倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
* O& Z1 E/ ^5 X. d$ f% [, p2 o设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
先分割一倍体。
8 ?" N# S3 t( @$ p+ \2 P* n5 {将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。
8 T! r" Q( D" X5 b6 M- N; U
（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
9 c% s" A0 f6 O" Y; Z$ d9 W- i图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
5 l. T2 j( B0 M$ d. _) v3 t) E图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
3 c7 M4 n- w) |8 z+ C: n0 n
, W0 f2 P: ]& J7 O$ d* ^( _) k按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
7 O* p- b  o+ S0 ]+ A& c棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
' |2 i; d& N. @128 a3-125 a3=3a3
. E: T) Y7 o1 ]) d3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
$ c) a5 U, E$ F  T' Z! v因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
" `; ?+ I% [0 s+ Q; F2 I设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
) v5 f: s* C  n& `0 K* H但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
  ^0 _- |, }# h7 A. S9 I. C（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
过剩原因是长条厚度过剩。
2 \- ?5 {! \% n; x/ r8 B（三）用自然数检验二倍体
6 P' L9 v8 Y% _5 {  m2 h) O上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
. _, K# t( _7 D5 s- v  M% s! ]先设a=1cm
: j8 R* k) V' e* x  ?. Q由（4a+1a+0.04a）3
( q8 E" T) C& d( `得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
再设a=2cm
- C( W* M" d- y6 b1 s0 W/ |由（4a+1a+0.04a）3
5 d! I5 E$ a1 y, }- v得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
! M# o3 O2 H7 o8 b) x9 ?& J- P=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
, X1 g; L  d+ I6 B4 p3 ~6 {以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
5 r5 f/ H8 I% D) C7 C: P) `（2）为什么要用去尾法取值？
! n8 e4 S& w( q# _下面讨论这类问题
" v* N) N+ Q: f0 R  Z' _5 j  l+ {8 F（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
S2= S1+  S1+  S1
7 a; W- `& E) I2 t上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
! g4 l1 {/ w4 k' e8 O/ k解：由S2= S1+  S1+  S1
得：S2=4cm+1cm+0.04cm
3 T' d8 G: j  U     =5.04cm
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
用去尾法取值得二倍方为128cm3
. X" n6 F1 Q, ~1 D（2）为什么要用去尾法取值？
因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
回顾前文所述实例：
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
' n1 r) X1 [9 ?. O. {. ~舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
+ z; S) C$ }, m7 U; Q其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
  C& ^2 F& z6 d/ s: P6 Q0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
（四）倍立方求作简化
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
: `+ n! |1 Y# WS2=10.08m
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
# {2 F5 ?* e, y% e9 x3 q舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
误差同样是十万分之19，少于万分之二
8 E! w8 W3 o+ l. H2 Q1 h如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
- W8 @" V5 @* e利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
; q( H9 n; L( m) c5 t1 L  ?（五）说明：
* h2 E$ R' Y0 m, A  a" f当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
" x* F+ V2 |, B" X3 J例：已知一倍体S1=16cm
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
# x) L$ u# X* H4 N# V# `4 [  Y二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
, p' X: a0 ^: x/ O  H二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
过剩1cm3。
6 Y- L7 W8 M+ U1 `# E$ ]这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。

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                                袁锡煌
2012年7月31日定稿