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同素理论与哥德巴赫猜想
/ r! t" p, ~6 b. d+ j0 Q杨天生
- \ F7 S: f7 wQQ:784177725
; L6 X3 R i9 f( j6 j9 G' _# i8 U邮箱:yangtiansheng68@sina.com
8 {" U& R e4 K* j摘要:1同素理论:一个自然数a和另一个自然数b,如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数,我们就称a和b关于m同素;, m$ y7 B4 P! ?" J3 e
2、对于自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b),则M(a+2,b)也成立。( g [3 f, h: o+ L ~; ~
3、对于奇数a,b(a<b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)同时为素数,则称a,b关于m增同素;
9 A! g1 B5 V5 l1 n4、对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。当a≠1时,其逆也真。
& c1 R6 C: W( t# B主要方法:数学归纳法5 M* K4 c! g: g$ C+ [# e; g0 L
关键词: 同素 增同素 同素定理 增同素定理& M' U( x" i5 @
4 n! k9 g+ u0 v1 A$ P& V2 m: ] \0 _正文:
- u# _* _* c1 S4 [$ y7 X4 \. r我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究,认识了自然数的整除性,奇偶性,总结了许多规律。其实,自然数还有一类重要特性——同素性。
" q3 \; v0 X$ h, `/ n; H一、同素的相关定义+ H ?7 N' f0 B8 _/ a
观察下列关于自然数的算式:+ C" n/ u% u4 h' w7 c4 J
给定奇数1和45,有:5 w5 P3 e9 f: _& |8 S3 ]8 n7 q
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29(素数)2 c9 |4 A2 T9 ^5 d' F3 g _( F
给定奇数9和123,有:
- z$ T/ P$ o) m' N) O- v! o9+2x11=31(素数)、123-2x11=101(素数)
% d( D/ T! @, b* `给定偶数数12和94,有:& J- _( ~5 l( y2 F: H8 k1 Z
12+(2x6-1)=23(素数)、94-(2x6-1)=83(素数)% G6 B% z' Q* b# R. Y1 y
……
; d2 i5 ]" T, K, _ Y定义1、一个自然数a和另一个自然数b(a,b同奇或同偶,a≤b),如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数(m为非负整数),我们就称a和b关于m同素,记为M(a,b),m称为a和b的同素模,a=b时称为本同素,a≠b时称为异同素,a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0,同素模有可能是一个或多个。
4 G6 b5 O, `& w& Z2 M特别规定:M(1,1),M(1,3),M(2,2)没有意义,即M(1,1),M(1,3),M(2,2)不存在。
. j0 ]7 z. i/ U# h另外,在M(a,b)中,M代表同素变换,不代表任何具体数,m为一具体数,但不固定唯一。; j8 b) Y4 Q3 c
我们根据同素的定义,容易理解M(a,b)成立时,M(a+2n,b-2n)或M(a-2n*,b+2n*)(n<b/2、n*<a/2)也成立。; C$ f6 H/ Q$ }/ j3 U
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)或【a+(2m+1)】与【b+(2m-1)】同时为素数,则称a,b关于m增同素,记为M+(a,b)。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+(a,b)成立时,均满足a≤b的要求,不再特别注明。$ y4 X- I' @* r! m
例如对于奇数1和5,1+2*1=3(素数),5+2*1=7(素数)
% y- I& b" M' H- ?" d4 k+ k所以有M+(1,5);对于奇数15和43,15+2*2=19(素数),43+2*2=47(素数)所以有M+(15,43)。
$ Q8 g: @5 Y* x2 D G# R由于素数有无穷多个,显然任何奇数本身满足增同素,两个素数永远满足增同素,其最小同素模为0。2 Y2 \" o v7 n1 F e
根据增同素的定义,容易理解当增同素模大于1时,如果M+(a,b)成立,则M+(a+2,b+2)或也成立,其增同素模为(m-1), M+(a-2,b-2)也成立,其增同素模为(m+1)。
" H+ P' G3 M, |, p+ A- I定义3、给定素数a,b(a<b),如果b-a=2,则称a,b为孪生素数。$ o# I& D1 R4 U! j
定义4、给定素数a,b,c(a<b<c),如果c-b=b-a=2,则称a,b,c为三生素数。7 W: T. m- B& D+ d) |
