哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
; G' A9 S5 v% x+ g+ w9 Y! E) s& J+ k0 t已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
# {, z. o- e+ r* v它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
+ U$ I; `& N& k& g. |将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
5 F6 j- G; @9 H: y# `7 o! c$ F: j已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
/ s# I) z3 S9 C/ b* V以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
: l) s2 Z; ~. N# M则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
, |+ P2 }# n0 m1 ^! {: v+ y: }即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
9 x1 _3 n2 c  w( r& a同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
) R- S( U0 j" P( ]6 ?% Y8 b即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
3 W/ v: q% N* F0 i: v% n) D, l（2）式为奇质数表示式
3 |2 R' h4 l% E由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
- I9 X8 h6 K( ^# O 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
- u0 v) @7 G* V  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
# B* ~0 K" L8 a2 [8 Y: U: I" u由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
. Q* l$ ^$ R: W8 ]; e( \设2n"=0、2、4、6、8……∞。
; Z  d6 e: V9 H( g" L! t% {即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
1 t) v8 v9 R3 E- z7 H1 M用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
  {+ g; d& j* P5 ]Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
# i, u2 O; F+ V8 e( I其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
. m: p7 ~3 e/ u) Z例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
& m1 N/ `: b  D8 E' }+ `/ H, I2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
  L  K2 U6 G6 N$ [8 N2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
" Y; Z) B. q( I6 |  r- M+ W2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
4 e5 F. q" r+ V3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
1 z- s! A8 n/ n) v; F4 e' a* _3 y直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
$ M5 S& z9 q/ _' j1 D; l  q! {代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
- I* V- T% t: s4 ~$ O( k! q( u% o在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
4 x/ V6 X1 ~( `, R9 ]代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
# R3 V) O' o  |2 d- h4 N由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
3 H0 ?% t( C4 e: n/ I' k（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
- U' X; S4 i8 {& C' X; N二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

