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尔顏        

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-8-22 20:27 |只看该作者 |倒序浏览
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    A题:GPS定位问题0 K) N; L+ @1 m7 B4 S5 h$ H
    GPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
    ' B% L9 q0 ]7 `. x" I6 k& d  5 [% _" ?# J- K  n6 d
    图A.1:GPS卫星的图片         图A.2:车载型GPS信号接收机
    7 B3 f5 o  ~& w; b! O" N' uGPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。' r) d* B) v0 _/ Q7 Y' g% X+ U
    GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。
    1 ?0 R1 D# {. _设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。               图A.3:地心空间直角坐标系% p) f4 x: V  P9 X- t# E4 C
    表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
    ) V/ _3 i  O6 X0 J( \" j9 L表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里). A$ d3 v" D7 K5 K9 M) S
    卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
    " f3 ^3 K* t% ]* y! ?$ `卫星1        8747        15150        10100
    + t$ t( q7 Y. O) e8 v, l2 y! `! w卫星2        -9756        16898        5228
    3 c! v. ~2 L& E6 I9 z卫星3        0        10100        174940 e/ L7 g0 I* z/ E2 _
    卫星4        -12370        7142        14284
      H' a+ J8 [# X7 ^* t" c2 L7 w
    , Q4 x+ Z: c% p表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒)3 X9 U  n7 I0 |8 Q& ^7 G+ W
    地点         8 u- Z/ c3 _) Q; E4 x# D) a

    % D9 d0 e. c" \, _: [ 7 q8 W2 e! c9 g5 O& e( E

    ( Y4 ?/ B7 P* K& g  a
    8 \$ X9 r% Z6 r% Y' S( ?) C地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244
    1 j% d2 k7 b% [) o2 [地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126
    3 m. k3 F! S8 y# r: N地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610$ Z* {% t1 n5 I; ?3 o
    地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496
    ! ?1 F: Q+ u9 J8 h% m! N$ d你所要完成的问题如下:6 K3 L/ v1 p  Z/ S9 F9 U
    1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。7 B  U# l0 ~$ O8 O
    2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。: r8 c# S3 F: c  k3 Q
    表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)) e1 S) Q& b8 I4 o! i  x
    卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标
    + Q9 r" |8 W) a6 ^. G4 V' R卫星5        -7669                     15723        -10100
    . L+ p; k5 D, L5 o
      Y. `4 ~* v- `9 q# ?' g' }3 h: J表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)
    $ l1 f7 B( G  E* c6 Q8 z+ }4 K& L地点         - L% @% o% ~9 A5 i0 d+ s$ V

    $ g. u% e0 Z7 w) s& K7 A " m$ Q+ Q. i1 k" }1 X3 ?$ @- X
    2 l/ h% p& ]  i

    , D, h1 o2 q  C0 o( b" }
    - \* @; b# L  j0 g地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407# v+ G( P6 V* ^0 @$ r9 ?3 {6 i
    注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
    , w5 c  B7 M# V8 R6 c1 E(注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)2 D% {3 m% e- Z9 R" F
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