定义5、给定素数a,b,c,d(a<b<c<d),如果d-c=c-b=b-a=2,则称a,b,c,d为多生素数。6 \2 i, n5 W) G8 q; F
二、同素的性质2 U# c2 e) y' ~
自然数同素有许多有趣的性质,下面举出几例。
6 j* c- R. E; S$ p1、同素定理:对于奇(偶)自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。1 v+ \( k/ R* U) n0 i; ~; q
证明:先证明同奇的情形。为了叙述的方便,我们不妨先讨论a=1的情况。7 ?2 c$ l% {: t" D! i, y; m
①、容易验证:据M(1,5)有M(1+2,5);据M(1,7)有M(1+2,7);…… ,据M(3,5)有M(3+2,5);……。. W% Y- q1 K5 w$ ^: @8 c" i+ n! w$ r
②、假设当a=2k-1时,上面定理成立。即M(2k-1,b)成立时,有M(2k+1,b)成立。那么当a=2k+1时,有:
, Y, \, O# B& {0 s; O∵M(2k+1,b): D3 c) E$ J5 a) ]8 T7 W
∴M(2k-1,b+2)
" H$ C1 [% ], S0 H9 C3 i5 Y∴M(2k+1,b+2)# ? J/ A* p$ q! ]: {1 `3 s7 y
∴M(2k+3,b)3 V% w. T; B0 o( y
即当M(2k+1,b)成立时,有M(2k+3,b)成立。
" F( Y' O' L0 O综合①、②,由k的任意性可知,对于奇数a(a+2<b),如果与另一个奇数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。
1 z d, s$ @; ?& `, i3 g2 T x同理可以推出a,b同为偶数的情形。
8 S/ J" a( @- r# Y综上所述,对于所有自然数,如果M(a,b)成立,即M(a,b)有意义,则M(a+2,b)也成立。
) X- z8 V7 h% c$ `2 j3 A9 \9 o; Q) @2、增同素定理:对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。! u8 z% e& g! O% G/ M9 `
证明:(1)、显然由M+(1,5)有M+(3,5);由M+(1,7)有M+(3,7),……;由M+(3,5)有M+(5,5),M+(3,7)有M+(5,7)……;
* T% f( Z X& \5 |# Q' h- o(2)、假设a =2k-1时上述定理成立,即M+(2k-1,b)成立时,M+(2k+1,b)也成立,那么当a =2k+1时,显然由M+(2k+1,b)可以得到:: O- J: G9 S& r* E3 h+ a# C
∵M+(2k+1,b)
/ D1 T: F) @* q4 y! V4 ]∴M+(2k-1,b-2)' _( t# s( T5 y% u1 q$ O
∴M+(2k+1,b-2)& C/ \+ r# }5 ^, [, N. C- z
∴M+(2k+3,b)- p& [2 ]! W. m, c+ R& I. h
% W' W: R1 G- g8 m
由于素数有无穷多个,那么选取适当的素数c(c>2k-1),在小于(2k-1)的范围内任取一素数d,显然M+(d, c)成立,根据假设,有:M+(d+2, c),M+(d+4, c)……,M+(2k-1, c)也成立。( b" X# l4 S7 N; x5 P" l
由M+(2k-1, c)得:
8 w8 m! Z6 y DM+(2k-3, c-2), G/ d+ f; m/ b Z5 f
∴M+(2k-1, c-2)
& F) ]5 I; o5 z8 b2 C- J2 Y∴M+(2k+1, c)
; u$ o8 _# _* S! T由k的任意性知,对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。
0 Z1 x2 w! x* V( V! o* |5 \. [ j下面我们再来证明当a≠1时,其逆也真。
- \8 b7 V# G( L2 l" ~, g, E(1)、容易验证,当M+(3,5)成立,可得M+(1,5)也成立;当M+(3,7)成立,可得M+(1,7)也成立;……当M+(15,27)成立,可得M+(13,27)也成立;……
/ Y3 z$ ]. _: G(2)、假设当M+(2k-1,2k+x)(x为奇数,x≥1,k>2)成立,可得M+(2k-3,2k+x)也成立,那么当于是M+(2k+1,2k+y)(y为奇数,y≥3)有: j( u. A: b+ m9 q v; r& R
M+(2k+1-2,2k+y-2)即M+(2k-1,2k+y-2),根据假设有:
; f5 B/ s7 M- N6 n/ A( AM+(2k-3,2k+y-2),而k>2,故2k-3≠1,
* K0 L! ?0 f# v8 U' w) a% u∴M+(2k-1,2k+y)
$ z6 l F$ ^ B0 a6 p8 S- g R由k的任意性知,当a≠1时,其逆也真。& b# Z y' [$ T1 }9 k" G1 J
推论:自然数中,所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
' M4 Z$ S5 w3 m证明:先证同为奇数的情形:
" V, d" T$ V- B: x2 V(1)容易验证,M+(1,3),M+(1,5)……成立。 ~& t( K, \8 I% v! B
