哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
5 q9 l) y7 O& h    一、质数表示式
5 q0 c+ ]# J5 v1 Z2 f1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
0 T1 Y' k! d1 ^& A& t已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
6 w% K, l& ]* b/ \以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
& A, g/ U# V/ b则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
- D- j$ _7 G. I1 v) d: @3 Z即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
- U, \; @, ?2 p8 d$ f由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
/ m# A$ f( z: ^" ]: b6 M/ i/ v即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
" S! j( x" G: n+ Z6 l3 G8 ]+ f! S  J（2）式为奇质数表示式
: H* a4 u, L( P9 u6 T+ p' |( y  V由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! I1 R; o; m6 ]6 Z7 O0 D9 ?  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
) s0 \4 J1 {1 C  b# x  I  U由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
( m' _. s' i2 R均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
% t) h+ l& u% `2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
- \6 |% J$ ]) m2 P( b' S/ X设2n"=0、2、4、6、8……∞。
7 l4 z5 ^: m+ w/ C9 M" a即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
2 G! x3 I# j& e* h根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
( c! ^- S, g3 z! R                    
* n! u0 v5 l/ \. [  w+ G- P2 k其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
" B' O) j+ v% [2 l0 f" \9 l这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
/ e) R4 ?* T5 Z/ ~2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
% t, P3 k2 v4 J3 P4 P6 l1 j4 y2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
! V! r3 o& H* ]0 C  }6 ?; ?3 T3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
, r! E7 B$ D7 I/ o( Q5 A5 M在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
0 E/ H8 u) A' Y9 K代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
+ ?* s% m8 R( [  l0 I在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
7 t/ |5 m0 W( e/ Z% p代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
- W2 _2 S  R+ G由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
. s5 ?: D5 z. H0 R+ \6 a1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
* n* _$ c5 W: J6 D  }/ U
# @6 u, c: v3 V$ K! E( W  k  G得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
  ?& j7 E5 B2 B7 X3 |9 h+ _若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
5 P4 z' ]4 @$ U. F6 A同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
1 X- o) p& |+ _; q& h& e: M（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
" [! W% r* c1 J8 q& @7 k$ v即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
, N" H; [! I( \0 fn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
' m* d6 `8 `" F+ b% S2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
6 r; n% A& g' N6 r2 i5 |" |M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
4 b0 c3 M$ @# k2 X; y, vPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
0 f$ e. ^8 R5 l, m3 SPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

! \; V, M! _4 S由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
& |, y& i, V& |9 ]( V$ U5 T根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
% Z. S' o& ]; Z4 ?' A2 B然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
+ g3 y: q0 B, p* a: g& _已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

8 X' w) k8 m1 A6 n       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
3 e! ~4 z& l0 t0 {三，也可以这样证明
/ Q$ o- w- {3 K) C6 L+ R) g6 J% E' q# u1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
) V7 F; H: Q! D1 R- r# ^" I设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
6 P2 I- \+ z8 |6 e& Y代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
& [. j/ C5 D+ G) D（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
1 k8 u  d& _/ y6 [/ TPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
6 w% ^8 f' s# t; K% T1 c或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
& B* n( ~0 g! ]" Z5 R由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
  X: Y* |$ a& E- X* J6 g" _当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
. e2 ~/ _& \4 D; O* ?4 c设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
+ \1 c5 g5 S2 J即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
* I( h8 M6 ?0 F& N在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
" p% K4 k' ?1 \代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
  l' d6 C) ]3 y9 f2 p$ U4 T设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
' s1 f. N9 U) e0 s6 `8 J3 }6 Y5 p  s若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
$ w3 n) t+ O6 i4 V得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
4 @- L' U* `$ q+ W6 `& C# Y: D若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
7 ^6 p5 Q, X1 y: T. d8 b5 N0 N即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
& R$ e$ \) v$ F. Vn为偶数2n=0,4,8,12……
$ `! W! P/ c8 p6 K( `2 f2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
& T7 Y+ Z4 k! w1 ~" r* D$ Z' En为奇数  2n=2,6,10,14……
. w/ w# }. P( u; P8 N* t2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
6 \$ p5 H# C7 }5 x; r9 C2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
( }/ X4 P9 ]7 u4 E7 Y将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
% v" E2 }" U; F; Q  q6 mPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
* k! ~- x7 U" r. w/ O* VPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
: f3 F. V7 |% A或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
- p/ b8 Q: f/ O, C* q7 v（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
, F) j" a" g: m; E得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
% G7 h. w$ R3 D- I9 @) H  j     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
: c: {& [5 B, x, t/ _% p" r     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
' X( L/ S6 w# G6 A- F" a5 d    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
( g9 N( {5 v5 t0 Q" G4 U- s    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
! ?. k/ f2 j; k5 L    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
8 F1 n- h$ q" Z$ B: D; j    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
! `* q" N9 t+ s6 sPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
: c4 A8 A  D: G  p9 g      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
% e" M" L0 e: H% j( I即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
/ g# h& B% B0 E+ T0 r4 R1 w存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
- b1 V5 U% U4 u6 H- X' B7 f& X1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
) T) s& c$ ^  g$ _/ _  m在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
$ U, G$ T& E. _; W+ [6 P第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
" X' J1 A! W# Y! a                                             =0+3+10+3=3+13
