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尔顏

A题：GPS定位问题
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
  
1 b+ G# J! V! i4 p, K' h图A.1：GPS卫星的图片         图A.2：车载型GPS信号接收机
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机，它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS信号接收机。
GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息，信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差，钟差是未知的。
4 }2 _! A4 l( m设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标， 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系，如图A.3所示。               图A.3：地心空间直角坐标系
; e; g, h  f, b" N9 ^  z6 f表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
1 @& O% y! {2 p( t' K, V表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
) Z4 ^! `7 z3 }; e& I, n% t卫星1        8747        15150        10100
$ K! {/ ]; i3 C% B卫星2        －9756        16898        5228
卫星3        0        10100        17494
& ~6 i' w2 |7 \7 c2 Y卫星4        －12370        7142        14284
. h% Q" X0 d, c7 u, @, H5 j
4 @7 z/ q/ f' C$ y# ~表A.2：四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间（单位：秒）
地点         
3 m& L8 n0 ~8 P4 ~
# @; Y7 m$ U+ h! a0 @1 D: }
$ F2 ^. y7 N4 t
" x* E9 b6 i; r% y0 h! `2 `
6 A1 L- Z( y* q6 H3 Z, F地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610
地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
你所要完成的问题如下：
1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并在地图上标明它们所在的位置。
2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
* w  S4 o# B& \0 Z+ K, Q表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星5        －7669                     15723        －10100
6 U5 t7 t. B1 }4 z7 V
表A.4：五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间（单位：秒）
地点         
7 [2 V6 n3 e) U* v2 k+ w
! @. o- ]$ W" [8 c! N' o% m0 p
- m! R8 J5 v: w! _  [
% Z' n: R* a: e2 V( p
" [. I+ o* L# A  {, J' [3 z  j
地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407
注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
7 G$ `' D- e  D5 K. |. F5 r5 y" I（注：2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛）
6 Z! G+ V# y' J% u' @