同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
% t5 L; h4 ]; H, I/ f' ~2 I2 `杨天生
QQ:784177725
邮箱：yangtiansheng68@sina.com
  Z$ O$ Q, k/ O0 T& I# C摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
. M0 i. m2 s1 _9 m+ y- v3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
9 S7 a: O) R/ q  [0 u/ I3 x4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
' F7 l6 `$ k3 [5 b主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

8 Y% f8 d. a1 v! r, d; }3 @正文：
9 t9 i$ c; W8 f' @我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
% r1 I3 t/ a( e3 k* r# F一、同素的相关定义
观察下列关于自然数的算式：
; @! r  a  m' w0 k给定奇数1和45，有：
' \" d% ]; n: S) J- J' @1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
给定奇数9和123，有：
& @/ u# i2 ?( w) _9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
/ ]% }% d% }- X) d3 x给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
$ e; x# T( [+ a3 Q" x) X* H8 j……
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
& O( j0 g; a! W9 @特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
2 g2 v' c2 j3 o( z6 W) R$ V3 y由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
  H( g1 y& q( p* J( C根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
+ q" C- V- K9 {定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
+ I$ ]; M3 [4 E+ J  F  F3 `* O定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
; C% L% A3 o$ p* k) l4 m* @! e二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
3 G* R; d% L; C1 d. A& k$ r5 A- A( W①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
+ q) r* Y+ q3 M) ]& I* T& M, t; v∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
5 U! j2 \) }. P- |- H同理可以推出a，b同为偶数的情形。
. P% m( A( X0 {7 x& w6 _8 a3 ^$ \综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
) F; G- s8 Q; Q1 Q$ ^2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
& w- X1 N7 B( t! G! c' g" d∵M+（2k+1，b）
∴M+（2k-1，b-2）
/ X  I6 o; |3 |  R( l- {1 u∴M+（2k+1，b-2）
∴M+（2k+3，b）
$ X8 K% s6 o, Z7 A8 x1 y! ~
由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
) d7 n- z4 s, X6 B; n8 H由M+（2k-1, c）得：
1 [# L3 d0 E5 A" `  p5 f# f# Q& ?M+（2k-3, c-2）
. }6 e( g8 e% ]2 {4 O' k7 U1 o∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
& ?2 n1 H7 W' [9 u% O! D, C由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
- }) D" l! T/ f$ P* v8 U（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
' C: ?9 w  F, H% l& }M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
. @  [: E' j! e: EM+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
0 I$ s% x( Y( X$ b, G6 U+ W由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
6 e% L8 B3 z+ C  h推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
1 u" P# W6 m* V# u2 U* d证明：先证同为奇数的情形：
' Y+ [. }8 Z4 o8 U$ \4 {8 h' Z8 g" ?（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
∴M+（1，2k+1）
, _2 q: R0 C: v9 x∴M+（3，2k+1）
……
: f- O# p& E2 _5 Z5 ]9 V9 H! z∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
6 e5 [! q& s$ g∴M+（2k+1，2k+1）
% v5 q; S9 v. [由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
同理可证同为偶数的情形。
三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
  u, u! h0 q( J3 h! Q已知：2n(n＞2)
2 n. n8 Q( W% g: d# h8 O2 `求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
/ D* L1 b5 \# W4 D证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
% t! X7 u- P. s7 S+ A      即1+2m与b-2m同时为素数
" [7 \2 J8 L# Q/ C& K. I∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
# h( B  }# Y) {$ v; X  N推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
+ A$ N5 X4 B6 U+ Z& }∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
! P% ^5 k9 L, t. ?  t. n同理可得，多生素数不存在。
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
$ l4 L, x. Z* @证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
) h- S- B2 M/ C6 R2 u9 {∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
; ^5 h6 ?/ K% e% H! l1 @2 F有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。
% V4 g/ ~$ T+ V7 g

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请多指教。

茉稀

请多指教。
; v( d* Z/ P1 l1 U0 w9 ~, }

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；