高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
/ v2 g9 a# ?! h' F& B2 x) d0 Y! z) K+ j* w        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
+ I$ J: R2 |" ?2 {& P: \; b       
       
       
       
       
$ z- e0 R' y3 @8 B       
3 b% x" m; ^) H  N0 Z+ H
       
  d+ d3 h0 d% U+ _       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
0 ?+ ?! e7 R  B8 ?( }       

. h" x7 x! q& G; u7 z9 o; Y* E6 S问题重述
% s7 b2 p6 x  Z1 d  i# I' q    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
% `' J1 ~9 Z; c1 H* T0 o        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
5 N2 j/ M; G. _) Y9 o# I$ M        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
5 b* F2 j$ Z# \  ]模型的假设
5 p5 N( F3 U( `+ r" n表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
) e6 D+ ]' P  g：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
* F1 Y/ J% O" b* C7 w! |* j) N# i：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
1 J) g2 \. m& \" G5 f$ I：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
1 K! N& s6 w& V模型的建立及求解
0 A; _8 D1 w# j5 i) t3 J( S5.1 模型Ⅰ的建立及求解
$ x# B& t3 @; H# `; H' s1 v    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
9 g9 @' Q& _4 }) f. O" m        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
: [/ Q* F% s+ e; S1 O9 r         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
1 y+ [  ?) D" g8 {3 K' O        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
        ；
) v) D8 S0 A/ b1 v  E! H        带入，得到：。
9 K; Z# v  R# g+ h3 j5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
  ?( K, _$ ~, f7 I5.2.1 模型Ⅱ的建立
* P! e, e! ^" ?8 m: Q. G提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
模型Ⅱ的求解
: @- _) H8 D) m8 Y3 V对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
1 h, W# q. N+ A" i3 [- N) w将带入上式，得到：。
% t5 ?+ ~) M8 Q3 V6 A' T5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
" |3 ~- A' }5 _' X5.3.1 模型Ⅲ的建立
# a0 U* r% q* d3 I# ?; C$ W* B  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
/ g: Z) A& z4 z' ^! ^: [（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
# P' V# f9 p5 [) C4 E   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
! v8 ]; K- P' q  d5.3.2 模型Ⅲ的求解
/ w# K2 G5 Y& e+ R对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
- l  p* M8 Z# d4 F, t* k6 K! Y        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
& o; P( c) H6 g3 h        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
8 d0 v1 @. [4 X8 N% S& ]利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
1 J( h5 p' p; i( N9 K模型的评价与比较
7 ^0 |$ g# J. z/ v+ l        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
( R; K0 T7 |, ^* Z8 G        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
2 V3 h, Q" S( s" X* v        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
5 j8 J& c3 C: c( z; B( d吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
8.1 模型Ⅰ程序
* V8 e1 N. d$ i( b* x$ n! ?x=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
8 t4 u- h- P6 Qz=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
# t5 @- r+ z" F( ]. ^% EA*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
. b# k7 F% x: n6 q3 w) }4 l
8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
+ K+ g: z- [) j" Xx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
, g" w% ~( i0 i: h+ F! Aplot(t1,x1,'*')
4 Z7 E8 o- F, [% F  V% da=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
0 s4 D: }; t" q1 E: a' H! R' T; g105.22 3.0211 112.21;
6 d( C" D( ?* T116.95 3.2972 115.88;
! S% q' \! T% x: u120.41 3.5714 123.8;
& z! k% _/ n9 l6 r3 w- o7 B118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
# ^4 v- l2 {) p. Y" K115.3 3.6067 125.17;
- k! @* I$ J8 O% G# E115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
7 S! F! x( L2 s' r5 \' B' C- a116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
% }1 ^4 Y' l' r4 G164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
* x# ~) [' d, s0 t' u3 v188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
" L: u7 E5 C0 @. @196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
7 R4 T& x' i( |/ \1 T0 j];
8 H5 q3 n2 y; n* k% Lx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
3 c/ j4 f4 t8 _8 S# I9 w: b
8.3 模型Ⅲ程序
: g$ M# z3 k/ E/ u) dt1=1999:2009;
$ p. A  s9 g+ O8 f( m8 Z. Q7 n/ o% qx1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
: {' a; u) N: }plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
* r/ h# L# Z8 A9 T  j
5 `! e( v. f6 l+ \$ w2 A6 W; ^% Et1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
& z# n9 M2 C7 {# \. l9 U1 D. N9 A

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