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尔顏

A题：GPS定位问题
GPS是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
  
7 \; z1 J3 R2 H+ F; ?图A.1：GPS卫星的图片         图A.2：车载型GPS信号接收机
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机，它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS信号接收机。
GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息，信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差，钟差是未知的。
设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标， 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系，如图A.3所示。               图A.3：地心空间直角坐标系
3 |) C  b& u# a表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
6 T% H7 p" s, [  J& h/ X卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星1        8747        15150        10100
1 \2 G  k" V& [) n& D卫星2        －9756        16898        5228
* e& {' b* t; p! \+ P0 |5 t* F卫星3        0        10100        17494
4 |4 u+ c( S3 a8 K& [- g卫星4        －12370        7142        14284
/ \3 t1 i8 t% b- M* u4 }4 a5 c. u1 s
* P& g- ?9 k* U& w/ g表A.2：四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间（单位：秒）
地点         
  @! L" q2 J3 Z& ~
5 J( d4 W; i0 R( I4 \# ^0 r( J
  G* _8 n0 C; ~) Q- X) G- J4 d
8 F* \3 B5 S6 i' @2 @
8 m  A! @2 ~- M4 R4 I地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
" g/ e( @* U2 q% e& G' M$ W地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
8 B8 L0 M& X0 A  L6 I; `5 @" F' W. _' y地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610
地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
6 D& O/ {8 Y% f% I, ?你所要完成的问题如下：
1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并在地图上标明它们所在的位置。
2 W; s% k5 j& V+ l' u: ~0 _2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
0 B8 {3 U& M% [卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
卫星5        －7669                     15723        －10100

表A.4：五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间（单位：秒）
$ w: }, Z* k7 v; [! I地点         
9 R+ T4 w! l4 U$ m6 I! u
: _# M8 f: Y8 r- H) ?
% f- u" g: F- e( ?  g6 P% u8 S/ B$ p
  S) O* w) P# V: W; B

地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407
3 ^+ N* i" L* @  J+ v* U' [+ N4 w注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
0 @/ B5 p+ X( l（注：2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛）