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尔顏        

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-8-22 20:27 |只看该作者 |倒序浏览
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    A题:GPS定位问题
    4 ]8 p+ j" c7 Q9 _: H( kGPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。1 e' z5 t$ h* A
      
    ( a( O/ f" G) D' J" \1 E/ U8 h图A.1:GPS卫星的图片         图A.2:车载型GPS信号接收机$ u- d* \  f6 [- L% P
    GPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。
    + o( C! Q1 H! ]5 AGPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。/ q7 u- R* ?% m8 X/ _
    设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。               图A.3:地心空间直角坐标系
    ( R3 n: k" V1 z, n$ z: Z" O表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
    6 S& ]$ S0 M  _+ f0 N, Y; ^, r表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)0 u) J! G5 ]$ s' a# b' F
    卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标6 C2 P; e- `! L" ^$ K  K. {
    卫星1        8747        15150        10100
    4 L5 `1 E1 M% o' P( M& P; Z卫星2        -9756        16898        5228
    ' L4 G7 s- h/ e( T! r+ d( v卫星3        0        10100        17494
    9 c8 b" Y1 U3 R* U0 `# b卫星4        -12370        7142        14284
    6 P# I; e2 D( k( f) r% S, |/ V4 ]# ~( N, W. ^  {, J1 d! d% L
    表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒)2 ~; Q7 V0 \5 N) `
    地点         
    , R8 k( l* y6 R6 }3 M$ h ' i/ J4 x* X  T* S$ C3 M/ l

    ! ]4 q' G3 |: v  Y0 F
    . b$ K) c% D3 A4 I8 L( ^( R7 Y, d/ i8 _$ d5 h
    地点1        0.0549354        0.0489226        0.0491307        0.0489244' v" {/ v6 y6 }& A
    地点2        0.0549906        0.0490084        0.0491953        0.0490126/ E' N: W. k2 r- u) B8 r
    地点3        0.0552587        0.0493557        0.0494843        0.0493610/ x: l* l* i1 ~* H; y  c
    地点4        0.0551766        0.0493397        0.0493486        0.0492496% h0 g( v6 V4 K! [+ ~6 y/ L+ \8 s- }1 d
    你所要完成的问题如下:
    6 Y8 b9 ^. e/ r; y: m+ b1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。7 d  |. x- G+ @, l& D
    2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。7 B- q# ]  |* z1 l$ y7 p
    表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)
    - |9 v" V  f' U4 X1 w卫星        X坐标        Y坐标        Z坐标$ X& |: _! N; e$ D
    卫星5        -7669                     15723        -101000 Q( Z) z  n8 x* [/ a4 [' V

    8 X6 v$ ?: l) _# }2 `表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)
    9 j9 n) f% D0 g. @地点         
    6 u5 p' R* A  C1 D8 N1 @. x$ Z6 p
    - G. T$ z, x% a, Y
    ; o' \; ]' ~9 ~3 i" ?
    * m9 d) b+ P4 w+ z: w7 | 8 ~. g' l6 n& E: _

    4 j( u3 @- ~' a: @" T& C地点5        0.0547118        0.0489472        0.0489068        0.0488635        0.0633407. R1 d( q8 j, C7 I5 L
    注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
    - ?) |3 N' f9 T& S(注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)
    & d# a& e( r7 E$ {2 Z9 C3 ~
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