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[建模教程] 高考生源预测

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    发表于 2011-8-26 21:39 |只看该作者 |倒序浏览
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    预测2013年山东省高考生源状况
    + w4 s) F# \" S  r摘要5 w8 @/ T( D& T" Q/ Q
            该问题给出三张表格,分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数,招生数,毕业生数,在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。3 o3 G3 Z1 \' f/ ^! G
            我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计,故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中,我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例,故将表2当作高中的数据。, I$ `5 }, ]4 n6 W8 B, D- i2 X
            结合实际,我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切,但同时受到高校招生人数的影响。据此,我们给出三个模型:模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数,在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据,经整合,结果为103.0261百万;模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系,预测2010年的招生人数,再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系,据此可估计2013的毕业人数,得到90.5934百万;模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进,将当年的高校招生人数考虑进去,我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重,同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数,从而可得到2013的毕业人数,约为109.653百万。
    $ k3 Q9 {% W- y: w0 ?/ |7 \5 [        上述三个模型的结果差异在10%左右,由于实际中,高考生源情况受很多因素影响,因此以不同的数据指标来估计,存在误差是可能的,并且对于所用数据也是受很多因素影响的,这些数据本身存在误差,但是我们在现有数据下,不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
    / ?2 p; y" M! n! x9 W3 W        - @0 i) `( c9 \8 e
            ) q$ |: L, q; i( R3 Z8 Y
            . Y* c; ?% \) z* \. t5 y
            : G1 c" z% G7 K$ f  R: K7 Z2 v
            5 w% V5 u( A/ U" t$ X3 P+ r; B
           
    ! D# r5 T. n1 X  m6 g$ |; d( q. H4 `+ I6 Z$ B
           
    9 N0 g" g1 T- B( Y! ]+ `5 {" L# K       
    , h4 P  b# l; J' ]+ l, t  N        关键词:直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析" S6 a/ Z  m% Z4 U% c4 r
           
