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合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2012-12-24 16:08 |只看该作者 |倒序浏览
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    在自然数列中,除了0、1以外,不是素数就是合数,每个素数与合数都有其固定的位置,而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除,例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项,即:5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除),并且所有的合数都能联系在一起,形成一个等差数列网,这个网,呈上小下大的金字塔状,也可以说像树根状,如果把这个网从自然数列中抽出来,剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中,然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多),豆子与珠子各有自己的位置,根据所处位置看其是否被线串上,就知道是珠子还是豆子,如果把连在一起的多串珠子抽出来,剩下的豆子就看不出规律了,也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置,某一项只要不是合数就一定是素数。因此,要判断素数就要根据某数的特点,看是否存在于合数的等差数列网上,在网上的就是合数,不在网上的就是素数。% _1 E" ~* K+ @, M  Q
    / A. s9 I: V$ f
    下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即:判断任意数)- U$ |) P) t8 V* {, ?3 m' N
    3 |; B% O; i# H+ y& u% W" p5 P' |
    M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量,表示被判断数I被2除的整数商(例:I=31,I/2的整数商为15,即:q=15),M、N是变量,通过自变量N(N小于I的平方根取整加1,例:被判断数I=31,I的平方根取整是5,则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值,判断M是否为非负整数,若M出现非负整数,则I是合数,并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对,在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件,就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内,没有一对M、N同时满足非负整数,就说明I是素数。7 n1 j  r, |# P" T9 \
    例1:I=278 e1 |. o% b/ s3 ^, h- y! A! w( K
    因为I=27除以2的整数商为132 D% m) W" h# G4 w" z
    则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:
    0 L3 n$ _" Y% N: H  ~4 yM=(13-N)/(2*N+1) / x! \' X) F6 ^' Y. s
    N的最大值为:I=27的平方根取整加1,即:5+1=6; M* e9 W5 c* k4 Q
    当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=43 {8 M2 `7 N4 Y+ t5 o$ x
    则:(2*M+1)=(2*4+1)=9  J0 L( e2 C+ w
    (2*N+1)=(2*1+1)=3) i' P8 ]" h4 {
    即:(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
    1 v: b# n. z$ c/ J! O同理:当N=2、3、4、5、6时2 c7 [( `2 B# K% |7 {! _5 c
    只有当N=4时,才能得到非负整数M=18 w8 H6 q; b5 k# P
    即:(2*M+1)=(2*1+1)=3& N/ M0 u! Q2 [5 `1 T8 y
    (2*N+1)=(2*4+1)=91 L" }3 O7 ~! d: @6 x
    与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
    5 S  T. P5 Z4 U) k. l* v, B# i# B则:说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
    , _1 w- l1 g5 a" ]/ N- N; g例2:I=31- B* e0 P! Z# N) T2 y2 R
    因为I=31除以2的整数商为15
    4 y7 C( }7 F; K则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:
    8 z3 w" m- q, U) p6 SM=(15-N)/(2*N+1)
    : H$ s# b) q5 J, }" d6 _- V% CN的最大值为:I=31的平方根取整加1,即:5+1=64 Y9 i8 A" r. `- [5 ]! b
    当N=1、2、3、4、5、6时
    6 F! \, X% G. b; t0 M没有一个N能使M为非负整数
    / \, l0 B* b2 k/ ^5 R8 Q5 k所以I=31是素数。2 `; V' ?) ]1 A& D* m
    数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序,就是利用合数公式得到的:
    ; n$ \9 u# ^( Q; i7 D9 l1、精确判断素数计算素数个数,及寻找合数因数对; s* j0 f$ q: n! F; x( g
    2、精确计算哥猜数对
    " \% [( p1 r) G1 P8 T: w3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数# p9 E. Q! ]1 S+ D/ ]
    7 X2 Q7 m! A- T" e3 c" [& H
    *用19号程序:判断素数、合数及寻找合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。  v3 Z4 ^$ c+ k% l" p3 Y; F

    4 j. W+ T7 h* s7 y+ \8 {  y7 p& t下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。
    ' a1 p2 N) c. p0 e! I% ~* U输入:
    4 z1 |6 C; i# Y) U+ e用第二选项,E=17,h=111111111,,L=111111999,
    + @- T3 a) X' |1 H先点击:并行参数开始,有数据出现,再点击:结果开始。
    0 v7 W4 w1 p: F+ x* h% @(T下面有X、Y值的就是合数,并且X、Y是T的所有因数对,没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内,素数与合数的个数。由于较多,数据中间使用了省略号)  D, v! H; c# x9 M. L. ^
    T=33333333347# U+ V! M/ a& j+ t" Y
    T=33333333377
    9 p& k- |  T# p1 D9 ?3 U. R. \& TT=33333333407
    : X" I/ L) x6 s% s4 p( C2 }  X=3030303037$ _/ H5 I# G: t4 Q
      Y=110 V) \4 F: \4 O+ L) O
      X=6289308198 L5 O. Q; P/ `. a! Q2 n# ]
      Y=53
    " \! ^! Y7 N3 L1 e4 k6 k: H  X=57175529
    & d4 H0 V1 P: ]$ N! E  Y=583( P; `0 h% Q; V( l; Q5 r
    T=33333333437, p% C0 H- F6 w- u9 j
      X=2544529279 \+ @4 I, K( Y
      Y=1318 {/ r" C9 f% @) S6 O! Z- @) }
      X=16347883* i4 Z- q2 h$ X
      Y=20399 j8 x( y2 j' E/ X
      X=267109  l) e) b) x+ y% s" ?
