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尔顏

A题：GPS定位问题
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
/ D  Q& c% U! U8 e  
/ Z. U' o+ [. H4 q$ e图A.1：GPS卫星的图片         图A.2：车载型GPS信号接收机
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机，它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS信号接收机。
+ S5 s, A4 p- P: O5 \  z/ p% rGPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息，信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差，钟差是未知的。
设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标， 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系，如图A.3所示。               图A.3：地心空间直角坐标系
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
5 ~; t: z! J4 y+ U) @% E! O表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
. y% v( W- t- B0 `/ M0 W卫星1        8747        15150        10100
卫星2        －9756        16898        5228
卫星3        0        10100        17494
* X, h& L* G4 ~9 u4 n3 i卫星4        －12370        7142        14284

- m2 ]6 Z4 B# x9 g; @! K+ s- ?3 ?表A.2：四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间（单位：秒）
* s1 h0 D1 V5 b) b! Y. P4 F地点         

: b; W( ?: ?4 M" p9 o


6 y0 E2 d* P  Q  z地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610
地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
8 l  L, R7 E  h- a9 z  `+ p你所要完成的问题如下：
9 ^* d$ Z5 c- t& U4 F7 W1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并在地图上标明它们所在的位置。
# C, a; U' b9 D" |2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
* l, L. k  _4 l* O$ N, t* E表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星5        －7669                     15723        －10100
  C4 m* v" I+ K$ a5 ^, _% m
表A.4：五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间（单位：秒）
地点         

: h- t6 n5 k7 c2 I, r% O& E( f


: T. X' a# @' R0 q
) S& w8 k$ P' Q/ c) b' Y地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407
4 ]7 I3 ~  H1 _0 l注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
（注：2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛）