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[LV.2]偶尔看看I
自我介绍 数学建模
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A题:GPS定位问题3 M: ^. A* J& i2 H G
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。: n) n4 o: N. n4 c, G- X
1 b+ G# J! V! i4 p, K' h 图A.1:GPS卫星的图片 图A.2:车载型GPS信号接收机/ _- F3 O$ K" h/ x) {3 B3 F: e6 q
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。' j) l3 f6 v# S9 [
GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。
4 }2 _! A4 l( m 设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。 图A.3:地心空间直角坐标系
; e; g, h f, b" N9 ^ z6 f 表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
1 @& O% y! {2 p( t' K, V 表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)! x" k( ?5 T2 B/ H0 C
卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标
) Z4 ^! `7 z3 }; e& I, n% t 卫星1 8747 15150 10100
$ K! {/ ]; i3 C% B 卫星2 -9756 16898 5228+ W: D0 x; n6 X+ m# k" Y
卫星3 0 10100 17494
& ~6 i' w2 |7 \7 c2 Y 卫星4 -12370 7142 14284
. h% Q" X0 d, c7 u, @, H5 j
4 @7 z/ q/ f' C$ y# ~ 表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒)5 D3 f% G2 O' ~: } h. ]8 ]* t# }: @
地点
3 m& L8 n0 ~8 P4 ~
# @; Y7 m$ U+ h! a0 @1 D: }
$ F2 ^. y7 N4 t
" x* E9 b6 i; r% y0 h! `2 `
6 A1 L- Z( y* q6 H3 Z, F 地点1 0.0549354 0.0489226 0.0491307 0.0489244/ H; |' d! j$ e* O& o, V: y. f/ f0 M
地点2 0.0549906 0.0490084 0.0491953 0.0490126) b0 I, c8 C6 z! G X8 m: ^# ]
地点3 0.0552587 0.0493557 0.0494843 0.0493610% o2 D: v, n8 J! \
地点4 0.0551766 0.0493397 0.0493486 0.04924966 ]: ^4 T1 e3 A# M
你所要完成的问题如下:) w; g$ H3 ?5 M1 ~: E2 y
1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。, [' f1 W+ `3 }# P
2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。
* w S4 o# B& \0 Z+ K, Q 表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)9 z. a q7 U# o0 B' h7 |
卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标& g1 A: z7 _' F5 i0 Y
卫星5 -7669 15723 -10100
6 U5 t7 t. B1 }4 z7 V 8 K# K. w0 g7 j$ Q5 n* O
表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)3 c# Z# L1 ~' ]9 ]
地点
7 [2 V6 n3 e) U* v2 k+ w
! @. o- ]$ W" [8 c! N' o% m0 p
- m! R8 J5 v: w! _ [
% Z' n: R* a: e2 V( p
" [. I+ o* L# A {, J' [3 z j 1 o! s: J0 t7 X
地点5 0.0547118 0.0489472 0.0489068 0.0488635 0.0633407' Y8 D- T! u4 J( G: T
注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
7 G$ `' D- e D5 K. |. F5 r5 y" I (注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)
6 Z! G+ V# y' J% u' @
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