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尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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    发表于 2012-2-2 23:28 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
                                            尺规三点分60°角的代数模型(pdf)( s/ l* ]* |% {  L: V! v  I
                                                          苏小光
      Q8 p: d' d* ?7 a" M% \             一  背景资料2 K9 \# E1 p0 g7 a/ H
      尺规能否三等分任意角,是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角,是因为
    1 T$ ?. [% }6 f% U3 b2 f2 M         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}( V: O. X) A  q
           当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时,9 ^/ y' p# H6 j; Q
             8x^{3}-6x-1=0,
    ; ?8 x8 n8 X" H$ [# `+ ` 这个方程没有有理根,认定尺规不能三等分60°角,从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]- R) P# |. P- l* X$ R
    要否证尺规不能三等分任意角,就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出( L4 H5 i! m9 d" Y' J
            \gamma =20°,8 ^* f' f6 P! b% T, L
    则尺规能三等分60°角.
    / X" k! O6 m+ z1 d! Z二  代数模型
    ! i7 b: W/ ?7 r" U7 s" n2 v: b      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
    $ y2 h7 B. r0 h1 R8 G5 q4 V当sin\beta =\frac{1}{6} 时,3 P) j8 h4 g8 U! D
      tan\theta = 0.1763265306
    ( O, s$ _0 I; L0 r/ W" K所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。( v% v; ]6 w2 d' U
    三 代数模型的几何解释(或作图)% s7 A* k0 G5 A9 a. b
    作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°,得到Rt△ABC,令\beta =∠BAC, 则
    5 Y1 L& p/ t& x: ^5 [8 E/ Nsin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},7 R+ ^+ S* ^0 @3 D* Q) r' p; {5 c
    Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体,其底面圆周长5 u7 G. g/ ]( k+ `
      l=2n\pi,3 t0 d" I8 Z& n
    圆锥体的侧面展开图为扇形,圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等,扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则+ H' Z, c$ j% H2 s0 e* ?! [
    l=\frac{aR\pi }{180},4 k% W( e# {2 v6 C
    ) O9 E* t& l9 p% O) Q
        2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
    ; S# x% u- D7 J  m/ u所以,a =60°./ u; a$ O( b5 q: V, }- q
    在Rt△ABC中,
    * E1 j1 {  S1 N# V. I& ?. Vcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
      I' Y% L- M# m5 H所以7 o3 T; G# c, v8 `
    AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.4 N! q3 G+ o$ M* Z
    以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则9 b) |+ @# D* S' m4 B6 C" R% s
    AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).# `) ^( g$ E! A6 V9 m
    以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
      l" h7 Z' W) e$ G. m' o, J: U  i  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }# F' G. @1 Y  A" L; z
    以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则- \8 u( }/ M8 R. ?3 f
    AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}% c) W+ F1 N! B9 m$ c" \
    以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
    9 ^0 D- ~/ U* l令∠FAG=\theta,则
    3 m. ?3 g& W: W- w1 M" Y. j+ ztan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
    . R! g( f% I9 j% s: t- N, K& ^1 \% H/ A注[1]: 初等几何研究,朱德祥编,高等教育出版社,1985年2月,177-179.7 _+ Q8 |/ L* g8 U2 e! b8 O; a3 e

    " o1 L" W! }7 X  G6 \
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