高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
摘要
# ^$ R3 ?7 _8 I6 J# F        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
4 T" J# t$ f" E' Y        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
/ |% c) G. M) U0 l, `5 j/ m7 A" l6 r        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
6 x9 k+ S  B4 `       
       
' e' D' W+ ?  j: {       
% ~% y' s7 X9 _& T       
       
2 Z5 p8 R8 Y. U/ z       

       
$ v, b8 V, d6 g8 D       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
* o' \6 Q7 n) J' x  F# S       
5 m4 g/ `+ c1 Y, _" t5 b       

5 {# S! h, x; \; ]问题重述
0 n6 m4 h2 \3 c; t" o" |    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
* y! ~5 q5 G( N; Z$ L! W1 V% M        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
: e+ b3 ]: J/ @6 w8 ~：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
1 x! c7 |) o+ l5 M# d# g3 v: W1 y& w4 u3 Z：某一年中学招生人数；
. o' l; C1 M0 e0 L( o：某一年的中学毕业人数。
1 e6 l1 O2 Y+ U" t/ [& O( R模型的建立及求解
5 p6 K$ U7 X! ]" z# j2 p4 K5.1 模型Ⅰ的建立及求解
& _4 l# \! h1 {6 z: h; b% c    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
. P# X2 I6 J: q, k- S; [# l        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
4 N' X# m; k4 c# C( k6 c5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
        ；
' ?* [# K0 M& U        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
( P% L+ j2 T; x# A/ Z$ [5.2.1 模型Ⅱ的建立
8 ]. }1 y$ p# @& y提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
7 [5 N9 N' Z, n" W. f（图4）
, t0 w7 g  m# [建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
8 U8 [/ s9 W% X& I3 \' u5 d模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
7 X  t! {* ?& T% x, c$ m6 E7 k对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
+ @$ r7 F; b4 P! y, S! G将带入上式，得到：。
: i" Z# I: |% w; f1 t' k  v5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  P- A' f& v2 L; p8 a  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
$ a  u1 P* q; \! s4 I（图6）
7 |+ z! D& i" j某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
3 |0 H& W  V8 r" b" j   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
' E0 O' V) P' |" e1 ?' Q5 q, ?- p4 X( r   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
8 s. Z- F4 r& e: q+ l& H4 m对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
' P" ]; r* ~& I# U0 P        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
8 ~. L7 j4 i3 o        将，带入得。
模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
/ v# m- s! A+ y) @8 [        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
- n; F" @+ Q! L9 a% P/ ]  f吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
9 ]) p9 b7 g5 ~" H" d$ A: R* G附录
8.1 模型Ⅰ程序
: [  X8 U! V" J3 p& ~& s. [- zx=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
% w! W, j) W' h9 w: s* hz=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
/ @* m- X4 x/ I
8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
  Q; f5 s1 h; F! h! j2 wx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
3 U# `. U! ^& _* [plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
- s4 ?. g, O, N$ |96.87 3.2745 119.41;
105.22 3.0211 112.21;
( A8 P. ?% U& j, x9 Q7 O116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
) L! w6 p7 F" i) b6 _% `3 {115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
( O- u+ w% Y! v115.88  5.7918  125.6;
$ W, z( K" S* E) A116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
7 b' M' B0 O: l9 X. Y4 i2 W122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
" J) W4 r* x: `% M164.88 8.2410 169.69;
+ i/ L$ l! F9 n( _  j; n167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
$ r. {& _* t9 H9 r205.62 21.8719 222.2;
5 z$ H8 Y9 y; n2 w8 T! @. q( _" n222.82 27.3894 234.18;
% B; U  N8 _1 M213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
5 ?6 O8 M' g. |7 X% {191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
8 m3 ]$ [* I; c9 d& k];
1 \+ W1 N  J  _- K8 T+ }x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
& C' ~/ }& c$ ?/ ~( l4 m  C) d3 \[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
4 M  X4 n. N. a  F# r
0 |3 o' \/ t, p+ j8.3 模型Ⅲ程序
8 `6 P/ v8 w$ T/ q8 Rt1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
' Q# K. Y8 J( G  S( J; O) w+ q9 Iplot(t1,x1,'*')
$ {7 o7 U, A' K4 z+ |* e" Wa=polyfit(t1,x1,1)
5 r- H& C9 W- n6 h. X+ i
, |5 H4 z& c  T7 m) @t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
) }7 [" M4 D4 u* M/ J% O4 f2 Ja=polyfit(t1,x1,2)

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