      Y=124793: `0 j# y. i* f3 Y
    T=33333333467
    ' T4 \. Y: h3 m; \  X=4761904781
    $ X, K3 k2 h2 I3 {2 ]0 Y  Y=7# A: P* R$ M3 g
      X=709219861
    : \. K" g2 O- Z( s1 `( M# k& L2 G  y  Y=47, u3 g1 B# H  ^, Y8 ~9 H8 V
      X=311526481$ D: I0 R' _9 S0 f2 @9 f3 P
      Y=107# q8 j: ^* `) H$ y9 R/ W
      X=138312587+ ]4 C+ B; ~: M: c  c" P# C
      Y=241
    : r& n, F. {+ O/ B) T  X=101317123
    ; w3 f( r) F/ I+ |. w) a  Y=3299 `1 d1 ?0 M4 y' d! G! ]( @
      X=44503783
    . H/ q6 }- E) ?: U" @6 q( H! `  Y=749
    # U# L, E) O. W; a& p  X=19758941
    2 s4 [2 r' \4 V3 @5 \  Y=1687
    1 W: P. F% b- p* S/ L3 B- |  X=8483923
    ; {" _/ m/ u# i( k- Z8 d  Y=3929- V$ Q: I) i$ ]! N* I
      X=6628223+ Z, i4 h( k! \# C8 @- R9 k4 P
      Y=5029
    * \. ]8 {$ f* A) U; n  X=2942821
    , \+ v& E! e& q5 w8 }4 O  Y=11327
    * {# a- `* t5 R$ n( a( M8 n  X=1292641* ?( `" A+ X6 {; v% @6 p# |
      Y=257875 D3 x1 t( B0 d4 [: N9 N
      X=1211989
    - N: ~) _: T& G  Y=27503% k7 ]% M# G4 D4 P( s5 m1 W; R
      X=946889
    0 b& ], d% B5 J. U6 n* ]% ?, F  Y=35203$ M3 d$ @. E2 t+ T
      X=4204033 S% m+ t2 A6 J& O  R8 d8 C( Z
      Y=79289
    4 D* c8 D9 k8 `: ]# z( u  X=1846632 t/ @0 _  p( [2 Y- x# \5 o% |
      Y=1805099 ~5 m6 q6 u  h
    ……
    , [. S3 z" j' w2 b6 b# jT=33333335867
      _7 N! m0 |) I7 |4 d  X=2564102759: k( X7 ?% ~4 t$ o$ g/ A2 F1 n
      Y=13. `* n" D7 u! S
    T=33333335897
    , q1 O) h. c- t! u8 R/ W* h4 ]$ c& T  X=2886253% Y6 L$ R5 g+ Y* Z0 M) ^; {
      Y=11549
    : Q, ~+ L! ~9 D$ w$ GT=333333359274 U& U* r9 R. k- x( |3 i/ y
      X=900900971
    - B5 C- u8 v8 d1 V5 ~  Y=372 t* |6 B$ s$ k
      X=1191881
    - N$ l# @) ^* |6 i, v' k, C4 G* _  Y=27967" e5 N' {1 C  S! f9 {; i
      X=1034779
    8 ~% n: {! m& {  Y=32213
    : E$ c- A. p: r! B$ D3 P& L0 A* ZT=33333335957
    & R& [/ B2 I! l9 O: C1 ]& e2 T' }  X=17543861032 X8 j7 L) o) M1 |* o. E- T( u
      Y=19
    1 m7 e) H+ \6 T  g+ BT=33333335987* c- u, y0 ?5 J( [3 S2 T5 O
      X=47619051412 |) E( [5 W$ h( f& o
      Y=7
    $ W9 V8 g+ e: G$ E# N% N% O) p  X=680272163
    7 J" l( _) G; s1 E( W  Y=49
    3 D+ n9 C% f1 R1 P4 a合计:89个
    ! Y0 u7 z( d2 @* Z. S& b; M    素数:11个
    ; ^0 V9 v3 y5 z/ M    合数:78个+ R: {; X3 F$ r" @# I; c+ A

    3 l# W$ K' w: s" j; A+ k若再选择第三种输出方式(输出的是所有素数及个数)# Q7 E  A4 f; n) S$ F+ f) X& L: h) w$ _
    即:
    : f3 t2 n' C" f4 eT=333333333478 J! m7 H" l/ I# B% n
    T=33333333377" l3 ]; P' Q* d% K: V8 ?
