合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

: @9 y; m. D& f5 b+ |下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
  Q$ c7 U. i, x  Q! v. \则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
( r) v4 u. y4 C& g# h0 T* O) N  \M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
! R$ E7 Q. f& C9 p  m+ t: v(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
: q9 R8 _6 m6 E2 d( X同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
& I, M' O+ Y4 H% V(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
% |3 ?6 D( i9 v. P则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
. D% u$ W5 K$ s2 k7 C例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
( f/ l0 X6 r! ^: bM=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
2 x/ H& m' B* D4 v没有一个N能使M为非负整数
) |& N8 b. T: ?3 C  o所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
9 a  ]' A% a/ |' Q+ V  A1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
: m9 C8 w  y" y  \( z0 `
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
# v* ?# a8 g& [4 g* |# }- u输入：
" l3 [  K, V% t: b用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
( u$ Y) L3 V% tT=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
4 F# D8 _* d* V: B9 `  Y=53
' |7 n! F9 n, ^- X! Y/ b  X=57175529
3 }8 f$ n0 t: ~, W  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
/ e+ z" h9 |, D5 \; \! H3 I) M  Y=131
+ j" n& ]" v% [$ H5 e# p  O. i  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
. |6 U) O% ~9 q/ B0 _. T/ }  Y=47
  X=311526481
7 D3 O" i0 A& u( B) I& A: Q  Y=107
6 q: g- P1 L2 \' ?6 ?* m9 {  X=138312587
  K0 U; |+ T/ {1 i  Y=241
  X=101317123
  Y=329
# [4 i1 S& m# i8 f6 y- x/ m- v( n  X=44503783
  Y=749
  X=19758941
# G" p. \8 N2 ~: y! f( N4 r  Y=1687
  X=8483923
4 }$ P! i3 j, A' e$ G1 R  Y=3929
  X=6628223
  Y=5029
2 v  h# q9 f! l/ V2 R$ T; N' j/ y  X=2942821
5 E2 r  L" U4 e* w- o- q  Y=11327
  X=1292641
  Y=25787
  X=1211989
  Y=27503
7 E/ o6 H9 P& h0 }! U# J; Z  X=946889
  Y=35203
( `- o9 h- R7 z9 p  X  X=420403
( O" R4 f# m% R  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
0 i# S2 t  z- Y7 x8 z: I$ o……
: |2 ?" o5 q8 ]; GT=33333335867
  X=2564102759
! X3 l4 ~/ H7 C1 D  Y=13
T=33333335897
  X=2886253
- s0 o4 f2 V. D# H  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
  Y=37
7 o, S* r6 v* |  X=1191881
  Y=27967
  X=1034779
8 ~  z9 b# P& ?# x  Y=32213
T=33333335957
  X=1754386103
  Y=19
4 Z! o+ Q$ O9 h' p) NT=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
! ^. G; d8 b" Y5 y) x  X=680272163
  Y=49
合计：89个
1 L. d& a! i: [! r' B8 h" @' b    素数：11个
    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
$ N( ]9 c- ?7 o: e" JT=33333333377
T=33333333647
T=33333333827
T=33333333857
' y5 O: z  G( |' RT=33333334007
: k3 y- f' D* ]4 S/ }+ }T=33333334487
; K: W5 H9 u0 Y1 E3 L6 u' `T=33333334907
T=33333335027
% v& r+ x; ^; E  d% l+ z' w/ VT=33333335177
" H9 f7 U3 _' a9 yT=33333335657
素数：11个
9 b, \  m) E1 l* {& p( t
: p7 o* P+ _# m1 [5 x*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
5 E, g" F+ q" _
用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
, |: T4 F+ `" m/ ]" Y输出：
* ^% G& H2 g& H34有1对
   (11,23)
5 J6 L$ I% w7 {! L64有2对
   (11,53)
* ~3 E! \0 ?5 G   (41,23)
7 ^6 G. Q" x) M3 \: ~; Q# }( b) z0 W94有3对
   (11,83)
; V7 F5 {& L+ S8 L! U" L2 K  _# }& _1 m   (41,53)
   (71,23)
124有4对
   (11,113)
/ G# g6 d6 m  B   (41,83)
# \  w" \0 `5 s   (71,53)
7 h8 g/ r7 i% D7 i; p. P   (101,23)
154有4对
% _) F+ o0 U& i2 N   (41,113)
   (71,83)
   (101,53)
   (131,23)
184有4对
. T& [+ o0 Z+ P* D% x   (11,173)
, W6 i5 @3 ]- b- E- k   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
) ?8 O- {* _& v" ^: O   (101,113)
/ S# X3 t& `/ B" R& O8 C$ C   (131,83)
! ?" ?4 V* ~2 f' j) I6 `  I$ b   (191,23)
……
! G/ A4 e; O6 H  z3324有24对
/ a; p, v( X" D2 \4 b# ]   (73,3251)
" v, N7 a: }2 w6 k1 J$ g5 D. y   (103,3221)
   (283,3041)
; l$ J2 H% B  q6 k( C! D   (313,3011)
# H9 |6 ?' ^1 r! S' G% h# `   (463,2861)
# N2 x% S& s2 ?4 l( M/ A   (523,2801)
1 n* m0 I5 Z5 Q, d8 {' G8 o5 p0 c1 A   (613,2711)
   (733,2591)
   (883,2441)
! w8 ?& Q, ]: f+ Q' z   (1213,2111)
# d8 Q3 D! S. u/ _$ p) T# J( U0 v   (1423,1901)
& p1 |6 m8 U" p9 }5 j   (1453,1871)
1 h3 k% l  [6 S' d- b   (1723,1601)
   (1753,1571)
   (1873,1451)
4 I3 Q4 ?3 A  z   (2143,1181)
8 l/ z7 G. E6 a" f2 P3 y: {: q   (2293,1031)
   (2383,941)
( h4 R# X  U+ z( K2 e; T: p   (2503,821)
3 q1 i" {/ ]" O  w) f( x. ]+ I# B   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
; k5 N( w6 Q4 f* W   (3253,71)
& }6 k5 e2 u! i0 }5 y( i9 V   (3313,11)
$ a- q3 ~7 F" A& Y2 j3 y& O
*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
: ^( L* S6 {0 m+ f7 \4 {! A7 w在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
0 D% y# n8 u: T6 G( _3333336701,3333336703
) H& ^9 D* a( U3333337661,3333337663
( R5 ]: p! ~2 t' e5 T0 r# y6 x# T3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
+ @+ _; o( U: ~+ c+ `9 Z) c' ?# Y3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
+ `" Y0 l& g- Q6 F3333349751,3333349753
& j$ E+ w# M# e: \& u0 J' Y- S  N' l3333350201,3333350203
. m; ~% q4 T) w) c/ |3333350261,3333350263
* M0 ]1 X7 R: a1 y% Q3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
1 \" h+ s. z% @4 |1 k7 t3333353531,3333353533
: M# f/ i; y2 \3333355601,3333355603
3 W5 J( m- Z( S3 ?6 c1 f; h4 C3333358211,3333358213
/ ^: \0 P  S& Z  X5 x3333358361,3333358363
3 h: a6 V$ D  J) }' A) z8 h3333358781,3333358783
6 `5 y) U1 d! z  e- w3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
; M, l5 z# ~' j* w4 s共有26对

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