倍立方求作探索

wyt3546658

（一）分割一倍体
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
+ l, ^+ A4 w  [先分割一倍体。
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。
; ^: Z, F2 d' [) N6 `8 z
; [( y# N# `, R' B1 Y5 A* {（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
( Y0 U* X3 h8 Y- ^如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
8 o/ R; s2 ~# K5 m图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
2 `+ Z' b/ q" H3 P* s+ g
. ]( a2 X( f  Y: K. \+ x2 D按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
' o% C# m& \" n2 S棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
7 P) {, c" U' B5 L3 h: r棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
3 `& Y7 y$ C8 L* {5 O( v1 F128 a3-125 a3=3a3
( H; F( L6 Z  s3 R. g3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
# r6 c% V7 l% @# ~8 g  H- O( C下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
过剩原因是长条厚度过剩。
（三）用自然数检验二倍体
8 [1 v  Q/ _/ P* y上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
# q" y# d* e8 w' ~先设a=1cm
; j! n5 L7 u4 H: ^# f$ y6 l, q由（4a+1a+0.04a）3
得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
再设a=2cm
由（4a+1a+0.04a）3
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
( T5 {* L! m9 g+ H$ Z=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
* X* u6 |# O3 t" m1 m4 t- B" }以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
3 N9 v+ }3 Z2 P) a- f（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
（2）为什么要用去尾法取值？
下面讨论这类问题
6 q! B( R7 d4 p+ K5 h（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
S2= S1+  S1+  S1
8 Q6 N' f7 p7 Q# c, q上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
9 R  B& N) X1 l/ p1 \6 V: x3 s3 f/ B6 A解：由S2= S1+  S1+  S1
  e* q+ R2 g! m3 O- V得：S2=4cm+1cm+0.04cm
' f4 M$ ]6 [5 y5 `* \     =5.04cm
9 ^% x1 U! E: a2 ~& I其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
用去尾法取值得二倍方为128cm3
0 J- a9 [2 m1 J% v2 ^, x& R+ F4 x5 [（2）为什么要用去尾法取值？
2 _- [7 G- V% U+ c. G因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
% f" f+ j/ N" ?! j$ ]; {/ A# t（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
& J8 H* {5 p$ ~! R/ X( }$ G' _回顾前文所述实例：
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
* e" N. ]& B! H- U/ u' ]4 [/ G$ i舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
- t7 E* H) D: s5 W其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
（四）倍立方求作简化
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
S2=10.08m
; I% P' P, C3 F二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
+ p  K8 @! C- N- Z舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
( H7 S2 z' z+ M5 Q误差同样是十万分之19，少于万分之二
  b/ E# f: w' s0 |9 o2 w4 w如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
2 A; x/ \2 b; p6 Q; |（五）说明：
# [  l/ Q5 N/ s1 }  z当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
例：已知一倍体S1=16cm
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
6 C" h" {- ?+ o  ]) N3 B0 |/ U过剩1cm3。
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
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2012年7月31日定稿