    T=33333333647
    / S5 b% l; Z! C$ GT=33333333827
    " s! R( y4 K! QT=33333333857* H2 y. p8 L/ z8 C
    T=33333334007
    " y7 Y7 S+ \- s3 R' Y) B* r% yT=33333334487
    ! W" a8 l, f* s4 K% J( MT=33333334907
    & ~$ L: N4 |. U$ D- S7 V2 zT=33333335027
    5 j6 _( b) g! g3 b- c$ c1 E) JT=33333335177" T9 Y0 y2 D6 Q4 |# [3 G+ o2 e
    T=33333335657' Z( |  }% M- W- t$ g* O5 K: p
    素数:11个
    ' j6 i& D: r% M; `/ Q) _
    # v4 f8 E# ^% k* p& j7 o  @  y8 W*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对. D$ F* l! _1 b. s! S
    & _9 c- Q- F9 J( F
    用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111& k6 }' k$ B8 w* S
    输入:E1=11,E2=23,h=0,L=111
    1 `" M/ w+ q( n4 M输出:
      d. ]+ Q! p) d( k34有1对7 A4 {/ j: o$ d9 b, k
       (11,23)$ a; |6 a4 H% j  k3 w6 k0 Z4 n
    64有2对
    2 i5 {: E4 i9 s   (11,53). C, `) n  j/ _' T% R0 T
       (41,23)
    $ o* a; V" W$ r3 Y94有3对/ ]1 i1 a1 S6 h: @* v
       (11,83)
    6 N1 H! E' q6 T1 x   (41,53)0 D! m2 @! d! E& X( U
       (71,23)
    - ?' S9 Y! {. H8 O, G# i, H0 x7 v8 g& `124有4对
    / e. S( Q- X7 {/ Q4 ]   (11,113); |/ m; W7 o$ D1 a1 ~: E2 f9 z
       (41,83)# _! I0 _6 D! P3 x4 k$ ^1 A
       (71,53)7 F* f. i3 B% i- @$ Z
       (101,23)% Z0 e+ J7 q& K- M
    154有4对/ |/ G8 [: F, D' z& \
       (41,113)# Z  [( i* P% i6 m
       (71,83)
      O5 [3 K1 g* O$ Y0 l- s   (101,53)
    " r4 \/ [: b- }) n3 h) T   (131,23)5 M  |+ J$ Q9 H* o; R& Q
    184有4对
    3 ~4 H5 D) j& X0 r4 f$ j   (11,173); L5 Y' @" \5 W4 s  U( C
       (71,113)9 A5 g5 M* d- A4 T) K& k
       (101,83)% Z8 [4 D5 r; X$ J+ o3 c
       (131,53). U) g/ \' E, v! c6 I( m+ i
    214有4对9 F1 s) x( A' G* r4 v
       (41,173)6 A2 N: Q$ a2 Q" e# C1 y
       (101,113)$ m5 a; J: u' v) l" g: {) k; @
       (131,83)
    + O/ x$ N" D9 g* g+ Z* l   (191,23)
    * x/ h3 w' [. u' D+ q7 Q: j+ G……
    * X1 g% ~, a8 K3324有24对
    + b/ ]: k0 O1 C   (73,3251)
    & {% T* X5 F- w5 u   (103,3221)# @$ F+ S$ F4 ^% U$ A6 s
       (283,3041)
    6 l% D3 ~; i5 I# t2 |) C/ \7 B' R   (313,3011)/ I. Q% s& d) h3 f) |: o' R7 u
       (463,2861)
    2 Q; g; }  d8 D# }7 S   (523,2801)5 ^5 i. O+ |5 d; }3 j1 T
       (613,2711)4 n0 A: N- d# x8 A. v$ O1 o
       (733,2591)* G- _8 i; e' |  \1 [( k: X7 `# e
       (883,2441)$ M* a# H7 S8 e/ Q  l9 W+ \% U) B
