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升级   25.26% TA的每日心情 | 郁闷 2013-8-30 19:45 |
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签到天数: 5 天 [LV.2]偶尔看看I
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(一)分割一倍体+ I2 U8 S0 i, I ^7 C8 h2 |% s+ A
设一倍体棱长为S1,用圆规将S1分成四等分,每等分用a表示,即S1=4a,如图一所示,将一倍体12棱都分成4等分,如图连接各对应分点,得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3,怎样求作已知正方体的二倍正方体呢?下面是倍立方求作探索。9 L! d O: l9 t' j
先分割一倍体。
1 ?. c: a& G. Q1 B" Q5 e2 s将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块,分别编号为①②③④,再将板块④分成四根长条,每根长条体积为4a3,还要将四长条之一分成两段,一段是边长为a的正方体,另一段是底面积为a2,长为3a,体积为3a3的长条。
- h# l4 ^; B$ s, K: j9 A" g. ~
% b7 ?/ n0 b s6 D" f H+ Y! Y
(二)将两个一倍体组合为一个二倍体, i; k$ O( n- [- {
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体,再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。" n5 g* d7 G% I& u7 l
如图二所示,□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面,其边长S1=4a。
: Q( Z8 ~: b( y2 c图二中①②③分别表示图一中①②③三板块,其中①②表示两板块正面,③③表示第③板块两个侧面。0 p! M4 y9 X3 N: b2 G
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面,划波线的部分表示第①板块一个侧面,划O的部分表示一根长条的一个端面,划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面,还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面,没有显示。图二的背面,没有贴正方形板块,只是一倍体一个面的裸露,需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形,一个缺口是长为4a,宽为1a的长条,另一个缺口是边长为a的正方体。0 S% q1 N4 z7 c# N7 k# U! T
7 Y! E/ S0 y4 U% R* ]按上述方法堆砌后,构成一个边长为5a的正方体,按上述方法堆砌后,由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
9 B5 W" H. \* w2 s! g/ W棱长为5a的正方体体积为(5a)3=125a3
1 k: p& @" a i- I W棱长为4a的正方体体积为(4a)3=64a3,其二倍体应为128 a3。
: L+ X* P" W) y1 u$ ?128 a3-125 a3=3a3
2 G3 x8 k6 k" D3a3之差,正是剩下的,无处安置的一截长条的体积,说明计算结果与砌图结果相同。
0 X7 z; \ y) D" m0 I4 {下一步的问题是怎样将3a3容入(5a)3的正方体中。! i" i# M: w3 u- C
方法是将3a3展开成长10a,宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。 Y( n0 W+ ], g. l& Q
因长为10a,宽为5a,得长条底面积为50a2。
5 H8 R4 b, u7 v! O& G9 y设长条厚度为X,得50X=3a3,得X=0.06a。) f* i' A! O; ?5 z. {7 V
但当X=0.06a时,正方体之长、宽都增加0.06a,正方体高未增加,当一倍体贴上长条后,正方体不成正方体了,故必须通过减少长条厚度,增加长条宽度,以增加正方体高度。 b8 W# m' y- r# C
经测算,长条厚度以0.04a为宜,即以一倍体的 S为宜,当长条厚度为0.04a,正方体棱长为5.04a。
( D+ t a; j5 i7 s8 i1 v, {(5.04a)3=128.024064a3,比二倍体过剩0.024064a3# f$ x E5 |; {' f& |: q- m
过剩原因是长条厚度过剩。
2 u* r) z0 l/ f( H+ M* Q* X(三)用自然数检验二倍体6 K% Y: b9 ~3 h* G
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的,a不表示长度,只表示一倍体的 。现将a设为自然数,检验二倍体求作是否有误。
, p" l) Q9 t8 h7 X% u' T$ ]先设a=1cm
o6 M% K% D# c1 v+ G- h由(4a+1a+0.04a)3) n) b" H; i3 h" f& Y0 ^
得(4cm+1cm+0.04cm)3=128.024064cm3=128cm3! g5 v+ q! \, ] \$ O; R I! B& q
再设a=2cm/ Y) j* Q* L, c
由(4a+1a+0.04a)3
h5 `3 M2 Z; ]- s3 O+ j' P得(8cm+2cm+0.08cm)3=(10.08cm)3=1024.192512cm38 Z9 h' k+ {' e5 @+ P
=1024cm3,即得一倍体的二倍方。
8 I i4 O: n, O( Z( ^( h+ H" h以上两例,用自然数表示一倍体边长的 ,结论是整数部分正是一倍体的二倍,用去尾法取值,都可得到二倍体的准确值,这种关系提出两个问题。
) z9 \: K4 h7 ?5 V. M% R* O(1)一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
% E" D8 _/ ~ N% k; h(2)为什么要用去尾法取值?
