高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
' G# l+ D; v1 f2 U        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
& {* o% I' ^( l3 j& {5 `       
       
$ L3 U% y- N' _7 E8 K1 m       
- S: Z' `+ a# _$ N( L' Q       
0 T+ @- x: H+ N       
, _" V. E9 r  x+ o4 ?
       
       
0 G/ p3 C4 R9 O# Z& _        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
       
4 ?2 `) a$ Q8 Q" l6 g* b
问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
& u# b7 C! |: h问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
8 h: M- l" T4 e：模型Ⅰ的时间变量；
$ l1 l+ B1 ^, U% ~' o" c：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
$ [  {  K, h" Y9 d6 F：某一年高校招生人数；
! T+ {6 L! R# n/ u5 j3 E' [：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
( Y9 J, O6 [8 t* h, A& U模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
+ g3 Z6 A2 H# e4 a    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
' x1 `3 j! ^& @6 F  ?1 z        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
& Z- E) H  s4 A- w        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
6 T% L: c4 c9 |( e  x        （图2）
% T" F4 b- X( \$ I* j  k0 [( E2 X$ I        对该数据进行二次多项式拟合：
1 ?, I5 Q# V) |$ b8 z' S1 X        （图3）
7 M9 o; S) j) i" D, [' F- s5.1.2 模型Ⅰ的求解
( H; [9 A) @7 ]4 s. K. h& I9 Y        拟合所得函数为：
        ；
        带入，得到：。
( r  U) y# i# H9 g5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
" J  v! E/ A  ~! c" u1 t% X  P! n# P5.2.1 模型Ⅱ的建立
/ K# r! s3 w! @* y/ V提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
3 t5 _- F4 U1 h9 V某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
# n4 A" j( d+ t5 g: Y" Z建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
/ ~* ?& d8 e) k1 @（图5）
9 U" K% m) ~. Y% }6 v. J模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
2 v, G/ X  F% g" ~; K, [5 A  V将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
# Y* ?+ I' y' O; B$ [. R$ X0 ~  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
  l0 Q. W, S/ r  P某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
$ `. \/ S6 M; }3 A   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
  c5 \5 \. i4 n% ^' D   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
' I$ ]4 R: E+ P" v9 j) h( m, g3 n5.3.2 模型Ⅲ的求解
# n. y. D- B" G& Q% K. q. b$ _对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
, \2 C& O9 P+ o0 s; o对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
! R2 ?- @* q0 J利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
# Q& b6 }% Y- X* W* e        将，带入得。
( H7 Q$ w. g: [' @6 |" p模型的评价与比较
; G6 z: V) }$ V( A% Z3 C" }$ q+ P        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
3 N$ M& g* g' H* i        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
- C$ i  Y3 E) @& n姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
* `& ]; Q4 j' y# ~- W吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
1 H5 L& E; ?$ z+ @4 n附录
8.1 模型Ⅰ程序
. B$ G4 a* O7 @! `: P0 [x=1994:2009;
- M: c$ _8 v3 ]5 \- x# I+ z% g- cy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
$ }* P5 I+ F2 J) K4 z4 f- j8 bA=polyfit(x,y,2);
2 u8 N! _2 q1 f4 I" uz=polyval(A,x);
5 H8 H# p, \$ H% nplot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
# A  h8 M8 \" b% }. lans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
+ w0 w' K( v9 T' t9 l: V3 r- px1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
/ \( Y+ l1 u$ |* M9 L8 j$ `1 v2 Oplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
) x) z0 v0 N: d4 R
x1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
/ n. s! O/ `  J; ?1 _105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
' N/ a2 T  \$ o3 t' n. D120.41 3.5714 123.8;
  y% X( D+ P& N1 I# f118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
) i0 _5 d" c) m  h4 o" r115.3 3.6067 125.17;
2 g3 z* Z! N/ [* }115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
% |" L" E) \% y' |: a7 V- T118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
/ d9 r& |+ t) U- x  D+ K141.95 5.6950 154.67;
% F% }4 p4 F; z# m. W; M159.91 6.2994 167.06;
2 z; J& R* l& b# v7 O& @( X164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
7 o' u1 X4 _+ E! j/ r5 @0 b6 c1 ?222.82 27.3894 234.18;
- b5 e0 G% p  g& A/ h213.8 32.7452 220.94;
9 Q, p% V$ A% ~* i; R- t207.29 40.0573 201.65;
) s5 j( }+ D% V, [5 t196.7 44.5034 192.94;
2 y' ]* d  y9 g- ]# n  Z! m) h* J191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
- I0 [. A" N0 l];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

8.3 模型Ⅲ程序
6 v  ^$ ^6 I* t/ ?/ L7 p( T0 }t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)

& Q, `" `$ T+ L" ft1=1991:2006;
& d7 J% n! A+ Bx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

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我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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