       (1213,2111)
    * v1 ~0 B  \- _2 q   (1423,1901)
    / Y/ E/ j, `6 F% N6 `5 j, d   (1453,1871)
    ( |2 N' q0 f) [3 F. c   (1723,1601); |7 R) J; i! t9 Y6 @6 J
       (1753,1571)
    & n& |; D: i1 Z6 s   (1873,1451)
    / G* o! v! v  A9 e* y* h) p   (2143,1181)
    - I- F" {6 x4 ]0 m   (2293,1031)
    $ G7 V3 n* M$ T: y- V( ~' |4 @   (2383,941), e# ?% _/ N8 X9 a/ T. @0 z6 R) D' k
       (2503,821)
    ) G$ U( @0 _" N* c   (2683,641)# K, V$ ^" K$ b
       (2803,521)
    . e  ^( o; g8 G( |4 A. {* J7 ^, u   (2833,491)
    3 c4 S  I# a4 a: y4 W* ?   (3253,71)' r. X" K0 `! ^! V
       (3313,11)
    ; D  ~" l8 [: k9 m) o8 c! j! x7 e9 Z8 @" Z
    *使用21号程序:寻找孪生素数对  V/ B; f1 r& x
    4 p" K  d  Z1 ]8 P5 ?: j
    用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999,
    4 f1 D! A- Q7 N在程序中输入:E1=11,E2=13,h=111111111,,L=111111999) `, J+ b" `" V9 @$ @$ u
    输出:
    , P, K+ b' v: E7 ^' p# {6 p3333334391,3333334393& F, @$ M$ G- @9 X; h
    3333335771,3333335773' B6 V* u; a! }; t/ R' f
    3333336701,3333336703" b  }, x% ~& J) D1 [
    3333337661,33333376634 m7 E# y- s8 X( b
    3333338711,3333338713
    : q  ^9 u7 J5 _. m( P6 Q5 `/ ?3333339701,3333339703  ~# Q  z' d$ a0 c" T
    3333340391,3333340393' F. u8 ^+ S/ ?1 s7 a) j& P9 D
    3333342401,3333342403' v: _. g8 U2 @% u8 v& U+ u
    3333342581,33333425835 D3 }/ Y2 w' x* v1 B
    3333343421,3333343423
    # ^( W6 e# ]% Z0 P, r6 W& _3333345011,3333345013
    * N( X' M7 ^- S  K3333346061,3333346063
    7 y* E7 `  M' D4 n% I/ i3333346571,3333346573# ]1 r; ]) e* }# j) @
    3333349751,3333349753" ^  w; {' [: E) ?+ H% I8 Z
    3333350201,33333502039 F: R+ }1 f/ H; m  O8 ]. H
    3333350261,33333502631 x$ g: }0 \; N
    3333350651,33333506532 O. i# {; S! ~
    3333351641,3333351643, \/ S/ F2 x' z* T
    3333353531,3333353533
    * X5 ]/ b  S$ n& v3333355601,33333556036 ~3 @+ H2 o" b) I: ]
    3333358211,3333358213
    - j7 V/ i% L. ?; ?3333358361,3333358363
    $ D$ @  t8 A& ]3 i! O: D3333358781,3333358783
    & c& @: t& ~" J2 g' x6 Q% [4 w3333359501,3333359503& `6 U" D0 r4 x! R' L$ c0 L
    3333359591,3333359593. q, M$ y3 z6 F# l1 `
    3333359831,3333359833
    9 C$ c; t1 u8 z- F  p共有26对5 {) k6 D) T6 A  W$ Z
    # c. e) }" Z# Z* I; N" P' \2 N( [
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