一些组合函数

lilianjie1

9 K2 T' a) Q" p" d# m0 K. Un:=12;n;
Factorial(n);求阶乘
, D% R7 G1 x# M) YFactorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));
5 o6 J* h6 }, C/ i$ tNumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
  [/ V" ]. F. m$ y" t/ nNumberOfPermutations(n, 4);
& d( x. R) Y# s7 r0 L% UNumberOfPermutations(n, 11);
( v# e3 h% O' u5 u( V+ e  {! {Binomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
/ @- `3 v3 U2 N" N  W% dBinomial(n, 3) ;
& {1 S7 l; m  [7 @3 XBinomial(n, 9) ;
+ G" O5 L- D( d' ]' t2 U, qBinomial(n, 10) ;
Binomial(n, 11) ;
, I) {) {6 [- z2 g% A, h/ `8 @Multinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12！/1！*2！*2！*3！*4！=831600
: F. i, m* u& F: o
# N, I# C( C/ ^1 T% J9 |Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);
Fibonacci(n+1);
GeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
/ M8 \9 r# R* G3 Q3 m' {# W+ b2 zGeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
Catalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
k:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;
Catalan(1);
1 y) b/ N( [8 k* LCatalan(2);
8 j& u' s6 j  X, {" h8 YCatalan(3);Catalan(4);
* \0 p( F- C# C, D; M% |. o9 LCatalan(12);

( F  y& C1 M/ u0 u% ?& `: k, WLucas(n);卢卡斯数
12
479001600
4 Q8 _; P* v3 A5 [* D6 q: ~0 N7 W831600
12
132
11880
479001600
12
( Q" v7 C( T" m3 U66
220
+ Q5 X' K9 x+ Y4 I" Z1 L220
66
12
  e/ n. u! t& [831600
144
89
  O& A, H+ X5 H3 e- B233
233
610
7 R8 P& ~4 ]& U& u6 Y% I" Z144
208012
208012
1
) }/ o/ t$ P' {' c( f% `. d2
/ n# l' l, `- w" i, C8 Q6 F, l5
14
208012
) _! w: T# p, |' @- b2 U322
' ]4 ~1 l9 A8 d( z0 M8 n  b

3 S* a# {' f1 U, L卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
$ s' A( ^0 D* b- S/ f5 _  ~: g) _**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
1 J2 r; Y% H3 e- N& C2 W3 `- E将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
0 P. x! z8 y+ u: m((())) ()(()) ()()() (())() (()())
. O8 G9 \5 Y4 z. B. X5 hCn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
, T" ?6 I9 \% r- W  i" N) L) B
Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
2 t9 W6 k. F! ?* ~% |Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
; G2 U: x! ]8 e: @1 Q8 M1 D" L$ d, n

) p0 ^* {# @4 P* U: q
卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
- `! |7 J7 ~2 n( b" D0 H
但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同



n:=100;n;
a:=Lucas(n);a;
b:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
+ _/ T7 e5 U5 R0 T5 u* PLucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);

100
6 ^: C' r$ F# t9 {4 Q2 X0 k792070839848372253127
% E% I/ ^5 \- J: W. e792070839848372253127
1771124240896309575375
1771124240896309575375

孤寂冷逍遥

lilianjie

反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下：
5 w1 c; I% u* W5 H! Z9 q4 `" `
3 _% ~9 c1 R8 [7 `Gn + 2 = Gn − Gn + 1
如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...

