高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
5 l" Q) V6 i. a6 ^0 J5 ]摘要
& x, c6 F6 N% l$ T9 O, e        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
; o; l, S' Q$ s; h2 d5 g3 p! W6 j        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
       
       
       
       
       
" G! g" A- h) G
       
       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
, ?3 Q, N, C9 N5 m       
       
6 K" P0 w$ I# }$ i  O9 q       

1 Y, \9 d7 a: ~4 ~8 [" z6 a3 _问题重述
# O. u7 O3 w+ [2 |. l0 K    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
7 o' @) P- s7 `& ^! q问题分析
/ U, l8 w6 d# r/ L" y; J" V: ]8 b- ]        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
. a8 x: l: U$ x定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
) R# s6 L8 L5 N, b/ Y) t- j：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
1 I' ~% c; z; A$ C' n7 x& E, _：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
- {9 n8 y+ C& S. q1 q  t" f" O模型的建立及求解
7 l' E2 m( d) P& L8 n( Z5.1 模型Ⅰ的建立及求解
) b. z, N6 H0 |, y* |    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
& R5 y5 a/ P4 f% ~+ x/ q  y5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
% I  ^9 M( H9 c( a2 k: y( C5 n        （图1）
: x% J% i; ]+ X; e         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
: \# t+ W% S% g5 X- ?5 {9 r. O        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
* g# h2 _8 q4 E" K& N# l        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
9 v1 v. v8 F6 T; j! Q  ^        ；
! K0 L! P( k( }: s) L7 w        带入，得到：。
  Y4 W4 K/ C6 X4 `$ c' t8 Q& j5.2 模型Ⅱ的建立及求解
/ k* _" u( `: P4 x    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
7 B( S! @# M' R建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
1 _% a! D8 @* W. q; _& X% N模型Ⅱ的求解
+ V* A$ p% ?- A8 F9 Y* j, X对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
% e& r9 ^# E, p6 {对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
1 Y7 f2 g- `" {4 B. z) P! n) O5.3.1 模型Ⅲ的建立
8 D+ A4 s* p# h7 F# `3 t  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
$ W6 k3 |  d% I: R) U   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
. G3 Z- X# R+ i5 r% V: T   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
# q2 N/ y* H( ?: N  T- }2 v7 U0 l* @+ k$ `利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
模型的评价与比较
* i3 y, ~7 b+ u+ a        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
# S8 ]( ]* T: ~        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
. S/ N% w1 U) Z        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
. X8 M/ v9 I0 Z        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
  |& L6 ?& u9 R0 L8 D+ o参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
$ C% n* F' v) T7 X% P附录
2 m9 M6 i0 k4 A) L  o) ~8 b8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
9 b, S: c5 b* {6 N8 f7 h* O) my=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
! n( ?' j" b8 |2 ^, F, H$ RA*[2013^2 2013 1]'
8 o8 g' [$ n' I; ]% _ans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
) a- o8 b+ a9 \t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
: J  L& G  p7 `7 G6 M' qplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
! p% r( E1 _/ L9 ^
x1=[85.31 2.4862 125.17;
: Q7 {0 A& r- l- X. Y96.87 3.2745 119.41;
$ u8 X7 G0 o7 b' [# n- W4 N- T105.22 3.0211 112.21;
8 V9 M0 u$ i) B' {. Y4 b: ]116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
. Q+ c, T' s) Y; s$ A0 J( E/ [115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
- w4 n. |. Q5 `  ]: g. J# V+ m0 x159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
7 f7 A8 a! |" r' ]" X5 y$ F8 A2 ?205.62 21.8719 222.2;
/ E2 c5 u* v& M+ ~' ^% J+ s222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
0 L& N+ P4 ~# |- R: t172.88 51.4176 179.71;
; Z- R# G' `2 E( J" X5 I6 H/ W158.65 50.1082 164.6;
: P: ]% C* `8 ]" D  M& [];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

8.3 模型Ⅲ程序
% J) v. l* U; It1=1999:2009;
$ v; y  q+ A! j) c- ~) Sx1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
" S" E7 L* I- p, l% ~5 J. E# U9 Ea=polyfit(t1,x1,1)
- M3 c2 }/ p- B% o
t1=1991:2006;
0 j) p) e" a5 w+ Rx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
: J, u6 t$ c' s) T) F, m. W' oplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
# n& R1 N. ]7 m$ _8 `

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数学教学对策的思考

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我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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