; p: h" N/ T7 c. J3 w下面讨论这类问题
6 ?5 n" a7 C k/ e4 g$ ]: ]2 m(1)一倍体棱长与二倍体棱长关系
* H; `6 G; P1 H" v设一倍体棱长为S1,二倍体棱长为S2。
Q, U( C0 U0 HS2= S1+ S1+ S1' x, f2 i' V6 K9 l! y2 C
上述关系式有公式效益,暂且称二倍体棱长公式吧;利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
$ ^- c( ]1 Z8 f8 w+ h例:已知一倍体棱长为4cm,求作其二倍方。+ T0 u0 g+ R2 [1 X
解:由S2= S1+ S1+ S19 ?& }# Y; E. J' p; a
得:S2=4cm+1cm+0.04cm( h1 ` f- N. H; B& c4 v' m( v% i {
=5.04cm% m. W* S, r+ c* {# `
其二倍方为:(5.04cm)3=128.024064cm3$ ~" z2 {7 f2 G& p$ ], a* Y" X
用去尾法取值得二倍方为128cm3
9 {7 @" y4 s) H9 z(2)为什么要用去尾法取值?
; j5 q$ X4 @( W( a' A! R% O8 g因为S2= S1+ S1+ S1的公式中 S1存在过剩问题,二倍体=128.024064cm3中的小数部分,是由 S1的过剩而产生的,用去尾法取值,实际是还原到二倍体的实际体积。/ H' {* \+ j* K$ u e
(3)舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少?8 ^# v; }2 G( I& [& B) |! W
回顾前文所述实例:
$ \& [/ Z, m5 ]) r其一,已知一倍体棱长为4cm,求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
$ g4 y5 L9 r; \+ E1 z. e舍0.024064cm3,0.024064cm3/128cm3=0.000188,约等于十万分之19,不足万分之二。6 J5 [8 A. }" z: @9 q5 Y& o4 V
其二,由已知一倍体边长为8cm,求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为:4 S, j# h" k, i w. L g1 Z
0.192512cm3/1024cm3=0.000188,约等十万分之19,不足万分之2。. h) l& d$ \+ N* S: t
(四)倍立方求作简化
. D5 `) \* N5 N) s, y1 l* r8 I如果只限制尺规求作倍立方,允许刻度尺测量一倍体棱长,利用S2= S1+ S1+ S1的关系,求作二倍体,难题不难了。如测得一倍体棱长为8m,由S2= S1+ S1+ S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
5 `9 }; p8 d) F8 z+ S1 uS2=10.08m# O" R" S$ ]8 y! I0 y
二倍体=(10.08m)3=1024.192512m35 i, Y; @. j+ N3 U H1 |
舍去小数点后面的数,得二倍体的1024m3) G, V( h* M7 ?$ K4 l+ p4 n
1024m3正是一倍体(8m)3的二倍
4 d2 V" @ r3 y误差同样是十万分之19,少于万分之二
+ n [0 E9 `2 F如果测量一倍体不准用刻度尺,可用绝索测量,将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分,再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分,取其 ,将一倍方棱长加一倍方棱长的 ,再加一倍方棱长的 ,得二倍方棱长。" N4 C/ B( y0 k3 z( i" `
利用二倍方棱长公式,同样可作出二倍方,这样作出的二倍方,同样是误差约为十万分之19,不足万分之2。但这样作出的二倍体,不用长度单位表示长度和体积,要用a表示长度和体积。
! M5 S( Z% q+ Y2 |% E9 Q. N(五)说明:
y3 J, ^/ Q' n4 _1 W/ Q当一倍体棱长为二、三位数时,二倍方过剩值可能出现在整数部分,但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右,仍然小于万分之二。! e8 O7 M% K) D0 u. m& W% F
例:已知一倍体S1=16cm8 h; v3 Y) o4 R w
由S2= S1+ S1+ S1,得S2=20.16cm
' K! t) ~: q% a8 G* f% x6 E6 j; B* \二倍体V=(20.16cm)3=8193.540096cm3# L/ \) j2 _& z9 T" u
一倍体V=(16cm)3=4096cm3- w( { m: h. @& u
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3! c1 y6 m, r. I1 B, {
过剩1cm3。$ A% t* X' i) A: b+ H
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值(包括小数部分的过剩)仍然少于万分之二,约等于十万分之19。除去少数部分的过剩,在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理,其一,允许存在误差,因万分之一左右的误差微不足道;其二,通过校正,消除误差。* J: Q$ ~: G! z$ O. h/ N
以上论述,自认为主体是正确的,缺点错误难免,希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。5 R9 ^9 D6 f2 v7 \& t
$ d/ D/ e' G5 ?3 K2 `* r
联发数学中国网、任意角三等分等难题讨论工作室! D! z* g, r# Q- `% p
我的电子邮箱是:wyt3546658@163.com
+ j4 K. A; t7 r) w% G6 f我的通讯地址是:湖南省新化县上梅镇天华中路立新桥社区郭家巷果品公司家属楼CHINAPOSE邮政信箱袁锡煌 收1 r5 Q/ d( N4 B3 L& R& T
. I; s. X- z6 t f4 c, c 袁锡煌2 A4 \$ n2 E, ]. x+ m" [9 Y
2012年7月31日定稿
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