典型同态映射的实例

lilianjie

% N, S2 U9 _/ h0 H8 z: U三．典型同态映射的实例


  F7 H  H3 ?. u6 r- i2 }
2 s5 Z' O6 j0 u--------------------------------------------------------------------------------
/ R/ z  [& R+ m
/ T# q/ [' u+ G6 j 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
) W- z2 P% ?+ S; x# ~1 E???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
! A! Y8 n3 w# \7 @5 c5 v( g. V( p????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
7 v0 X: r  S0 v+ h/ n& [1 T??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
/ ~, y6 k! N& s4 @  ]) \* r???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
' l" j& ^3 ^6 s% G; K& {! y1 B      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
0 I% J6 V8 \( A- B  H+ ?
1 x% S  e0 v; K1 e0 o4 c?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
! F! }6 H& `3 X% X0 `& n/ n) k$ U- H?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
4 t& Y- |2 e: ?& ^1 K则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
2 H7 r% V' m9 J9 a  K8 Q?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
8 _1 Z# a' C3 |  J# h) K
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
" ^% z2 x7 J- N6 b8 S
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
* P( w/ h; B; z2 Z" C$ b8 w- @
: K2 r: ?2 U, ?" f4 N/ I" b
! a$ m# n' H7 i" t
例11.23 设G为群,a∈G。令
- ]! d6 b3 H7 j0 l????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

6 c& y2 N0 x5 k& J0 q8 Q& j? 证 x,y∈G有
6 y( i( `6 X6 ?6 W5 p- d! O5 E??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

5 \0 \6 x9 u" M" w: O8 `9 n: d所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
8 @! }2 ]) J: i??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
: E2 b( }4 p, V
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
+ o5 Q- Q  O: S8 w( L; |: F% k
( k7 ]* N7 N( y" H   综合上述,是G的自同构。
' x/ I2 R% S+ f6 S
$ A( R) {# \3 R9 O??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
) Q: H0 u) C' M  Y8 y8 J. o: Y/ e0 g* M
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
' C9 ]8 Q! {- g- G1 {???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

--------------------------

0 B! t, a" B. a 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
7 e2 J; V) O( G* C, Q' M
??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

' Q: y" T2 z* U$ I0 J  a??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

/ U; ]- d9 a! d& ^4 J??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

, h2 q  `% u$ Q: S1 S; q; X8 o??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
4 ]* e9 J6 C; ?; y. ~
; `5 v* ~2 Y; U4 {# l/ O5 @根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
9 F, {+ s( p* v) n! S
' `7 o( t$ I9 @+ i/ l成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
) m; ~, A% v* [: R5 V3 w. O8 |8 P