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A题:GPS定位问题
* @2 |2 q. i' Y: t8 rGPS是英文 Global Positioning System 的缩写,即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成(21颗工作卫星,3颗备用卫星),它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS卫星的示意图。
, n; r0 Y5 U! X( x! i ! T ]5 Q% z3 i: H
图A.1:GPS卫星的图片 图A.2:车载型GPS信号接收机( `5 c6 e2 i. ]
GPS的用户设备部分是GPS信号接收机,它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作,图A.2为一款GPS信号接收机。: R3 Z2 _. V+ S
GPS信号接收机能收到GPS卫星发来的信息,信息由GPS卫星所在的空间位置和GPS信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定,为简化问题,这里假定它是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟(铯原子钟)和地面接收机上的时钟(低成本钟)决定,所以有误差。由GPS卫星上的原子钟与地面GPS标准时间之间的误差称为钟差,钟差是未知的。5 N' h) X/ ]5 G2 p v
设 为第 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标, 为GPS信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合,Z轴指向地球北极,X轴指向经度原点E,Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系,如图A.3所示。 图A.3:地心空间直角坐标系' j, d+ ^) q {8 L) T! h6 V$ i
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置,表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
, h1 _3 Z3 {/ W) c表A.1:卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)7 o. f6 z5 j) Z% f: g7 D
卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标
E/ W6 g0 u8 T8 F Q+ f- u; p卫星1 8747 15150 10100+ r6 V+ ?0 I6 B# P4 b2 t3 B- `
卫星2 -9756 16898 52287 d. z3 T( k- z6 j; D3 W' U' g
卫星3 0 10100 17494
( r- C+ l6 ~& \; n6 ~! ?2 n( p卫星4 -12370 7142 14284" t9 I2 X/ y( o( ~4 D
- l8 _! |% l/ H- i5 H
表A.2:四颗卫星的GPS信号到达四个地点的时间(单位:秒)
$ u; c3 t$ c7 K; K( E) v2 [地点 7 Y V+ j4 Y/ u8 q; b- @& I( H3 p
5 J1 N4 |: J: Q( W* l
' P0 e$ b" z4 N: G
# z0 Y; G6 r0 I1 w; h8 w* d$ z" m+ U7 K6 |: |
地点1 0.0549354 0.0489226 0.0491307 0.0489244" b7 E& B8 l- y% m8 d
地点2 0.0549906 0.0490084 0.0491953 0.0490126
1 I, F4 [3 y4 @$ i地点3 0.0552587 0.0493557 0.0494843 0.0493610$ C/ L, a3 s5 F- k; H/ X8 Y
地点4 0.0551766 0.0493397 0.0493486 0.0492496# _" J, t) l: O+ f
你所要完成的问题如下:
8 D8 e, |/ r- i9 c& F% @! @1. 建立相应的数学模型,确定出上述四个地点的经度与纬度,并在地图上标明它们所在的位置。
1 ]' A1 J, b3 A' ]; t( Q& U n2. 在通常的情况下,地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号,对于多于4颗卫星的情况,你将如何修改你的数学模型,使得定位更准确?表A.3给出第5颗卫星的位置,表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置(经度、纬度,并在地图上标出)。
) A" a8 V1 Q# `3 Q( W+ ~表A.3:第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置(单位:公里)/ C' y0 j( T$ m2 ^7 Y
卫星 X坐标 Y坐标 Z坐标+ ` j$ G1 g$ @% S K
卫星5 -7669 15723 -10100. w/ c+ p7 V4 f
5 ~! Y' l+ N! }3 a
表A.4:五颗卫星的GPS信号到达地点5的时间(单位:秒)- f) E, V7 P" r" U9 n7 {
地点
- q8 v/ ]& ]; Z2 W7 q0 F
2 Y3 i2 l! N* ]( x4 k 9 l+ u: f+ k) F8 T
O" y' T, G$ E' Q) m! F 2 w0 T% g; ?, F% O9 z
; p+ w6 H# d0 n8 N0 u. I
地点5 0.0547118 0.0489472 0.0489068 0.0488635 0.06334071 t# T7 k( g. I! c2 I
注:地球半径近似为R = 6371 公里;光速为c = 299 792.458 公里 / 秒。
# `7 P# g7 q( D9 a ~3 H(注:2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛)
/ }$ c0 v: h- o, a' |& ]' U( V |
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