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升级   25.26% TA的每日心情 | 郁闷 2013-8-30 19:45 |
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签到天数: 5 天 [LV.2]偶尔看看I
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(一)分割一倍体
8 f! P; X" A: d设一倍体棱长为S1,用圆规将S1分成四等分,每等分用a表示,即S1=4a,如图一所示,将一倍体12棱都分成4等分,如图连接各对应分点,得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3,怎样求作已知正方体的二倍正方体呢?下面是倍立方求作探索。6 b# X, C- @5 l
先分割一倍体。; t" \ j6 @7 U3 x7 r/ { C
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块,分别编号为①②③④,再将板块④分成四根长条,每根长条体积为4a3,还要将四长条之一分成两段,一段是边长为a的正方体,另一段是底面积为a2,长为3a,体积为3a3的长条。
0 }6 V% }: }' j6 g
2 N: {/ |3 r# G% j8 e! k+ R8 L(二)将两个一倍体组合为一个二倍体
' b. e. Y! A3 |$ V$ F" [0 w: l先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体,再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
( _( }( m# u9 }如图二所示,□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面,其边长S1=4a。! b6 Z9 \# w0 @3 T% m
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块,其中①②表示两板块正面,③③表示第③板块两个侧面。
) i1 Z D, N3 l4 I0 j+ q6 P图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面,划波线的部分表示第①板块一个侧面,划O的部分表示一根长条的一个端面,划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面,还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面,没有显示。图二的背面,没有贴正方形板块,只是一倍体一个面的裸露,需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形,一个缺口是长为4a,宽为1a的长条,另一个缺口是边长为a的正方体。
/ l9 y2 u8 s" [
& M2 I2 p/ m# H9 W5 f- g' Q按上述方法堆砌后,构成一个边长为5a的正方体,按上述方法堆砌后,由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。1 E6 c1 U; x' L8 f: g
棱长为5a的正方体体积为(5a)3=125a3( H$ ?% J) p# K0 H
棱长为4a的正方体体积为(4a)3=64a3,其二倍体应为128 a3。
, \0 W* R9 K6 E' }3 i& R4 ]128 a3-125 a3=3a3
" ~& G7 t- ^* I3a3之差,正是剩下的,无处安置的一截长条的体积,说明计算结果与砌图结果相同。3 l, C9 B0 F5 j7 W# Q( |# X" m% n
下一步的问题是怎样将3a3容入(5a)3的正方体中。/ U2 D$ A! K: J! h1 o8 v; t
方法是将3a3展开成长10a,宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。$ K% `0 F- o) m, J# Q; ]2 }
因长为10a,宽为5a,得长条底面积为50a2。7 I6 F5 C4 `% R( C) l+ o/ B
设长条厚度为X,得50X=3a3,得X=0.06a。. l! q$ A9 d+ e% r: t7 v
但当X=0.06a时,正方体之长、宽都增加0.06a,正方体高未增加,当一倍体贴上长条后,正方体不成正方体了,故必须通过减少长条厚度,增加长条宽度,以增加正方体高度。
2 j1 \9 F1 z0 \+ a8 F经测算,长条厚度以0.04a为宜,即以一倍体的 S为宜,当长条厚度为0.04a,正方体棱长为5.04a。$ X9 x$ n* O% l
(5.04a)3=128.024064a3,比二倍体过剩0.024064a3! p Y6 C- c8 Y' x, [- {$ N
过剩原因是长条厚度过剩。1 |# Y6 _5 v7 ^& {
(三)用自然数检验二倍体
- f8 @ h- e+ D上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的,a不表示长度,只表示一倍体的 。现将a设为自然数,检验二倍体求作是否有误。
+ {' U0 x2 J. ~5 t% t2 L先设a=1cm+ }8 M2 f$ P% t
由(4a+1a+0.04a)3( B% S* J) R1 H+ I
得(4cm+1cm+0.04cm)3=128.024064cm3=128cm3
( [: N8 G2 d: X" c8 P- n, P# W) ^再设a=2cm% Y7 W% m, n- t0 ]. I2 ?7 _
由(4a+1a+0.04a)3
0 ~$ ^0 Q! S; b1 x$ \得(8cm+2cm+0.08cm)3=(10.08cm)3=1024.192512cm3 O1 Q+ @+ E! k6 _: I
=1024cm3,即得一倍体的二倍方。
& E j) X% {: L' Z; y; h以上两例,用自然数表示一倍体边长的 ,结论是整数部分正是一倍体的二倍,用去尾法取值,都可得到二倍体的准确值,这种关系提出两个问题。6 ? z, K) K" O" G; n
(1)一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。. H" l7 A3 X* c/ t9 d n r; l
(2)为什么要用去尾法取值?