    % \1 e* L+ p+ _. Z        2 T) C0 x6 y& u( j% x+ t
            ; w9 m- [3 [$ |

    ( |+ d7 W3 Q" N5 q问题重述8 X$ w! [( A. ~! Z3 k/ J
        该问题给出了三张表,分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数,招生数,毕业生数,在校学生数。根据所提供数据,运用三种方法预测2013年高考生源状况。
    $ I, ~2 V7 @1 A# ?/ g5 O0 m6 U问题分析
    ' j% [8 y+ X3 H. [$ H( q3 @        要求预测2013年高考生源状况,而在所给数据中,给出的指标为学校数,招生数,毕业生数,在校学生数,其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况,而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发,我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
    ) K' m. ~" k/ v3 P        对于所给数据,我们注意到在表二中,在校学校人数约为每年招生人数的三倍,据此估计该表为高中生源情况表。: D- g  q/ I' c0 V: Q; @
    模型的假设& b! E& `! e. I2 y; @# f, W' W
    表二所给数据为普通高中的数据。
    ( `% h: [+ M3 U2 K3 j/ `0 `1 M高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
    ) Z* s& J+ j4 ?" l5 C5 M定义及符号说明+ J8 O( g' _% a: M* d7 R
    :模型Ⅰ的时间变量;
    3 l' g2 U8 n6 D, o9 G:模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量;
    0 O# j1 m. A6 V. N: J* Z, O:模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量;
    7 `# R5 i2 Q( r" f6 S:某一年高校招生人数;
    . G2 |) M# D' S' \9 [) ^" D* |:某一年中学招生人数;
    8 f: r" a. \  \" Y7 a$ s1 L8 D:某一年的中学毕业人数。
    7 @1 Z" c3 f! Y0 Z. P: v4 x/ m( r模型的建立及求解/ Y8 A! V! l7 h4 \, I( A0 H, j
    5.1 模型Ⅰ的建立及求解& Q$ m9 q+ j# S( H1 A: s
        由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关,因此我们可以利用表2来拟合函数,直接预测2013年高考生源情况。8 E4 k- F( y2 c; M
    5.1.1 模型Ⅰ的建立5 k* w; C4 g; y6 U5 @
            提取表2中年份及毕业数两组数据,用Matlab进行拟合,作图得:6 Y+ ^; {4 D0 n1 x* @2 I$ v/ h
            (图1)
    1 |/ d, ~) l$ y* z+ ]0 }/ d, w1 L         由图像,以1994年为间隔点,之前的图像与之后的图像有很大不同,结合之前的国家政策等方面,如果预测2013年的情况,用1994年之后的数据拟合准确率较高。
    9 a' ]/ {* V- G( I) T8 d; [        因此我们根据1994-2009的数据作图有:
    ) i/ s5 b4 }+ ]5 i& Q        (图2)! X6 H2 W0 [5 ^, v* Q( ^- L
            对该数据进行二次多项式拟合:0 K3 J( Z( {8 h& L: S2 N) E- _6 O8 y
            (图3)3 ?& k5 C$ g& j5 ]7 S1 ?
    5.1.2 模型Ⅰ的求解
    ! l' _( l! o, Y: r% D        拟合所得函数为:
    ) _2 T7 M9 B- k0 r1 {        ;
    8 Y* }  O5 `  x2 r- I$ h+ o; Z* Z        带入,得到:。
    8 B& a/ c$ e) }; y+ f5.2 模型Ⅱ的建立及求解# D# i; P2 e% N* x
        由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关,因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数,预测2013年高考生源情况。6 E2 z- _2 J9 c+ u) @
    5.2.1 模型Ⅱ的建立
    * D0 F  J+ p/ m- h提取表2中年份及招生数两组数据,用Matlab进行拟合,作图得:
      G! i9 _( g7 M  {某年份的中学招生人数如下图所示:# i: @- i- l$ C( o, F
    (图4)- v9 ~/ E6 D3 p- m
    建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到:! r2 {1 x$ _  J0 e$ B
    (图5)
    # i% j9 D/ s4 p1 y( M模型Ⅱ的求解
    . T7 |& Q( ?! K; \! O; ~8 A对于2010年中学招生人数的估计,我们Matlab拟合一个二次多项式函数为:,将带入,得到,即3年前的中学招生人数估计。# o2 ~; L1 ^8 `  D: {; l
    对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式,我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为:;7 |5 _# J- s9 {; [/ g5 @: l
    将带入上式,得到:。+ Y2 {; n/ `% q) L: p3 B
    5.3 模型Ⅲ的建立及求解
    - T3 a! L6 {, u2 J# @6 p: [; [& O  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关,与当年高校招生人数也有一定关系,故可以把生源看成是两者作用的结果,利用多元线性回归分析得到一个拟合函数,进而估计数据。
    ' {$ S( ]8 B8 p' v3 B5.3.1 模型Ⅲ的建立0 I' Y1 q5 S" y& I+ s
      首先对给出各年份的高校招生人数趋势:" [6 o1 h$ h% g, D& u
    (图6)
      u1 k0 e! w: @) s1 ~# C. ]1 S某年份的中学招生人数如下图所示:( y: @5 B* e, @. t* W+ @+ C
    (图4); S# A. s. Z% A% ?
       如模型Ⅰ所述,我们要忽略之前的一些数据,在此模型中,我们不妨取1999—2009年的数据,利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
    ) ?+ U. B5 n4 s( ]+ {   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程,带入前面所估计数值,就得到2013年的预测生源情况。; \) p! S% {: X# b; x" m
    5.3.2 模型Ⅲ的求解
    + E$ {7 o5 r0 w* T/ X对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式:,6 e1 O, g# p' a- f7 n/ X
            将带入得,,即为2013年高校招生人数估计。
    # v5 G+ b5 X# w; s6 a  p对于2010年中学招生人数的估计,我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为:,' H* L+ P3 g& c' z5 d  B8 C
            将带入,得到,即3年前的中学招生人数估计。( U% ^, C$ L0 C
    利用数据,给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析,,
    + _5 n2 |* N- C4 `* N; ~3 ~+ h        将,带入得。& R7 S: \7 p$ I' |# V' L
    模型的评价与比较
    * q; K! H& ~' d        第一种模型中,利用中学毕业人数直接估计生源数,考虑因素唯一,毕业人数和生源之间存在误差,加上数据本身的误差,其结果与实际结果存在误差,但误差不能完全消除。
    2 F6 P. P( D. F        第二种模型中,先估计中学招生人数,进而找到招生人数与毕业人数的关系,由此来估计中学的毕业人数,这种方法有一定参考价值,并不直接预测,结果与第一种模型差很多,因为该过程中多次运用有误差的数据,因此结果会有差异。( ?$ X3 Q" g5 o/ t/ S
            第三种模型则是第二种模型的优化,考虑到了高校的招生人数,增加了影响因素,根据所给数据预测二者对生源的影响权重,使数据的运用更加合理。
    0 S  `" A! Y& D, q& g5 i$ l# H        在上述模型中,均对一些数据进行了处理,如剔除了一些数据,因为受**因素及其他因素的影响,前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确,我们可以利用近10年左右的数据。" o3 z( }8 Q* V" ]2 a, n( U
            但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计,这其中是存在误差的,加之处理数据时也存在误差,故我们的模型仅能给出一种预测方法,如果是数据更加合理,我们还应考虑其他一些因素,进一步优化模型。
    $ g/ Y$ J. m% s" U% j5 s参考文献
    ) u* B; d/ l7 p9 K4 N" U: I  H3 r姜启源,数学建模,机械工业出版社,2005年
    * U9 q& z  P6 [5 B' F吴建国,数学建模案例精编,中国水利水电出版社,2005年
    * C; G. ]* J* Z2 l附录* Q/ R4 Z  n7 G& H% g8 ?' H
    8.1 模型Ⅰ程序. d2 d9 o( m* x5 L( S: x9 u
    x=1994:2009;
    5 F1 U$ P3 H8 F% I4 my=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];$ s$ n; M* @) i/ b0 R+ ]& [
    A=polyfit(x,y,2);( B7 ~# T% t1 {, m
    z=polyval(A,x);9 c' P# L6 h# t* c  ?' D# o1 j, ]7 E
    plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
    7 K! O2 ^5 J" d  uA*[2013^2 2013 1]'
    $ T- P! u& ~! l) D% a3 u: ?. gans =103.0261
    ' z4 A6 R, v& Z+ r" l' N5 [: {: M) c. E. \% R. @  U
    8.2 模型Ⅱ程序
    3 B( O7 j; t. ], ]4 g) z4 Yt1=1991:2006;
    : k+ g! y* I6 q, Y! o$ Gx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
    $ V' d% i8 E8 y( jplot(t1,x1,'*')9 ]* Q+ K  d7 K
    a=polyfit(t1,x1,2)( R; `6 J( w+ \6 Z

