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合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2012-12-24 16:08 |只看该作者 |倒序浏览
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    在自然数列中,除了0、1以外,不是素数就是合数,每个素数与合数都有其固定的位置,而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除,例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项,即:5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除),并且所有的合数都能联系在一起,形成一个等差数列网,这个网,呈上小下大的金字塔状,也可以说像树根状,如果把这个网从自然数列中抽出来,剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中,然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多),豆子与珠子各有自己的位置,根据所处位置看其是否被线串上,就知道是珠子还是豆子,如果把连在一起的多串珠子抽出来,剩下的豆子就看不出规律了,也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置,某一项只要不是合数就一定是素数。因此,要判断素数就要根据某数的特点,看是否存在于合数的等差数列网上,在网上的就是合数,不在网上的就是素数。# G; I. |& l% ^3 n4 ^, `# w( y
    % o( N$ j, {! [) w, S( @- e
    下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即:判断任意数)
    * G$ O8 s& y$ m! K( |' ~
    # x/ {- K4 O* \" ?M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量,表示被判断数I被2除的整数商(例:I=31,I/2的整数商为15,即:q=15),M、N是变量,通过自变量N(N小于I的平方根取整加1,例:被判断数I=31,I的平方根取整是5,则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值,判断M是否为非负整数,若M出现非负整数,则I是合数,并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对,在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件,就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内,没有一对M、N同时满足非负整数,就说明I是素数。/ Z& i% y. v5 z$ R6 r' y5 E9 y
    例1:I=27
    6 K  Y) O/ X7 S, Y8 Z因为I=27除以2的整数商为13
    9 {1 \  W7 @; \2 P$ y0 K  j则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:
      k. v) d4 y0 G6 `M=(13-N)/(2*N+1) ( K+ c3 x0 ~5 E
    N的最大值为:I=27的平方根取整加1,即:5+1=6
    8 b' U( g6 F) f, o0 y当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4; p" O/ W9 I' h2 Z* ~
    则:(2*M+1)=(2*4+1)=9
    2 y( }) C+ ~6 W- H# _6 K(2*N+1)=(2*1+1)=3
    & O# ]8 D0 k3 C. w* U即:(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
    " e) q2 Z  F1 D" o同理:当N=2、3、4、5、6时: u# I5 q/ J0 _* h
    只有当N=4时,才能得到非负整数M=17 ~( n2 D, @% w. w# D* Q/ ~
    即:(2*M+1)=(2*1+1)=3* {- _3 m' _( U6 v0 n+ h- C/ E/ z
    (2*N+1)=(2*4+1)=90 x# H( I0 Y' d
    与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
    ( t" t! ]( m& \" I+ H则:说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)( C2 c  J5 N+ h  f. ^0 w0 A
    例2:I=312 D$ m2 w: L. o
    因为I=31除以2的整数商为153 y7 W( ]8 L( Z. B' p( m: O
    则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:$ ^) o: \+ r7 M6 X; H1 q- H( d
    M=(15-N)/(2*N+1) 3 @) @9 l' Z# X$ C! d2 l2 a! h
    N的最大值为:I=31的平方根取整加1,即:5+1=6( O9 s/ c& S+ I9 g
    当N=1、2、3、4、5、6时
    ( i  M) z' s6 Z+ W. k9 _7 @没有一个N能使M为非负整数( l  B2 B7 }: W* H7 d( I  o1 n
    所以I=31是素数。7 s* i* k$ G0 Q8 P/ D
    数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序,就是利用合数公式得到的:
    & E. X% K" E3 C8 X# W! o1、精确判断素数计算素数个数,及寻找合数因数对- y8 f' }* |+ I0 L
    2、精确计算哥猜数对
      w  h* C' J" B  x2 N7 T3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数8 j0 B9 `2 B  f

    " A$ a8 ~7 p6 r$ g" K. B*用19号程序:判断素数、合数及寻找合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。6 F+ ]' a0 o7 `
    . G0 t/ B. X# h6 X
