

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