' D0 Z* Y7 L. y4 R. P* s, a. j/ n得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
1 K  w) H/ U+ l) M若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
# \% t" f5 q9 J! I同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
, @/ D% x+ ]/ }; L3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
, f& |/ }  f$ h8 t, Z0 N0 `设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
- |. j  |& F8 S  S- u6 E例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
* C! Z% ^6 K0 F* q2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
: ]" I8 ~3 s7 k% b* T# w2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
9 G: ]! g+ ^6 g3 q/ E' vPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
  F# g4 ^* V0 v; [4 h  q6 _Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
# e: t% N/ O9 k% Z7 s% E4 ~又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
& a. U- O$ L6 D# b/ N2 q! J因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
  k8 a3 ~+ d* I5 I(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
3 E" l: Y+ S$ {7 P! s: |M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
7 V3 u1 `9 V7 W; x. ~然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
( q3 ]( O4 \; ]Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
% y' d- [( y9 G2 b: G
& P3 x& S( v% |7 N$ i- ?/ \       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
# `8 X- l: O$ `! @* @三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
, Q$ A5 [& k: \+ W! Y( x代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
( T" M; c. J# M) B或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
: u, u; K/ ]* y, A( Y* d由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
, q' l& w) r- ^1 n: B0 J2 B) E2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
) }% n3 ?. Q; Z: F( H9 @  g即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
, W, R+ W4 J7 R! f5 {% A* x在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
3 J% V) h0 \) ~0 ^6 _2 I" k6 V% i设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
7 [1 K" Y' G4 J* G) ?+ g/ A. H8 u+ G得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
* m8 T  K: r& e! v& O8 D2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
* b% E  A4 v+ [2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
: `5 y2 D, n( L; A9 N6 m; T- Z设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
+ F7 u- R, Z" m8 k4 s  }四，奇质数定理三的证明
! h) s) q$ r/ J（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
: y0 Z2 K5 E" QPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
& y4 k3 [/ ~; Q  n( G0 f. ]$ y' ?Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
6 ~% c$ J2 \+ {( g7 h! g                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
) b* t$ j% c. p* M3 W0 w     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
% u# E0 Y' G( Q* G1 ~! X4 P    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
; T! j  {7 g( B4 y$ g6 `Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
& d8 M  g8 L5 Q0 b4 g: t      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
* j$ j' R2 @/ F6 p- d$ O存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
4 T2 F: _) ^7 Q( p由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
7 \, @0 ]/ f$ Q3 N8 L1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
# h' E# J' A: ~( \在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
- z8 f1 n" U# U# V第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
/ P; s! u# s+ o1 O; n+ [                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
: T7 B& w( l/ u0 X2 J* T                                             =0+3+20+3=3+23
+ a- J" a$ o4 R6 h. o- i第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
7 d3 Y7 B, T1 A% V2 X2 b, `即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
& H$ I, n7 U6 J3 ^/ p! f6 M+ ^Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
  V" e  s& r) T' v* H4 y% \( R      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
+ w, o# f+ _/ ~1 {  L第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
+ x' L5 u  g9 J+ X4 U0 l$ T: F            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
9 W4 G. M! b/ \& H- I6 v, @& e" l5 t2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
5 h) Y% }! W! M: S                                           = 34+3+58+3=37+61
. `$ A. T. N# M& u/ C. ~2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
" r5 H* R3 n9 X5 @                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
4 z" {- [: j  y8 [0 V即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
8 }# t+ b8 ~: m* V% K, }2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
! y; ?  I% C; _# l      Pn’=2n-2n’+3
: a) o! z7 p* m* V又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
; F& W" Q* @- ?5 J; }3 vPn’=2n-2n’+3……（2）
5 u, |) M( ?7 C9 u" o1 y1 O1 Z2n=4n’+2n’’’ ……（3）
. e( y# \# Q7 B$ R$ S上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
, _5 g/ ]7 ?7 E4 P4 N9 l  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
$ _; h( R) ~# T( M! o  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
$ k. B% x0 \8 v6 ~8 v: {  Q  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
, T/ a. {& b5 e4 j+ L  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
9 K) T% `" F/ w3 |$ k6 T  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
1 b' e8 l) E# D% A* R* ~, nPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
% Y( s1 {$ t0 g% Y1 w5 X7 A2 V①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
7 `! b- k8 S3 X0 ^0 J( K8 r2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
' W6 L4 T* G9 G: {, e& j确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
0 f0 k' F8 ~+ j③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
, v4 E, K1 P7 X6 q6 a已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
( n7 c8 r& u% @% S7 @2 r又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
. R0 N  O3 u. @   
$ L7 d& l) f& S: X, H  C2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
) W7 W6 i+ ]2 }9 y" c5 ~得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
( h% A- G7 z! M8 i, wPn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
$ b2 Z8 W2 m8 {- x即Pn=2n’+3成立
/ |+ o7 ^% E/ APn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
; S& M  O. d" w6 o9 ?. S0 E  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
( [" f' N" `9 ?# T, L3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
( x8 w8 C7 _; G* i5 J     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
2 ~+ z! t& W% Z6 X! D. i; E      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
) h8 r* Q# \* t4 u1 p1 K! \      8        8        0         4        4       7        7           14
; ?/ A" Q6 o. b0 s- y      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
/ O4 P+ x, i, [+ f: \      14       8        6         4        10      7        13          20
; X- c( ], c! `# Z( S. o; E5 l      16       16       0         8        8       11       11          22
7 c4 y  i7 w9 R  Q     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
5 |* j# X# U# V$ H: f5 H( `( v     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
( \6 L% w! t3 p& ?$ s7 |) Q     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
: n' `  O. A( `9 s+ i& o2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
' O# k1 C, [' d, G2 b) P. o# ?1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
6 O. ?- F$ q* Q1 X(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
0 X+ `" h8 J- }6 g(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
! p0 R8 i$ W) s即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
' h2 O: c* ]- ~+ Q ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
& v, G9 C! L0 X. S) M1 O' \ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
2 K- u0 |8 N$ Z. y2 ~- O③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
% w" l# E- h8 D9 M, w ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
! }+ \) H/ [0 n$ ?3 v4 a鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
) o: k( \6 ]* Z7 d5 V7 a( ?/ E9 r注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
0 G, p3 }- C% S2 O; P因为因素与理由意思相近或相似
0 ]1 V8 Y  H% C; t% l8 I( b公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
$ q- b1 J9 v- i& F* k1 n$ L公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
# |( {2 ~8 M8 a9 j) a; {如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
. A) D% I" q+ |3 t* }, g: @这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
( v+ s7 N7 I8 C" ?! t1 T0 e& E1 m又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
- C2 ?1 }3 p0 l* q0 {& n 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
8 s" ~: v: {& Z( c* O已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
7 f0 R; l# j6 ^7 d即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
3 C3 v' [$ G1 ^2 P/ A# J/ S6 yM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
; r4 W8 \( w8 L5 _% g' y4 [% x由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
  r$ t4 _  F- i+ Y% a1 ]$ R3 X  e则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
, Z8 f  A2 I7 d- \# Cpn        3        3        5        5        59        61

/ M; ]" p& U- ~4 R* V* r% ?0 VPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
% l- N5 k! p  f8 H) H9 }n’         0        1        0        1        4        3
4 D. t3 N, [, T' \5 GM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
4 Z2 n- l7 H; F; H2 W: j由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
) j/ s5 i! k  U$ y1 {7 `0 e2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
$ v; t0 ~- K- h2 x8 D+ G/ T  |: uPn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
& e0 ]1 V. J6 d. U* ^若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
9 e  P" w8 v+ c+ h4 s% X2 x5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
8 q8 W9 z7 O6 I, T" h# U59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
* w: R' y8 q* b% U…………………………
1 H6 i/ U3 _6 }! e在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
. `9 e5 n) e. F2 z) z% @, Z! o1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
2 l" ?+ Q  ]9 E2 b1 @ =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
6 V, ~3 R+ U: b5 l" M再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
, c' I) g0 q* ]; W% ]籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


( p: L0 R! y, a. R: M
+ @1 m1 x. h. s! e8 A$ \

蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！
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