    下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。
    " u1 z5 r7 i2 W4 {& H输入:8 ]% e: a4 a* N; M2 N6 Q
    用第二选项,E=17,h=111111111,,L=111111999,
    / O. G- l7 I. }' r: D先点击:并行参数开始,有数据出现,再点击:结果开始。
    / o! k# S- x5 C(T下面有X、Y值的就是合数,并且X、Y是T的所有因数对,没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内,素数与合数的个数。由于较多,数据中间使用了省略号)
    / r' A9 j: q3 e+ E4 JT=33333333347  N; ^7 p+ w, \
    T=33333333377: ]" B% v; N) @8 s2 b; Q
    T=333333334079 y8 k9 l) k5 O6 x- J! s2 v, r
      X=3030303037
    * J, j8 |. D5 G) s* M6 K4 e, _  Y=11& F/ p2 _4 [# y4 J. i! ]& q$ Z
      X=628930819
    * s8 `* u' F/ O5 V7 a+ Y/ f  N: l0 D  Y=53
      U' h1 C6 |/ n* k  @& J+ o  X=571755291 _9 J6 j, v5 H0 O; u1 R$ W+ U1 N
      Y=583
    3 f  a5 p9 \# M; g* ~/ c' S. `( TT=33333333437
    - G7 q, N# O, s( J7 K  X=254452927
    $ m, G8 ], e5 b5 n  Y=1311 ~( n+ ?. f) B1 S/ \% x% o
      X=16347883
    2 f3 o) l* k( g1 I! M: b+ M  Y=2039
    & @' `9 [1 i" M3 ?( j" S  X=267109
    + s7 S$ R8 k  w/ T/ M1 N  Y=124793' k( B  H7 V2 R3 l" w
    T=33333333467- j/ k% K5 d* f+ U  e/ a
      X=4761904781' a; s' e8 I! w1 v5 ^5 V/ A1 E
      Y=7# u$ s& {4 ~# C7 u% T7 y0 w/ N, G
      X=709219861: w3 v! T. `# F% S$ z9 i; u$ h
      Y=478 a* ~6 Y: Q1 e
      X=311526481
    % V) {7 s0 v# b* F# I) F+ Z  Y=1070 b& b$ S- n) M; v5 \; U
      X=138312587
    . m( o6 h/ }- M5 X- n  Y=2412 F9 ?# R8 S/ g' ~& w3 J; T/ P
      X=101317123: F; r1 d. E2 y0 s# b9 @& }0 O
      Y=3295 [) B# n2 J8 @: U
      X=44503783
    & R: K0 b* @- P9 b  Y=749
    9 r! P+ k! a" Q& l1 b7 A  X=19758941. C( q$ b5 C# s- N! ?
      Y=16878 R; H9 Q9 M! n9 H2 m
      X=84839234 l, D7 N" r" u  I$ w7 C# C. a1 Y
      Y=3929+ f! Z  c% v* h
      X=6628223
    4 m6 l- z+ [  B* E2 |2 C! m  Y=5029+ j. p( F% l6 K) n" \3 D+ H) x
      X=2942821% ], Z0 t/ u" O$ y! O
      Y=11327
    & x! c/ j4 k# e2 S* E9 b0 @  X=1292641
    6 o: ^  X, I+ T, M- a9 h  Y=257873 x7 g, I5 y+ C! x2 T9 }( Y
      X=1211989
    / R) H- Y' u/ Y* ]0 e$ k- M  Y=275030 |( M6 d6 l9 v0 G' [
      X=946889
    ( _; s1 J% J9 r; Q  Y=35203
    3 ?9 g) t; F8 H7 T; A0 d  X=420403$ v" ~) y- t. y1 n: q" S
      Y=79289
    / B4 N5 E+ P: o* S  X=184663$ m0 K6 B, G6 M2 X4 O
      Y=1805091 P; E- X; c7 q1 H
    ……
    : N8 O7 ~7 Q( h* T2 ~1 [T=33333335867
    , _5 p! y' p8 H3 O9 Q* c  X=2564102759
    ' K) i3 w, y; R6 l* A. [9 \  Y=13
    2 L* Q7 o: Y7 H$ f! W  fT=33333335897  }3 e7 g) b: d$ m/ R# I: H- \' N
      X=2886253
    # G9 A; |6 Y) _  Y=115497 p# u8 J* |4 H  i, `4 ^, a5 L
    T=333333359277 ?" T6 v+ ?4 V+ S7 E
      X=900900971
    " |9 w5 H% a+ e4 K4 s( h  Y=37) F5 H2 u: L) N, A+ x+ a( y
      X=1191881
    / G9 |; A1 J# y# S1 g" q9 g  Y=27967
    , J- ^, }. `" N+ o! }1 s6 Q0 ^  X=1034779
    - d+ J& \$ u: j* P, u$ s( k  Y=32213* _; g! v) C6 p: F
    T=33333335957" b0 K$ A* V# d+ Y
      X=1754386103" Y! _8 ?3 R9 M" g
      Y=19
    6 X3 N1 ?8 A( d# L* J; f; A* ]T=33333335987' s6 }; [4 \' R! n3 [& g
      X=4761905141
    ! m  X, R/ q/ \1 D  Y=7
    9 |2 T7 C2 [- R* _  X=6802721636 D+ n5 `5 y( ?; f) _
      Y=49* x- Z1 i2 ~/ _$ ?
