同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
7 ^% ?& B2 N6 U! T杨天生
: A: _$ S& W& y" ]+ l9 C$ MQQ:784177725
邮箱：yangtiansheng68@sina.com
, K$ @: ]% T+ ]5 I& e6 z摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
. j  y) J* ^' f- W2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
4 g! }- X, ~* c( M1 Q/ J3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
. s6 z7 t( _, N4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
2 ^0 `$ j9 o6 u5 }5 e2 N: ^主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

正文：
/ w% D# M& \# c! ^, n8 Q) f我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
  o  g% Z5 P- b. h观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
. r' A+ o3 [; D, h$ B; |5 p; Y给定奇数9和123，有：
9 c  e  G; }+ a9 h0 Q9 f/ a9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
) j0 S: j5 L, Q给定偶数数12和94，有：
# n8 Q" B5 J4 t6 q6 A, E6 ?12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
( t2 l! e9 l" n, o3 L  P我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
8 P: [6 S! g, _, d% W8 R5 K7 A定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
. g; A6 e3 E( t2 S例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
( ~! @* N' ^% r: L0 J5 ?( H由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
8 t) H' h3 H) q4 z7 j, F  x定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
3 F8 F8 k$ x. c1 W定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
( w* ]; _2 D$ w! i二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
9 v. v7 I- e+ `4 r: s7 }证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
+ k  S0 w  z$ o" o: `, D②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
8 {: i$ B0 p7 g1 @& [  r∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
1 s4 U, e, E3 K# S- |6 \7 l( |∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
4 |9 P  K) Z3 G) Q0 X; e2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
; f! n7 P( R; m; D; {证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
! v* Z$ x6 A9 @, p. X（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
  n  |  o5 H& }! y5 V# F: i∵M+（2k+1，b）
& i! h) X  O' p# G! b  L∴M+（2k-1，b-2）
/ X' j" G% {$ [$ c" w! b∴M+（2k+1，b-2）
" m+ X; e: B+ S3 t" z. H; y∴M+（2k+3，b）
' [4 K5 G2 v/ `' b0 M5 A3 Z
) y0 }5 q+ g  m6 M" |* z( k# W由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
+ D1 y& ^( q7 L; w* r' d由M+（2k-1, c）得：
" m2 t- M9 J" a" oM+（2k-3, c-2）
& Z; T* s7 S6 l. y# o1 F∴M+（2k-1, c-2）
& x  c( ^3 a# D; n7 o% P∴M+（2k+1, c）
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
6 ?3 t) r, o4 i( q; J& d（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
+ W1 T' V4 h  f3 G8 {5 M∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
7 r0 V9 s8 e9 z) ~% x2 H  @推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
+ e6 ?) o: F8 t' j% @+ b（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
6 A/ n6 H( O$ E3 v……
∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
% C+ k2 N- z2 i9 b∴M+（2k+1，2k+1）
+ F% ^8 s  B" H! L由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
同理可证同为偶数的情形。
7 v6 Y0 p; N0 ?! H$ L8 H% r三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
  ]: }, V9 a. k/ ~: L& p求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
- u: g3 X1 L2 ^  u6 J" _/ ~证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
: ^! r  q7 ~6 i8 a$ L      M（1，b）成立
- f% g7 m$ A  q' k$ m8 q8 f4 q      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
5 p% D, `3 P( n2 M1 z令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
% Y) Z4 ~6 G! \& f) E: i推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
  \4 v8 I# j, P) B2、孪生素数有无穷多对。
; B% W; J) C; X. T5 I证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
  Z0 [5 X! t, ?  V# o6 _∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
/ f6 ]' Y8 ]. c. c- L# v3 D∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
- p1 R$ @2 m: b推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
- G9 `$ q/ N- C! f假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
1 W3 p, y7 K& [& K" _则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
, z2 z( w  L$ s, ?3 [& T推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
: y, T! u: u5 }* |! v1 n4 V, ]证明：任意给定偶数2n
1 J+ Q2 V& S1 `∵M+（1，2n+1）成立；
, Y( ^7 e3 Y$ W' y7 A1 E∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
% G( L  }7 }( g9 l
参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。

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请多指教。

茉稀

请多指教。
! l5 Z( Q9 p8 M0 A9 }" N  B: Q

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同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
7 h$ V1 [% v/ S9 ?+ o' c