同素理论与哥德巴赫猜想

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同素理论与哥德巴赫猜想
0 g% d1 o( F2 _' I. m) ?杨天生
& s0 ?( N( O' n/ o4 P0 S1 ~3 jQQ:784177725
邮箱：yangtiansheng68@sina.com
  p/ V: n. b# G4 W摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
0 A4 L' I4 A0 N8 n0 R% G* L3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

正文：
& Q( q: T  b9 W  O0 W我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
观察下列关于自然数的算式：
: Z/ f/ P; |0 U: {给定奇数1和45，有：
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
) R3 ]+ ^% G, ], e; O1 h给定奇数9和123，有：
. `+ Q( y) F4 r) A* I9 w9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
* i# S4 Z% g2 Y: C/ z给定偶数数12和94，有：
( F+ E! z0 r9 G8 g6 c2 V  [12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
$ M6 i! b' g* h* w+ \……
+ u( s; g/ ~! f8 e定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
; P) ^; E( Z3 F' l3 v例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
1 i) D4 }0 i" W$ c- q所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
0 @) D: s, a) ]6 e根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
; `" p7 U$ C+ c* d, W  j! k! O定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
  j3 B/ O$ G1 D$ ~+ m& B$ @②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
, H# _; k0 t( J. U% h∵M（2k+1，b）
∴M（2k-1，b+2）
9 R2 n: W% A1 D" v5 [∴M（2k+1，b+2）
/ R5 d6 Z# F% `% c2 u5 L∴M（2k+3，b）
2 a% X  q1 u+ @1 p- q7 r即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
1 U  [& A# \, x% Y: F（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
: T6 r2 z. |1 }& G∵M+（2k+1，b）
6 i6 {6 W6 P3 Z+ |8 p. d; p∴M+（2k-1，b-2）
7 w) M5 \( ?& B: ~. u. n1 m7 t6 C, o6 P" y∴M+（2k+1，b-2）
6 M5 h2 e* n8 }$ t∴M+（2k+3，b）

由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
% Z- r  w5 O  [0 @" f由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
$ V" D2 ?; \4 [7 y* P1 ]下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
7 \6 [2 _" O* s' V2 b4 X8 D- E. X（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
. n. M1 |: r" X( p1 s0 `M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
& G. l  }# U, `% w& l1 i由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
0 n# O$ z' W0 O4 |推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
4 u  @& i, S, W0 P8 T2 s) o) J证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
. d9 r( `$ D- Z* D& }" I& [! L2 D（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
! V: z5 M/ L. |% e$ l∴M+（1，2k+1）
; H1 ?/ i% H# ^∴M+（3，2k+1）
……
∴M+（2k-1，2k+1）
2 k$ Q9 {2 h. v6 ?( G又∵奇数本身永远满足增同素
∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
+ C) u0 U  v; [' N% d/ T同理可证同为偶数的情形。
三、同素理论的运用举例
4 ]* s0 V1 Z) {: k( X1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
' c4 J/ o2 e8 G* h3 X" Z7 W( o令p=1+2m，q=b-2m，有：
  A! S' e" w  |- a) ~8 N$ W: ~2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
( h' J, x" e! Q事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
0 B1 L$ J9 O- {8 I4 s2、孪生素数有无穷多对。
" B- V0 }. A( ]" }0 Q证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
, |$ f( f$ s2 }+ Z1 j6 Y+ [. N9 @∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
' z- J. `! P0 g3 @显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
0 g* D" o3 b3 F$ p1 Q: o$ @则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
+ w5 w+ t+ f6 h* ^1 Z9 \" Z/ e同理可得，多生素数不存在。
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
( T% n% |: I$ o9 y$ T" Y/ t4 s  U证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
0 n% S  j8 H0 `$ F5 Y: Q4 C∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
- [. t' d' k8 m5 F- ~有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
6 V. G: \+ P' W1 k  v7 _          2、陈景润《初等数论》。

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请多指教。

茉稀

请多指教。
" `: N% |4 r9 R/ g  M! Y

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同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；