    合计:89个; n4 E* x& `1 j+ ^
        素数:11个
    # n! j9 J1 y9 M- Q  e    合数:78个/ m; L0 x+ y0 `, {

    5 ~- {) k7 b  Q若再选择第三种输出方式(输出的是所有素数及个数)# c) |6 i5 T0 Z8 c4 L' D" P
    即:
    # V; N1 L! r0 n4 E% W0 o3 nT=33333333347( ]! M) V8 S7 s* k
    T=33333333377. v, x0 ?: q7 P% Y* G
    T=33333333647
    3 r6 S: }# W, hT=333333338278 k8 v6 a8 a, X
    T=33333333857$ k& ?) j# A$ X; x+ H' t, L
    T=33333334007  X' X. @  e0 w# u' W! J8 w8 |, B
    T=33333334487
    % n) r5 t5 O2 b: B9 P( PT=333333349070 K' B2 `) r; m2 H0 @
    T=33333335027
    8 x6 u2 a2 |- @5 @2 kT=333333351775 m4 H( M% q' K
    T=333333356579 R3 X% @2 D: U# b( b1 _
    素数:11个4 R% ]* |1 b5 S! g4 k8 ]
    * Z' Z. v# ^$ u) c5 Y$ T* W
    *使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
    # [7 f( S. G: D
    6 B& R( Y4 s1 y9 Y% u) v& ~用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<1117 S$ n- q' M, T& g! q+ T
    输入:E1=11,E2=23,h=0,L=111
    3 }& N0 m+ s8 f1 J) C, n& q输出:
    5 `6 l, c7 Z0 n$ Q8 X; j: t/ W34有1对# [6 w% _3 a' p/ i
       (11,23)
    ' n  K5 d' O  j64有2对
    1 d7 k) {( Z4 j3 F5 N   (11,53)* |8 o8 \' z1 o
       (41,23)
    ; G& O; F0 k2 t* e94有3对
    ( \3 O1 h# P6 ]  N$ k6 ~% I   (11,83)
    6 i: l: |4 h3 i. C6 k  n   (41,53)1 P" {. e' L6 U& X' R/ @: e
       (71,23)
    1 y- D) |; ^+ I/ ]% w+ F& L& e124有4对
    6 i' |9 H5 ?- [/ \& l  s   (11,113)9 Q' }% L) ], G. r" }
       (41,83)
    " v1 P2 D$ p" w2 j$ `* B   (71,53)
    : i( W) V2 q# `7 h) r   (101,23)8 D3 ^* z, r+ i  _
    154有4对9 ]" o# [" ?0 O" V" z; Y# j* F* i% I2 {
       (41,113)
    0 t3 e( q7 s, v' S  T# F   (71,83)
    / b3 n+ o# l) u/ i- ~, s" b0 d! k   (101,53)
    & L  J0 Z' f- w+ W1 q( M; d   (131,23)
    5 j, {: B+ S  o- e: W" h184有4对
    * e1 T8 b, @( c   (11,173)
    + n0 V0 E# ?  a% m' @! i" `   (71,113)1 K, l( p" R; X* ^0 L3 N8 h( d
       (101,83)3 W$ @, a, }) w0 i3 I
       (131,53)4 S+ q  K  E- I
    214有4对. _! G% o, K, w; d( m3 p; t0 h
       (41,173)
    9 ~" j' n: Y: W; Q6 M8 J3 X! y- _   (101,113)
    ) y# k" J- v+ `, _2 U1 ~3 E   (131,83)
    8 Z% d+ \' q1 B3 }% t- Z+ x   (191,23)8 V6 k6 c  J& r5 b, J' l
    ……
    * Z6 U. ]& z2 E7 \( B; P3324有24对% h: C: S; X1 m* Y- w2 X- d
       (73,3251)2 j7 t$ I& ^, e. Z! T& W" C5 x% _* p
       (103,3221)
    + L3 ]1 y4 ?6 N# @' H   (283,3041)
    : K: E8 ?# _6 L/ E) R2 ?   (313,3011)7 c# k' S3 A% F  W
       (463,2861)
    % h) Y$ c. u& h" @, p   (523,2801)4 ?1 |' Q% s' ~
       (613,2711)- P9 H1 H. u& Z# d4 S8 s2 S$ p
