典型同态映射的实例

lilianjie

; [, `  G( O8 @2 I
/ H" d8 C, \9 A( k' N" D+ ?2 O9 M
) b% K! H6 C& [1 {三．典型同态映射的实例

/ k+ l$ k8 u" e( A0 p$ P* k- c
2 Q8 Z, h% f' T9 L. Y2 I. x
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0 q) z2 Y! o2 H( E) h  Y, F+ C 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
  B, V! j8 @) N: S2 K0 X/ U???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
* I- t1 w7 p+ W4 S7 P则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
4 M" K' m2 r4 v" c% g1 d????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
  z. R; N6 o+ O; O???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
* x! I4 _: r' V1 y" Y! u      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

( J/ D! ]/ T. P& z7 i9 z/ F4 ]- n?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
/ R' {7 ~  @. c* w% ]3 `' ?则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
  H% w( ^4 ~* r" U8 G9 |$ ^
( H: X; g$ X8 @9 r) z2 D??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

9 v0 _: o% w& h 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1


% u7 v; }" b/ x0 `6 X- U" |" s
* Z9 P" r; e& I+ @9 q. e 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
  F( A! t4 X" h' t* A$ b则是G的自同构,称为G的内自同构。
& s1 z& k2 g! m3 D/ N- i) Y. r4 ~
. D& r: g2 W2 L2 [, Y? 证 x,y∈G有
6 }: f. _4 K$ K8 F/ B# B??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
7 b4 h+ I: x: u3 G
7 {2 j9 l4 u  ~4 S) H9 E. ]所以是G的自同态。

7 B' l* ~& n3 f- T& s6 a% t1 {   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
) S* i2 d7 v6 I+ G??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
" b8 \9 p- w5 n( }# ]* U所以是满射的。?

6 R7 X  s+ ^- I" G. v/ _1 o& H   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
! j" B  n# u3 n1 V, [5 p6 \
   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
* r/ y7 I2 n- m2 {$ q! B' O??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
6 o/ u* ~  l& X7 |- }/ Y2 F4 p???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
4 ]) z) b: n4 ~9 w???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
% G3 B% L7 n& e. m# r$ n0 y$ M" ?- y* k???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
1 |( U: C( ^# a, m在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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$ _. E' a, r: V: q) J3 U
5 ~. I: @! w& w7 ?$ a7 Z 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
/ `2 @) e9 `+ j* S7 A  l
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

" U  c0 j4 P5 a- I??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
1 c; u; \' M8 ~" l# G4 G, A
9 o/ l3 _- Z6 b! h# z- M! V??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
, ^& _1 m5 `; E. c/ P' N* R/ [
4 J' O2 z& w3 I" v5 ]??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
' D4 _7 Z' |% S# {4 X9 [6 l
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

7 c6 _. \9 ?0 Q根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
! E" B4 D1 Q2 p
; r' R; L; b8 A" b) }+ R8 [成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。