8 ~2 [+ J1 g  X! r                                             =0+3+14+3=3+17
7 |0 u: w2 W& Q% s6 [+ L                                             =0+3+16+3=3+19
% `9 Z. k/ r% G9 S                                             =0+3+20+3=3+23
5 t2 G/ p+ q$ v$ I3 ~& @) c) B1 r第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
" S5 X1 k1 g( ^这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
8 i/ F4 P  X% h, ]8 oPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
$ E) A3 B, \8 u+ h, G4 z% @0 }0 G      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
6 I  S5 E- W# J; Z5 _  C3 `            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 T% K6 |/ d$ \5 j6 G0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
- c1 D% O8 T' R- Z' C2 R$ S0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
. O1 k9 k: p3 |5 s它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
1 h9 j9 k6 E& x' G                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
' d+ o5 G/ c! G5 G2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
$ y$ _" w0 e# E. ]                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
7 T1 N" Z; d/ x3 M8 Q8 E0 `6 o. C2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
3 r# h: Q" ^/ n: z4 I# r( N                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
! k: U" B0 U# L+ H                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
* m) D6 J6 E1 @; X5 Y* Y7 m. z: u( K即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
% o" _' f1 e" E# @* M: }(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
1 ^! F+ @0 f$ S. d) _# r设N=2    2n’=2n  代入上式
4 W. {+ X. [: k3 b/ X得Pn=2n’+3  
) Z( n+ c! h( |2 t. w4 P( q) u      Pn’=2n+6-(2n’+3)
2 [' C- F6 e: P  L% n; x/ d; u' r      Pn’=2n-2n’+3
- `3 l& s" R) P1 H7 B8 ?4 A4 R) v又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
; O/ t. @, l0 R1 t0 {8 T5 y上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
& H  D: z7 m+ s: u0 E- w  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
. A0 [' `% V5 I  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
% b. i- _( W1 y# x" v0 O( S$ J  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
' R& p2 r9 R' Y( A+ _9 ~  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
8 M* ?; z5 @0 G1 i( G3 Y, ~( h（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
$ `: `: i, |1 r' T- I2n=4n’+2n’’’ ……（3）
& S% d6 d: f3 L4 U. K7 B+ p1 a6 L①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
$ A% c) b; R$ Z: K" S2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
( |2 K) [' @4 R( P8 r, T# i设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
) {3 d* m% `& v( M- Z4 }9 U③证明方程组成立
9 j5 d+ ?' M  @1 X0 ~8 p4 x6 y3 Z) u即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
4 v/ S3 y5 t6 z8 q& R/ m5 E2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
1 e; ~, H$ g+ `6 M9 j$ B% ^Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
+ X% f9 ~# P5 V  =Pn+2n’’’
  A# u6 y5 _! H$ _. T; ]  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
2 y" z6 @" M0 b7 z3 K" s% z& B3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
: M, N9 |' q& K) |1 ~& b& L     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
7 a9 ?3 M* B8 X      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
( x% S, _4 v) g& ~5 l      8        8        0         4        4       7        7           14
* G2 \$ a# N6 r" r      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
8 h% I. g& X/ ^) w* O: A& R      16       16       0         8        8       11       11          22
$ D4 C5 D- T+ t! `3 y, F" P, @     18        16      2         8       10        11        13         20
3 Y4 K& R. Y; s5 z# S$ T/ x     20        20      0         10      10        13        13         26
5 F, [; X( U6 u2 e8 {, N' r' `     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
! H) J& R1 f( |( r3 q     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
8 p  J3 l! j0 h+ V( [( e9 t, ^2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
* W: j3 E) N+ d6 H* O1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
' ?6 F8 Z; \8 O5 i(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
7 Y8 R& ?/ `& }+ n/ S ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
( C: Q% ~- B2 q1 D ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
8 [6 a0 W/ X7 Q1 m$ [; T ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
0 B7 s1 Q) b4 b% |( w( l' c鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
/ q4 @! A! Y9 p# j6 R, }/ J注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
! |, U& J$ h1 p- _( h因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
4 e0 v* W: i: u+ {3 L如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
  M; p' X% z3 r6 ^2 L0 |' H这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
& f& T, ]7 `; ^  }: u０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
* N$ D# `7 A9 J8 V因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
* ]! B- N, }7 B+ G$ b6 C. i   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
% A0 C( K/ k" {* P' u注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
% p0 Z: \1 C# V: ]' M, H7 H已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
- a9 L& @4 |+ o; Q/ QPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
. a# X8 [1 C* O- m即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
0 m! m4 r0 u# b4 z8 M# i则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
0 v, N4 D1 c2 j+ ]得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
9 E. S- l1 H' n* x例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
' j/ ^1 r% d5 `3 S% {+ I0 W由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
1 b0 ?2 _1 T$ x. W  ~* GPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
+ @0 b  }9 g$ j: w8 Z2n’        0        2        0        2        8        6
2 b; \5 ^/ D. \8 @1 T& z1 Dn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
! S. q7 o+ M% H1 x$ ^) _5 k                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
3 \/ t9 D, q5 e; z4 U5 w5+7=3+2+5+2=4+8
( n- H" S6 H: K5 l0 ?# B  E7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
/ B  m% D  r2 f61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
3 N/ j  \; ?( [1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
3 U; g0 O# b5 D' n9 O若n为奇数时  2n’=2n’’=n
' _: J+ H$ B2 G- ~若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
' S7 T; e) u* Z. O% c2 C" MM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
' w" G# q" G. e0 W- J- [ =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
3 X" N+ K) o1 Y: }- D: s即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
% D" E/ c0 V& P        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！