典型同态映射的实例

lilianjie

6 _$ p8 A) n) B* }5 _6 U. y1 ^

+ |% c) n# w0 @) U- m4 F三．典型同态映射的实例



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9 C: g* s( }8 b  f- O
例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
9 {7 f7 [# v5 h: O, f则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
4 W& ~/ }6 ]: j??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
; z" U2 D0 `4 G则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
& F8 o! b* ~9 \- u; Z; a      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
* O  ?2 C) l: u) U1 K
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
& }% {- J8 g8 R; W# x; R# W$ {?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
  w& ~& ]6 Z1 z6 C?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
$ R( f+ _0 }% ~1 I2 v5 Y6 Z5 ]
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
( s2 v/ _6 f. E???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
: ~! a7 S9 [/ T6 j. E8 {5 h, x

+ |: i4 }, A8 R3 ?2 M  q
6 a( A7 F4 \' S: ~+ y 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
1 w: M) r5 j. i则是G的自同构,称为G的内自同构。

) ]8 h' P" y" e? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。

7 @2 _0 S+ G. Z; ~/ @+ G! C   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
0 [/ s! \, K0 t9 U
0 u+ u' ~- G& J4 q   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
: a' h5 U9 ]& @, g! D, O# Q, d( _
" ]) w8 f6 ^: C* P" f# z   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
9 g: Z! a- C. a3 s: Z这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
# @# Z  {. v9 O9 E4 [
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
5 `9 i1 M  i; n# {: Q, d% f???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
2 F1 \$ b: M% B# v+ @, g. Y4 n???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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3 Y7 o7 w/ X* z! S 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
  F$ |" U( k9 ?
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
; K- |2 Y7 J2 ~0 G8 v' [4 I
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

2 L" t$ t- x0 q; M& l% x3 J+ C. M??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

/ U- \$ ~, t; r5 u; {+ y??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
' ^/ g) y* [% q* C+ _
5 C/ ?$ B3 o9 b' ]: A3 O??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
1 L, G1 l! ~2 g1 ~% X. y) x* J
: \: p+ r$ l: g& P6 x0 s  }??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
, {2 k  k, E$ g( `( c- J! Q
???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

2 `, C' T9 d1 e" ~9 V4 }4 [成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
; i1 M5 b3 w, h1 i