    9 ^# l: Y- k. {7 p  k. vx1=[85.31 2.4862 125.17;
    ; G% p9 E* E7 M9 z4 c5 i1 S96.87 3.2745 119.41;
    / r% w/ [, e+ n3 ?1 r8 q; H105.22 3.0211 112.21;
    / l$ V8 W1 f- P3 y% G# J/ r' Q116.95 3.2972 115.88;. R. z9 D# S* f* x# {8 D
    120.41 3.5714 123.8;
    5 \6 A$ W7 A; w! n118.61 3.4308 125.02;
    ( Q4 `0 V! @' F( e115.14 3.5023 125.52;* x: e. L9 w+ _0 t6 D8 u& g
    115.3 3.6067 125.17;: M+ S. n% Z% o1 M6 D$ d' I
    115.58 5.7878 123.3;
    1 c/ ~: r  d$ P7 X115.88  5.7918  125.6;2 |9 ~4 Q" h1 M: r. d" ]: W/ J+ @
    116.82 5.5036 129.17;: G5 ]7 g: E4 ~, i/ y, Z
    118.14 5.5611 132.87;
    6 ^. ~) o1 U& ~0 x122.97 5.6544 139.14;
    , a7 L. [4 Q- f$ _1 e5 f: _  M141.95 5.6950 154.67;
    9 E1 p; `# s7 Y6 @# [7 T- ~8 @159.91 6.2994 167.06;7 w0 a! V- k) V" ]8 n: i# q5 B
    164.88 8.2410 169.69;- R% v3 V' P7 I
    167.96 12.4817 178.19;7 j  {$ a4 [  [# v0 W; v  o
    188.59 18.3553 201.28;8 C! [% q# g3 U2 d$ _
    205.62 21.8719 222.2;
    4 p3 Q$ ]# i& F) O- u" B4 m6 {+ }' Q222.82 27.3894 234.18;# ]5 I" s; X2 y
    213.8 32.7452 220.94;
    7 ~$ I2 B. p9 ^+ L" }207.29 40.0573 201.65;
    ; I, N0 t5 X9 P; ~' c196.7 44.5034 192.94;
    ) o- ^6 ~# x6 X, V! P3 V. @* _5 [191.02 45.3479 192.32;4 i' z1 M7 ]; m$ r7 K
    172.88 51.4176 179.71;
    / T/ m; u' j1 u3 U9 J158.65 50.1082 164.6;
    . v3 L6 I7 G' X- u  A- y];3 m+ [9 w6 T% G9 d* j0 M
    x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);- S0 V8 F( T9 y7 K
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
      K* F4 Q4 H  E' b& G: O6 I
    ( Z% q# K" p) A; e& x. \9 H8.3 模型Ⅲ程序
      n5 R" ^% `" |7 X: o* D& Vt1=1999:2009;
    - z7 b5 f& w) T9 a: M  ~x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];( r3 v: o$ w/ k
    plot(t1,x1,'*')* G* S/ b$ y& I! \: E- Q
    a=polyfit(t1,x1,1)
    8 X9 O) G- u6 G2 D6 i0 k- _& `
      a* U; ^. A: |; ot1=1991:2006;. E8 g+ e6 @% c
    x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
    / ?3 t2 y% P2 {+ E7 h# hplot(t1,x1,'*')
    ) _$ d" \( c- `$ |8 T1 Z1 L8 Ga=polyfit(t1,x1,2)
    ' p; \% q- }# d% R: r& q, R+ ~
    zan
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