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签到天数: 849 天 [LV.10]以坛为家III
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尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
6 L& g& A1 p; s3 a1 O 苏小光# y/ M( t: w H8 p: F" E5 |
一 背景资料, y+ P' r; U: A( o$ F4 {
尺规能否三等分任意角,是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角,是因为# V8 f* q1 Z: e) ?0 M- a# b& F1 o/ h
cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
, u+ W2 U5 \/ h2 y) {/ S# W; c1 Y 当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时,
8 h! P Z- u. x9 x! k2 z 8x^{3}-6x-1=0,
* l2 [* e2 F' J3 P 这个方程没有有理根,认定尺规不能三等分60°角,从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]+ d: r" _' U9 I
要否证尺规不能三等分任意角,就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
4 c% h9 u8 \) q6 _9 e \gamma =20°,
3 b1 V- M$ r2 |' i1 N# j! W则尺规能三等分60°角.6 J2 O% n2 A, ?
二 代数模型7 O b" S' N1 J$ u
tan\theta =\frac{sin\beta }\left ( \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
$ S4 ~6 q3 @7 {' O6 o当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
( L4 t2 H7 D( n& }" W tan\theta = 0.17632653066 r" Q' V/ c* Z! K* A3 u
所以 \theta=10°, 显然 2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
" a' c/ b( x' w三 代数模型的几何解释(或作图)
9 \8 b0 U8 Q1 X+ A/ f作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°,得到Rt△ABC,令\beta =∠BAC, 则. _2 ~( s1 Y8 ^5 y
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},/ s1 f' j$ C1 _# }0 z8 H+ I
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体,其底面圆周长
& B% f: ^+ O0 {% I- w, [, n l=2n\pi,
, |/ f6 n& `+ O" U3 S圆锥体的侧面展开图为扇形,圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等,扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则& b0 d$ [0 R; E' E3 |9 N
l=\frac{aR\pi }{180},1 F! x+ `( {, O4 d2 h
即/ a$ ^' E; h" o5 o
2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
# _4 z* J# C# x9 {所以,a =60°.
5 h% @% D8 {' K7 v在Rt△ABC中,
3 r* M- [# @9 V- f2 gcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },3 e) [1 i# |& ~: k7 H% x7 ]% o
所以6 b/ I/ \1 g0 F3 _# k
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
* Q4 m* o2 ^1 ]以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则4 n: ~ s2 P" }3 n) g! e% r/ N2 _
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ).; A! v7 G" B4 [' p/ R: ~
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
5 q& Q. X, C6 x& u! l, |% S5 _2 g AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
! y$ Z4 {. Y3 C: Y7 x) ]3 Y$ D% {以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则' s6 l# k$ G6 r- \$ t% C: M: U
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}
1 n9 ?. I1 [) W1 d以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
( t4 C! K: ^! i# K e5 W( b令∠FAG=\theta,则4 Y, r" o5 [. i& `4 A" u# D
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}}.0 y3 X {/ L k0 {4 f; o% v
注[1]: 初等几何研究,朱德祥编,高等教育出版社,1985年2月,177-179.2 f8 _; L/ b. P
1 B; {% o0 a( k3 F! S5 L; t |
zan
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