倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
- O% `3 W9 R  Y) j先分割一倍体。
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。

（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
( N3 k" t7 G( Y# K如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
9 W4 _) E* D' I' [( O5 a! e图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
$ d" u. r/ S3 c" b% C2 c: d图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。

按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
5 r, _% e; W" A( j2 H2 y+ L128 a3-125 a3=3a3
3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
2 a+ x% h: I$ _5 c% h因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
6 v& h0 Q6 M; X+ r% P设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
: Y0 N; Z' ]/ }4 n1 E过剩原因是长条厚度过剩。
（三）用自然数检验二倍体
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
先设a=1cm
由（4a+1a+0.04a）3
得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
再设a=2cm
由（4a+1a+0.04a）3
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
# {( U1 [# j; E: L=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
$ A& U( [% N/ Q（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
. j+ O3 m, x) l8 ~, [: ~# o（2）为什么要用去尾法取值？
下面讨论这类问题
（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
# Y( R# |- \2 r* ]8 W4 w设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
2 i1 F/ K; w( k$ d% N/ M' DS2= S1+  S1+  S1
2 N5 {3 l6 _( \" s2 y& `上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
3 t( S5 n% r* f8 e例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
解：由S2= S1+  S1+  S1
2 Y  {( p: g" [+ I: D得：S2=4cm+1cm+0.04cm
     =5.04cm
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
( A' V$ w7 U* ?$ P用去尾法取值得二倍方为128cm3
（2）为什么要用去尾法取值？
8 g( O5 e8 [7 p% h+ h0 d5 ^因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
回顾前文所述实例：
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
3 d+ x. {2 F7 n8 N4 s+ G舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
3 C7 B1 A3 P+ l9 c其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
（四）倍立方求作简化
3 F# Z- o3 H( ~/ B' Q如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
/ {( U0 @! m' J) b& VS2=10.08m
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
+ k) @8 l8 u" L2 `7 ]舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
% ]5 H1 w, g! {/ O" F; h1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
误差同样是十万分之19，少于万分之二
# }$ S4 K2 e1 t, t( H4 _如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
7 b2 ]4 D/ b; C$ l/ B* g（五）说明：
2 c. t% I$ u% T3 E, w当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
例：已知一倍体S1=16cm
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
8 o0 [$ I& b" c# \, Z二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
, L$ \2 U- i# v& V二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
, f9 c/ v7 N2 I" e$ z4 S  `0 C# @过剩1cm3。
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
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7 a0 _7 ]  f( d& r                                袁锡煌
2012年7月31日定稿