同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
& o8 A& H3 c% i杨天生
: I0 o8 ]: B) O5 KQQ:784177725
+ I% M) `" c3 W/ R3 e邮箱：yangtiansheng68@sina.com
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
/ \/ t2 p9 b, T1 J* m  c4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
% N) U' B9 ?) Q& B& S/ m7 ~, i主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

. Y- M! Z1 j* j9 ~8 l: ?- R正文：
  p0 G6 I9 v5 P" G" W+ c我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
7 a+ z2 d8 I5 ]' H) v# y一、同素的相关定义
观察下列关于自然数的算式：
- q' g! H! V$ u3 ?1 h4 ~给定奇数1和45，有：
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
& K8 p) W0 x8 k0 N2 u/ g给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
4 h2 d; s4 h# A$ G我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
) s. f6 n4 H; r7 E: |根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
' u/ ]7 x' s$ ?5 t  z定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
7 s6 s! C: i- G  P8 s定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
二、同素的性质
7 z: y2 H9 g/ X7 S! m( g自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
* W. p* X; Y1 n! D/ A1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
2 q, |, P2 U0 g' d证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
+ v# T5 t1 f, W5 h( ^②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
  Q* C1 v' t" {7 [/ R, l! |∵M（2k+1，b）
% d, i) w/ c& R∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
& P1 i( G) m7 d8 n∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
" g* D1 [2 O2 ^9 G∵M+（2k+1，b）
5 g& j( u2 x3 B∴M+（2k-1，b-2）
. Y# F9 F" a0 v0 C+ z# I∴M+（2k+1，b-2）
5 {5 {$ W- v: J6 D∴M+（2k+3，b）
  L+ H% \5 t0 J2 x
5 F% X. ~! _$ g由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
由M+（2k-1, c）得：
5 {4 [+ K0 u- C9 j0 o/ _M+（2k-3, c-2）
& @+ C, T+ I" O) t3 P3 g∴M+（2k-1, c-2）
# I* I4 T! H$ G2 H& f# n3 ^∴M+（2k+1, c）
& P0 m5 w: d8 d( A由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
  ~' ~8 R4 m7 d7 {（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
' y; ]6 ^: d8 A4 wM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
! B+ y  v8 ~. U8 e  hM+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
0 L) p2 Z, E/ N3 _! p7 K; F∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
0 R0 y1 o* V3 n7 f2 r7 w$ [# b1 X  \推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
! H7 k4 i* v* d3 F5 q/ b" p( ]9 N$ w∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
/ B6 [* i' }2 Q, x5 V……
, p! k% V$ `7 Y# X4 b+ v∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
; A9 }; @6 I; e4 u+ F' x6 c# f∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
+ T, r1 i  w1 H( D- r" k同理可证同为偶数的情形。
" l$ x  K: E6 Q  Q三、同素理论的运用举例
& ^( D8 z5 O) |6 A& t: [; n& I1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
' B& `+ O/ e6 L2 p' L& Y2 K8 h% v已知：2n(n＞2)
) \4 H: F8 h8 ?. `& y) ~0 b  j求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
' I& w& T9 q: j& I4 ?) d      即1+2m与b-2m同时为素数
$ K5 ^% G8 t8 k: C/ X5 a7 k∴2n=（1+2m）+（b-2m）
% O: @3 y# }" W. P9 a* ^4 s1 L令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
# U: d* {9 y& S4 |3 ^6 j, {推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
/ u; v, u- }+ S" t( S  F- H3 k事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
' x9 ?  n: S2 {+ L, S. K, N2、孪生素数有无穷多对。
4 w3 E" s: f6 U/ v2 ^5 ?证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
0 u  f8 z3 L6 z: U; C6 o% I. c! _% ?∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
- g/ M; k& u2 d而（a+2m）-（b+2m）=2
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
% V" x) \: q0 F" _: a9 l推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
- w2 J8 s7 e' _, B: ]% T1 w: ~假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
  n1 ~0 d3 y5 B/ g/ h# k& Q7 f则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
3 B" ?4 }2 Q& ?5 D同理可得，多生素数不存在。
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
证明：任意给定偶数2n
7 z1 i, r+ W7 C$ n1 W# `∵M+（1，2n+1）成立；
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
3 U2 h& b! W7 q8 j1 O) j% X有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。
6 f# u. Z' V4 |2 C, R

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请多指教。

茉稀

请多指教。
6 J+ o8 c- E# ?( e' h) h  G; j+ F

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同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；