合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
0 L3 n$ _" Y% N: H  ~4 yM=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
1 v: b# n. z$ c/ J! O同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
5 S  T. P5 Z4 U) k. l* v, B# i# B则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
, _1 w- l1 g5 a" ]/ N- N; g例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
4 y7 C( }7 F; K则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
8 z3 w" m- q, U) p6 SM=(15-N)/(2*N+1)
: H$ s# b) q5 J, }" d6 _- V% CN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
6 F! \, X% G. b; t0 M没有一个N能使M为非负整数
/ \, l0 B* b2 k/ ^5 R8 Q5 k所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
; n$ \9 u# ^( Q; i7 D9 l1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
" \% [( p1 r) G1 P8 T: w3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

4 j. W+ T7 h* s7 y+ \8 {  y7 p& t下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
' a1 p2 N) c. p0 e! I% ~* U输入：
4 z1 |6 C; i# Y) U+ e用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
+ @- T3 a) X' |1 H先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
0 v7 W4 w1 p: F+ x* h% @(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
9 p& k- |  T# p1 D9 ?3 U. R. \& TT=33333333407
: X" I/ L) x6 s% s4 p( C2 }  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
  Y=53
" \! ^! Y7 N3 L1 e4 k6 k: H  X=57175529
& d4 H0 V1 P: ]$ N! E  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
  Y=124793
T=33333333467
' T4 \. Y: h3 m; \  X=4761904781
$ X, K3 k2 h2 I3 {2 ]0 Y  Y=7
  X=709219861
: \. K" g2 O- Z( s1 `( M# k& L2 G  y  Y=47
  X=311526481
  Y=107
  X=138312587
  Y=241
: r& n, F. {+ O/ B) T  X=101317123
; w3 f( r) F/ I+ |. w) a  Y=329
  X=44503783
. H/ q6 }- E) ?: U" @6 q( H! `  Y=749
# U# L, E) O. W; a& p  X=19758941
2 s4 [2 r' \4 V3 @5 \  Y=1687
1 W: P. F% b- p* S/ L3 B- |  X=8483923
; {" _/ m/ u# i( k- Z8 d  Y=3929
  X=6628223
  Y=5029
* \. ]8 {$ f* A) U; n  X=2942821
, \+ v& E! e& q5 w8 }4 O  Y=11327
* {# a- `* t5 R$ n( a( M8 n  X=1292641
  Y=25787
  X=1211989
- N: ~) _: T& G  Y=27503
  X=946889
0 b& ], d% B5 J. U6 n* ]% ?, F  Y=35203
  X=420403
  Y=79289
4 D* c8 D9 k8 `: ]# z( u  X=184663
  Y=180509
……
, [. S3 z" j' w2 b6 b# jT=33333335867
  _7 N! m0 |) I7 |4 d  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
, q1 O) h. c- t! u8 R/ W* h4 ]$ c& T  X=2886253
  Y=11549
: Q, ~+ L! ~9 D$ w$ GT=33333335927
  X=900900971
- B5 C- u8 v8 d1 V5 ~  Y=37
  X=1191881
- N$ l# @) ^* |6 i, v' k, C4 G* _  Y=27967
  X=1034779
8 ~% n: {! m& {  Y=32213
: E$ c- A. p: r! B$ D3 P& L0 A* ZT=33333335957
& R& [/ B2 I! l9 O: C1 ]& e2 T' }  X=1754386103
  Y=19
1 m7 e) H+ \6 T  g+ BT=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
$ W9 V8 g+ e: G$ E# N% N% O) p  X=680272163
7 J" l( _) G; s1 E( W  Y=49
3 D+ n9 C% f1 R1 P4 a合计：89个
! Y0 u7 z( d2 @* Z. S& b; M    素数：11个
; ^0 V9 v3 y5 z/ M    合数：78个

3 l# W$ K' w: s" j; A+ k若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
: f3 t2 n' C" f4 eT=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
/ S5 b% l; Z! C$ GT=33333333827
" s! R( y4 K! QT=33333333857
T=33333334007
" y7 Y7 S+ \- s3 R' Y) B* r% yT=33333334487
! W" a8 l, f* s4 K% J( MT=33333334907
& ~$ L: N4 |. U$ D- S7 V2 zT=33333335027
5 j6 _( b) g! g3 b- c$ c1 E) JT=33333335177
T=33333335657
素数：11个
' j6 i& D: r% M; `/ Q) _
# v4 f8 E# ^% k* p& j7 o  @  y8 W*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
1 `" M/ w+ q( n4 M输出：
  d. ]+ Q! p) d( k34有1对
   (11,23)
64有2对
2 i5 {: E4 i9 s   (11,53)
   (41,23)
$ o* a; V" W$ r3 Y94有3对
   (11,83)
6 N1 H! E' q6 T1 x   (41,53)
   (71,23)
- ?' S9 Y! {. H8 O, G# i, H0 x7 v8 g& `124有4对
/ e. S( Q- X7 {/ Q4 ]   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
154有4对
   (41,113)
   (71,83)
  O5 [3 K1 g* O$ Y0 l- s   (101,53)
" r4 \/ [: b- }) n3 h) T   (131,23)
184有4对
3 ~4 H5 D) j& X0 r4 f$ j   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
   (101,113)
   (131,83)
+ O/ x$ N" D9 g* g+ Z* l   (191,23)
* x/ h3 w' [. u' D+ q7 Q: j+ G……
* X1 g% ~, a8 K3324有24对
+ b/ ]: k0 O1 C   (73,3251)
& {% T* X5 F- w5 u   (103,3221)
   (283,3041)
6 l% D3 ~; i5 I# t2 |) C/ \7 B' R   (313,3011)
   (463,2861)
2 Q; g; }  d8 D# }7 S   (523,2801)
   (613,2711)
   (733,2591)
   (883,2441)
   (1213,2111)
* v1 ~0 B  \- _2 q   (1423,1901)
/ Y/ E/ j, `6 F% N6 `5 j, d   (1453,1871)
( |2 N' q0 f) [3 F. c   (1723,1601)
   (1753,1571)
& n& |; D: i1 Z6 s   (1873,1451)
/ G* o! v! v  A9 e* y* h) p   (2143,1181)
- I- F" {6 x4 ]0 m   (2293,1031)
$ G7 V3 n* M$ T: y- V( ~' |4 @   (2383,941)
   (2503,821)
) G$ U( @0 _" N* c   (2683,641)
   (2803,521)
. e  ^( o; g8 G( |4 A. {* J7 ^, u   (2833,491)
3 c4 S  I# a4 a: y4 W* ?   (3253,71)
   (3313,11)
; D  ~" l8 [: k9 m) o8 c! j
*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
4 f1 D! A- Q7 N在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
, P, K+ b' v: E7 ^' p# {6 p3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
: q  ^9 u7 J5 _. m( P6 Q5 `/ ?3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
# ^( W6 e# ]% Z0 P, r6 W& _3333345011,3333345013
* N( X' M7 ^- S  K3333346061,3333346063
7 y* E7 `  M' D4 n% I/ i3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
* X5 ]/ b  S$ n& v3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
- j7 V/ i% L. ?; ?3333358361,3333358363
$ D$ @  t8 A& ]3 i! O: D3333358781,3333358783
& c& @: t& ~" J2 g' x6 Q% [4 w3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
9 C$ c; t1 u8 z- F  p共有26对