       (733,2591)
    * A1 y" D- O6 E5 w% ~   (883,2441)
    ( U; J; T9 t9 E5 Q& {* J! t   (1213,2111)
      h8 r" s! B! |" {& L  ]   (1423,1901)- F4 e3 x1 J  |2 y9 h2 A5 T% f
       (1453,1871)+ v/ t7 c- z5 b2 ?9 [* `
       (1723,1601)  R. J& c$ }: {7 w
       (1753,1571). \% N0 O! v& t# d+ g( }% n
       (1873,1451)
    : L& z) v$ `; D3 p' a# d3 Y3 M   (2143,1181)9 O6 S: X7 W$ T0 F' X. b4 `/ q
       (2293,1031)  h1 l# P% F6 ?: Y3 c! [
       (2383,941)
    $ e1 m( ^" T* V2 R% g   (2503,821)! }/ W2 h1 U( d$ a4 [) @
       (2683,641)
    8 s) P$ Q5 e" f' n# @: w   (2803,521)% Q9 S1 |4 g' S
       (2833,491)8 G6 K8 ?! e  e( B; M
       (3253,71)
    $ n) T3 [  U4 K2 R7 ^5 @   (3313,11): |* Y7 R( b" t) \

    % ^. r# i# V; b6 ]; j*使用21号程序:寻找孪生素数对6 A6 g' e, `; k/ E' I

    # e; i& t( N  m$ g用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999,
    ! ?, h( Q" P/ Z1 b& {, m0 S在程序中输入:E1=11,E2=13,h=111111111,,L=1111119992 s4 ^, z6 G, c  d1 Z6 u6 G
    输出:: c% J  A; _* T) K% q# W$ \/ k2 ~1 n
    3333334391,3333334393
    0 z" {" }2 b% H& T( O3333335771,3333335773! o2 d# B3 T/ j
    3333336701,3333336703
    2 V9 {+ m* N6 j8 L) v" O3333337661,3333337663
    4 \! z0 a* W: i, b' B  R9 V3333338711,33333387138 U5 H2 s5 {2 C5 B
    3333339701,3333339703
    - \( D( p  s$ \  V3333340391,3333340393; U* _$ ^5 C4 o& F3 l$ L. ]- Z
    3333342401,33333424036 w+ }* `: K; \, \1 C3 u+ Q9 {
    3333342581,3333342583
    ; r3 l* `" w2 ?- g, g8 P3 E3333343421,33333434233 L/ c/ B0 Q+ \4 h
    3333345011,3333345013& ^/ C2 s" q/ o! w9 w+ Z+ {9 Z0 @  V
    3333346061,3333346063+ d% n$ r3 O0 C) C% X% d
    3333346571,3333346573$ @# |5 Y; [+ L) Z" V' v  ?/ L
    3333349751,3333349753# a0 }3 K- w4 P5 ~4 d# f( m, |
    3333350201,3333350203) {# `' A. d4 \% a. M
    3333350261,3333350263
    ( B$ c2 I# n  ^& ]( x3333350651,3333350653
    3 {3 B( {& n, Y3333351641,3333351643
    ; p8 n' I, `$ J; N) X, p3333353531,33333535330 Q7 Y. j( D% A( ~0 m4 L3 P
    3333355601,3333355603
    $ S; \! h" k- x# g( B7 B. {3333358211,33333582138 D. N) y7 V- \
    3333358361,3333358363+ a; U5 \% T1 _. a' _
    3333358781,3333358783/ c. `3 F4 t, r4 P) b+ z2 L
    3333359501,3333359503
    0 F$ U; N: U4 }* k9 x9 y, z4 u3333359591,3333359593
    5 E) @2 [  M% E" B. P3333359831,33333598335 N- X2 x' c! `2 p. j) |
    共有26对
    4 I- V2 C5 Q1 N% Q
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    zan
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