典型同态映射的实例

lilianjie

& h+ K% m2 v( h1 p! w( M三．典型同态映射的实例


( M9 h: h$ V. N. H1 F
( Z. D3 w, i: ]4 @4 G; p' R--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
% P3 H: `8 ^! A2 k????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
* x! s: y8 ~% X5 s1 g# ^???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

- H( J! g4 K3 V! x" q+ Y?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
) J3 g; D, s% T! o. t/ c) R6 \?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
1 s3 x3 U( X+ _- ?1 [" O& x则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
5 v8 O9 Q! ~( S- A! i: [
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

  X# y4 |! F/ J- Y. o/ \( M 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
. c: E% Z. ^# j1 O( _7 C2 Q4 X???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
( H8 G* Z; j, C' v4 h, C

& P. |+ D) S1 q/ N9 i. l/ u! @
例11.23 设G为群,a∈G。令
7 ^' c  b4 {4 s6 o! w5 k9 d????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
+ [$ n1 x1 _  b0 ]! ^9 ^
? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
0 |; A" K, v2 {3 i% ~
所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
( D! q; L7 _8 r3 G: d/ J! e) d所以是满射的。?

1 ?8 p0 ]1 f) t* x% z6 u. e   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
2 `0 P& _: F5 p- Z" h. F
   综合上述,是G的自同构。
! F* U$ J- `* r* c9 G; r. Y4 u- k+ I
/ A7 `& C( j$ B0 ?+ |2 H- b??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
$ p% F, @* F% l0 h9 E??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

& l4 H7 S  M; M6 M) r5 h??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
  {& t/ i6 T& X. u# a3 {' D7 d+ J7 ^???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
. q; J" x2 Q  V$ ^???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
. ]' A3 K+ U* T+ z$ k) y, P在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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9 c5 a: v* z1 g) i8 ?8 L1 ]5 z 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

0 a) w! P! q; N! j3 e??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
. E' `$ J7 M3 q9 f7 B! b
; o0 o' k9 A) Z- c8 ^; R+ ?& t: C??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

" ~' ]9 H# T; f! j??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
% A( i$ ], p7 @
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

+ m. l" q5 ~6 r4 R# B# z??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
  v) j* b. A6 y( V4 m9 y$ e% [
8 d- R0 J% n7 Q# q9 |4 R* @/ Z8 _' b??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
: i  e. w* p& I* y
; F. k4 G: l8 D  L5 h0 K根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
& O' ?* p# ~) `: v/ |( ?# q% L/ L
???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

/ W, k( z8 b' ?8 S3 |5 [成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
1 M+ M* Q$ E# Z+ b% |9 p