(2)假设M+(1,2k-1)成立,那么根据增同素定理有:
5 i7 k+ R% H8 x' IM+(3,2k-1)M+(5,2k-1)……M+(2k-1,2k-1)也成立。而M+(1,2k-1)成立,故M+(3,2k+1)成立,4 X1 P! p- I! o( l0 f, N) K# p ^
∴M+(1,2k+1)
+ u; u2 `4 c3 _ B' u% k6 }! C q∴M+(3,2k+1)
5 C& t. f, f3 O/ V$ D, M) ]- Z* O& c……* \# M. f4 b8 q+ O# N
∴M+(2k-1,2k+1); i9 E8 k) [! b4 G9 J8 b5 _* q
又∵奇数本身永远满足增同素
$ r! m$ B9 d. ]' t; ^∴M+(2k+1,2k+1)
2 C; o/ F2 Y. v* |由k的任意性知,自然数中,所有奇数两两增同素。
1 F- D* a! h4 G5 `9 i3 \3 y5 I) ]) b同理可证同为偶数的情形。, s3 D. E6 E* Y/ k) Q4 z
三、同素理论的运用举例1 u- D; A" s: ^3 L8 F
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
& T) `8 b, e' n# m- Q3 v- n0 V8 Z已知:2n(n>2)/ b) f7 f% H- Q! D* d; a
求证:2n=p+q(p、q为奇素数)
) {- v Y) T! R$ |5 b& w证明:∵2n=1+b(b为奇数,b>3) c- G/ x: ]1 J% `. I+ U2 q' C
M(1,b)成立
+ L; X1 k, d" Q# q$ H/ N, r, @ K 即1+2m与b-2m同时为素数
# W8 J/ g, R) [8 K. @( R- a8 x∴2n=(1+2m)+(b-2m)
) A: W& g* l+ j4 n# K1 ?0 F令p=1+2m,q=b-2m,有:, C1 b! Y+ x- J/ t
2n= p+q(p、q为奇素数)
! P9 M7 Q% Y5 L0 Z; K推论:任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。- r% _+ p& q! I9 ?: W
事实上,任何一个大于7的奇数,一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和,而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和,故推论成立。
9 V0 ~& a7 X3 F- y5 _2、孪生素数有无穷多对。
: b- R8 I) J }9 H( w证明:假设孪生素数仅有有限对,那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a,b(a<b),
8 X7 O5 t2 {7 ~1 u2 |' B& f1 K∵M+(a,b),故存在m>1,使得:
5 U0 \6 ?" E, L( q/ k∴(a+2m)与(b+2m)同时为素数
' W+ o D; s1 v D而(a+2m)-(b+2m)=2
$ \. M8 V' T O: \" v% U1 k$ B3 a∴(a+2m)与(b+2m)是孪生素数。. J; w P& C% C+ T# Y
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
! z8 p) Q/ ?# r+ e+ d推论1:三生素数只有3、5、7一组,多生素数不存在。2 H" I' T: x5 Y4 M
假设除3、5、7外,还有另外一组三生素数a,b,c,9 b' X6 }; u! R; m
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1,则b能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾;如果余数为2,则c能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾。因此,除3,5,7外,没有其他的三生素数。+ p! G, o0 f7 [8 U- u/ ~" [
同理可得,多生素数不存在。
' C0 o% L& p6 N, X( _推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
3 p' ]. M3 K% U; E+ y- S, y证明:任意给定偶数2n) j: w) Y/ ~: E) E, @: X6 ]+ O3 \
∵M+(1,2n+1)成立;! K, q4 F, q' k+ p9 e3 \
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数. t; ~$ l4 C6 u! w* V
有(2n+1+2m)-(1+2m)=2n! q: j2 B0 g* k7 S7 q1 F
0 A7 B7 k# W$ a* M; {
参考书目:1、《中国大百科全书》数学卷,华罗庚、苏步青等主编,1988年11月中国大百科全书出版社出版,P628-P629。
. v- J. P& g' y 2、陈景润《初等数论》。
( N9 F( _0 ] d: z( p, P# A3 A8 d |
zan
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