高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
+ w4 s) F# \" S  r摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
$ k3 Q9 {% W- y: w0 ?/ |7 \5 [        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
/ ?2 p; y" M! n! x9 W3 W       
       
       
       
       
       
! D# r5 T. n1 X  m6 g$ |
       
9 N0 g" g1 T- B( Y! ]+ `5 {" L# K       
, h4 P  b# l; J' ]+ l, t  N        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
% \1 e* L+ p+ _. Z       
       

( |+ d7 W3 Q" N5 q问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
$ I, ~2 V7 @1 A# ?/ g5 O0 m6 U问题分析
' j% [8 y+ X3 H. [$ H( q3 @        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
) K' m. ~" k/ v3 P        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
( `% h: [+ M3 U2 K3 j/ `0 `1 M高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
) Z* s& J+ j4 ?" l5 C5 M定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
3 l' g2 U8 n6 D, o9 G：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
0 O# j1 m. A6 V. N: J* Z, O：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
7 `# R5 i2 Q( r" f6 S：某一年高校招生人数；
. G2 |) M# D' S' \9 [) ^" D* |：某一年中学招生人数；
8 f: r" a. \  \" Y7 a$ s1 L8 D：某一年的中学毕业人数。
7 @1 Z" c3 f! Y0 Z. P: v4 x/ m( r模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
1 |/ d, ~) l$ y* z+ ]0 }/ d, w1 L         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
9 a' ]/ {* V- G( I) T8 d; [        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
) i/ s5 b4 }+ ]5 i& Q        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
! l' _( l! o, Y: r% D        拟合所得函数为：
) _2 T7 M9 B- k0 r1 {        ；
8 Y* }  O5 `  x2 r- I$ h+ o; Z* Z        带入，得到：。
8 B& a/ c$ e) }; y+ f5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
* D0 F  J+ p/ m- h提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
  G! i9 _( g7 M  {某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
# i% j9 D/ s4 p1 y( M模型Ⅱ的求解
. T7 |& Q( ?! K; \! O; ~8 A对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
- T3 a! L6 {, u2 J# @6 p: [; [& O  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
' {$ S( ]8 B8 p' v3 B5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
  u1 k0 e! w: @) s1 ~# C. ]1 S某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
) ?+ U. B5 n4 s( ]+ {   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
+ E$ {7 o5 r0 w* T/ X对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
# v5 G+ b5 X# w; s6 a  p对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
+ _5 n2 |* N- C4 `* N; ~3 ~+ h        将，带入得。
模型的评价与比较
* q; K! H& ~' d        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
2 F6 P. P( D. F        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
0 S  `" A! Y& D, q& g5 i$ l# H        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
$ g/ Y$ J. m% s" U% j5 s参考文献
) u* B; d/ l7 p9 K4 N" U: I  H3 r姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
* U9 q& z  P6 [5 B' F吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
* C; G. ]* J* Z2 l附录
8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
5 F1 U$ P3 H8 F% I4 my=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
7 K! O2 ^5 J" d  uA*[2013^2 2013 1]'
$ T- P! u& ~! l) D% a3 u: ?. gans =103.0261
' z4 A6 R, v& Z+ r" l' N5 [
8.2 模型Ⅱ程序
3 B( O7 j; t. ], ]4 g) z4 Yt1=1991:2006;
: k+ g! y* I6 q, Y! o$ Gx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
$ V' d% i8 E8 y( jplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

9 ^# l: Y- k. {7 p  k. vx1=[85.31 2.4862 125.17;
; G% p9 E* E7 M9 z4 c5 i1 S96.87 3.2745 119.41;
/ r% w/ [, e+ n3 ?1 r8 q; H105.22 3.0211 112.21;
/ l$ V8 W1 f- P3 y% G# J/ r' Q116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
5 \6 A$ W7 A; w! n118.61 3.4308 125.02;
( Q4 `0 V! @' F( e115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
1 c/ ~: r  d$ P7 X115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
6 ^. ~) o1 U& ~0 x122.97 5.6544 139.14;
, a7 L. [4 Q- f$ _1 e5 f: _  M141.95 5.6950 154.67;
9 E1 p; `# s7 Y6 @# [7 T- ~8 @159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
4 p3 Q$ ]# i& F) O- u" B4 m6 {+ }' Q222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
7 ~$ I2 B. p9 ^+ L" }207.29 40.0573 201.65;
; I, N0 t5 X9 P; ~' c196.7 44.5034 192.94;
) o- ^6 ~# x6 X, V! P3 V. @* _5 [191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
/ T/ m; u' j1 u3 U9 J158.65 50.1082 164.6;
. v3 L6 I7 G' X- u  A- y];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
  K* F4 Q4 H  E' b& G: O6 I
( Z% q# K" p) A; e& x. \9 H8.3 模型Ⅲ程序
  n5 R" ^% `" |7 X: o* D& Vt1=1999:2009;
- z7 b5 f& w) T9 a: M  ~x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
8 X9 O) G- u6 G2 D6 i0 k- _& `
  a* U; ^. A: |; ot1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
/ ?3 t2 y% P2 {+ E7 h# hplot(t1,x1,'*')
) _$ d" \( c- `$ |8 T1 Z1 L8 Ga=polyfit(t1,x1,2)
' p; \% q- }# d% R: r& q, R+ ~

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数学教学对策的思考

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我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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