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A题:GPS定位问题
) X' l. j6 w! s$ O% f% G' H4 q* gGPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
6 ?+ S* V: d, G$ j8 D! I* Z1 |$ Q 2 A. v$ I. T5 }
图A.1:GPS卫星的图片 图A.2:车载型GPS信号接收机
0 x0 I2 h: K5 w! u: A8 TGPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。
$ R" m: g0 n. n" a* uGPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。# C9 G% c) |) y8 H" n( s6 P
设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。 图A.3:地心空间直角坐标系
3 l/ d) w% x5 H0 j5 u) u/ d$ `表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
1 I6 Y3 h# ~$ _9 k0 x3 ], U表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)
5 m* k: v* R$ r& H卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标
: A) \4 P* K9 m! n, B8 B! |卫星1 8747 15150 10100
4 C7 q/ o# ^2 D5 s' E4 Q# I# W卫星2 -9756 16898 5228
- g" e1 V. E9 K8 x) Q! y卫星3 0 10100 17494! Y" }6 w3 r$ Y; J
卫星4 -12370 7142 14284/ I4 B2 o& l& E) ]5 |4 G/ G
^3 W& g @% a( v( i. X$ H表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒)
4 M, I2 ~- B6 z地点 + O; D" t- C8 t. V, u
1 E) @9 W+ B T @
6 T0 Q" Z+ a% I# M4 ?* W* Q2 W ! Y* K" M$ @! g/ i# r0 C9 A6 d z
# N/ \* [1 s, Y# u8 g
地点1 0.0549354 0.0489226 0.0491307 0.0489244) N* a6 A b& W& E z
地点2 0.0549906 0.0490084 0.0491953 0.04901261 b8 _( h, s1 m P2 l. q) z
地点3 0.0552587 0.0493557 0.0494843 0.0493610
6 I7 o" q8 _) f: E0 P地点4 0.0551766 0.0493397 0.0493486 0.0492496
1 Y8 O: L5 n7 e) g3 y$ E你所要完成的问题如下:
+ }* y2 q, h+ }/ L1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。/ p8 V' Z, K& W8 u7 j; Z# g# |
2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。' J7 K9 b* Q8 L' H$ e
表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)" ^. p( g* R8 c T0 C. v
卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标( G V3 n0 k5 R
卫星5 -7669 15723 -10100
' |$ B* f1 d9 w$ r+ t6 Z) a4 a2 _; h: t8 [) F% Y) t; ^+ T
表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)
4 i! n7 V+ ~" ^: v9 I, }( u* m地点 1 g0 V/ A0 Q, F6 J
, U" M4 G- I( F$ S5 p - |1 V4 X0 `% h- ?4 Q, M/ `
: B6 N- X, {8 t - I7 R3 S) M P% d5 Q
: H9 B) s8 c1 a0 J1 l, O7 F% L
地点5 0.0547118 0.0489472 0.0489068 0.0488635 0.0633407% n, R2 u/ @, h. _
注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
. y0 Q4 K- H$ O$ \/ n4 K(注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)- p% n& W3 l) [/ Y) k
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