即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。
5 Q. C+ J; {: ~; T! _5 }* X
" q/ q, u# V* @. O6 ]4 ]Bell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);
StirlingFirst(4,3);
StirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);
StirlingSecond(4, 3);
2
4 v; f' X. q6 c! R5 x% q52
5
; i5 N0 R+ n( s4 c15
-6
11
2 g% n. r7 m# [. [! J  Q-6
( ]& T* }3 q# A$ ^1
. T0 f9 N  j' D9 M/ t8 W2 s7
6
+ T$ E1 Y: L# `" J
6 a2 C/ M# @8 A% zBn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：
3 _2 o1 L0 ~! l4 t8 [6 a- z
{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {b, c}}
0 x& m2 E" q" A{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{''a'', ''b'', ''c''}}; 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
s(n,k)是递降阶乘多项式的系数
有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)
# h* b. `2 R9 ]4 T3 Y! X
! k. S+ {( X1 o: E换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：
% R) ^; n7 W" Y& _$ k, K* P- {
% g, h0 w; A1 [{A,B},{C,D}
# w# `/ U) O; @# X9 c{A,C},{B,D}
5 L/ k, W; W1 B  k{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
{B},{A,C,D}
  K% E/ H5 A) Q7 z$ d% n" M{B},{A,D,C}
* R) M& T$ r% d, |- I, P{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
6 g, M, J- M) ^9 [{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}
0 F! M- b1 ], d3 t) s第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S
/ N& [/ N( K+ ]- {) p0 @% {给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
S(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
S(n,2) = 2n − 1 − 1

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1) = 1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4) = 1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
9 `8 B' n0 a3 [2 [3 w% s; n0 P{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
( c2 ]* @: h. P. o{C},{A,B,D}
$ h( Z9 s) G& X& D; O{D},{A,B,C}
因此S(4,2) = 7。

lilianjie1

9 L  V" Y! v" E0 V0 H0 }
n:=5;r:=3;
  i0 e9 \) x. j9 J3 |* V6 P: vEulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
BernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式
4 l+ d7 t6 }7 |. {
$ ^# g; c, g  v+ r26
137/60
0
$ z" k7 w- y- R" h, N0.000000000000000000000000000000
$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

lilianjie

$ b7 w2 h/ V) _0 {+ I
) S5 [1 p. c" z( h% Q$ ^
$ V0 W  {" s+ N
伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。
& ]- ^6 J% S8 b% G5 p
伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关
3 ^3 Y% Q) c3 \, u7 w

lilianjie

拆分 。。。。强！

NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;

7
( A/ a/ \3 j4 z5 m  s2 q" Z190569292
2 S) _4 i4 C7 M' ~/ o[
    [ 10 ],
5 e3 P$ M6 D% P% }  a: u    [ 9, 1 ],
    [ 8, 2 ],
    [ 8, 1, 1 ],
: s2 |6 r4 @: c! c    [ 7, 3 ],
6 W1 B" N/ {, M  v5 d$ q) i    [ 7, 2, 1 ],
# i0 ~1 E# k& \2 R$ g( I7 z    [ 7, 1, 1, 1 ],
    [ 6, 4 ],
    [ 6, 3, 1 ],
    [ 6, 2, 2 ],
    [ 6, 2, 1, 1 ],
    [ 6, 1, 1, 1, 1 ],
1 k) v! i* i* b1 A    [ 5, 5 ],
    [ 5, 4, 1 ],
    [ 5, 3, 2 ],
: ~9 f! Y, h" \7 t# u6 e; ?    [ 5, 3, 1, 1 ],
    [ 5, 2, 2, 1 ],
    [ 5, 2, 1, 1, 1 ],
( N7 m. I" o2 J/ K' e2 T& g$ l    [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 4, 4, 2 ],
    [ 4, 4, 1, 1 ],
    [ 4, 3, 3 ],
    [ 4, 3, 2, 1 ],
    [ 4, 3, 1, 1, 1 ],
4 N2 P. L5 W& t! ]    [ 4, 2, 2, 2 ],
    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],
    [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 3, 3, 1 ],
    [ 3, 3, 2, 2 ],
    [ 3, 3, 2, 1, 1 ],
6 M% H4 p$ }: t1 H    [ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],
$ d7 s, a  b1 E    [ 3, 2, 2, 2, 1 ],
8 S7 e( v5 h# g4 m; W) h3 s! i+ ~! }    [ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
! _; x2 n: e* H1 n    [ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
0 U4 A1 f1 _; a* y) f3 @    [ 2, 2, 2, 2, 2 ],
    [ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
3 w- V% t* Z; S- G( M    [ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
- N" Y  e0 a- M    [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
" q5 g' L* o' C5 Y* a]

xxgzftj