; _' N; k, I* i3 r下面讨论这类问题
- }% d4 d& Z# {0 L0 g# ~(1)一倍体棱长与二倍体棱长关系& q) D9 `4 T( M' {' B
设一倍体棱长为S1,二倍体棱长为S2。5 A0 A/ _6 R$ K% e5 |: }
S2= S1+ S1+ S1
; _. ?1 e4 z! _+ U" B$ W上述关系式有公式效益,暂且称二倍体棱长公式吧;利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
; D' V# `; m# M* K4 x6 y6 N! f* S% D例:已知一倍体棱长为4cm,求作其二倍方。+ I5 p) n8 O- V1 h8 i' Y4 }
解:由S2= S1+ S1+ S1
6 y. X9 B. i( v3 H @4 L/ V得:S2=4cm+1cm+0.04cm
+ j: [, O+ a0 U9 ` =5.04cm) n B% Q. }1 X/ ~# H
其二倍方为:(5.04cm)3=128.024064cm3( Z2 o1 Q% P. K2 j6 g: k
用去尾法取值得二倍方为128cm3" Z) A3 k8 z+ I3 o- a% f9 W
(2)为什么要用去尾法取值?1 f4 ` ?" J9 o- x% { J0 u
因为S2= S1+ S1+ S1的公式中 S1存在过剩问题,二倍体=128.024064cm3中的小数部分,是由 S1的过剩而产生的,用去尾法取值,实际是还原到二倍体的实际体积。
; Q( R! X: S, f2 P(3)舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少?# l+ o! y3 o" j
回顾前文所述实例:. l O( j+ G6 z
其一,已知一倍体棱长为4cm,求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3( J3 c9 N+ F# M
舍0.024064cm3,0.024064cm3/128cm3=0.000188,约等于十万分之19,不足万分之二。
5 A3 Q' e* E: f( l- g其二,由已知一倍体边长为8cm,求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为:+ [/ w# }$ B; n S5 L
0.192512cm3/1024cm3=0.000188,约等十万分之19,不足万分之2。
/ o( C, A5 S& F- v1 S(四)倍立方求作简化$ ?$ F6 ?/ `: H
如果只限制尺规求作倍立方,允许刻度尺测量一倍体棱长,利用S2= S1+ S1+ S1的关系,求作二倍体,难题不难了。如测得一倍体棱长为8m,由S2= S1+ S1+ S1的关系得S2=8m+2m+0.08m" {4 }9 l. [; A* u7 M: v
S2=10.08m
' p% t# z2 k* d S二倍体=(10.08m)3=1024.192512m3
# R, s4 z( ]3 [+ A' V$ M舍去小数点后面的数,得二倍体的1024m32 o# D: `0 |- z# _, s! V. E
1024m3正是一倍体(8m)3的二倍
6 ^) U: i& a$ {, O1 ?3 m9 [误差同样是十万分之19,少于万分之二
! ~& ?1 P, i/ A m& G) C8 H如果测量一倍体不准用刻度尺,可用绝索测量,将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分,再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分,取其 ,将一倍方棱长加一倍方棱长的 ,再加一倍方棱长的 ,得二倍方棱长。' v) F. v$ h. j# p& O# X
利用二倍方棱长公式,同样可作出二倍方,这样作出的二倍方,同样是误差约为十万分之19,不足万分之2。但这样作出的二倍体,不用长度单位表示长度和体积,要用a表示长度和体积。
' t; |0 C) q6 A6 a8 Z: Y+ z(五)说明:2 T) v4 O, b/ B" z
当一倍体棱长为二、三位数时,二倍方过剩值可能出现在整数部分,但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右,仍然小于万分之二。
$ P6 P0 D# J* J& _4 O) Q% _) |/ m6 f例:已知一倍体S1=16cm
3 b1 \4 T1 i( z3 U# D由S2= S1+ S1+ S1,得S2=20.16cm& l* e3 D' R! B& L. ], b
二倍体V=(20.16cm)3=8193.540096cm3
/ g5 m& p, O! r/ b7 T0 ?' v一倍体V=(16cm)3=4096cm3# ~. W; r; F: J+ c; T
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm36 K9 s( _+ g) O3 W' I
过剩1cm3。
2 [" w3 v5 ]0 f- j0 P+ K这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值(包括小数部分的过剩)仍然少于万分之二,约等于十万分之19。除去少数部分的过剩,在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理,其一,允许存在误差,因万分之一左右的误差微不足道;其二,通过校正,消除误差。
! N R0 I! Y4 ?/ E. x- c8 e以上论述,自认为主体是正确的,缺点错误难免,希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。9 V% ]* i# d! z4 U9 C8 e
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2 [1 T$ M3 y) k b6 S4 P+ @( ?$ ^我的电子邮箱是:wyt3546658@163.com/ ]7 Q: {5 }3 t4 n* o4 ? L+ \
我的通讯地址是:湖南省新化县上梅镇天华中路立新桥社区郭家巷果品公司家属楼CHINAPOSE邮政信箱袁锡煌 收0 q& t2 x9 f! W7 c8 a& t
6 X5 v1 @; i: p* s4 y8 ^ 袁锡煌 M' q$ X3 ^, |
2012年7月31日定稿
3 U2 k! v) u0 ]7 c% l) ] |
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