合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

$ H  Y/ [) s1 ]' C2 I8 V下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
! J, i, o4 Z3 l- y1 H
' ^, p) I8 x0 n; jM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
7 u' @0 E! q9 J+ b+ L' i因为I=27除以2的整数商为13
" F! ]. N# u. _. u则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
3 L! Z  \) M3 i" z. L7 O7 H' h: WM=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
3 v" S5 U/ _3 Z- ]& }6 J! X& m当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
6 v% o2 Z! Y- P8 O1 }9 k则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
% W1 U* u4 ]+ v/ |5 j& r, O即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
( Q" a& ?$ t& C即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
( z+ B: d' |- ~4 H) `与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
7 ]7 @+ ?4 M  ?: v/ ~7 H, i则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
( l- a( A/ G7 M4 @1 NM=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
; E( l* J  W' L3 V当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
9 F# \8 E# Q2 T' f) a! T8 w数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
! X: d* \& h) L* j! \3 M" `! l" x3 v1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
# K) [) s0 ~4 b, D2 G6 J3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
. Q& X4 s2 T& O: c+ o. j6 W+ Q
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
1 s! G- X9 q# B' n(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
$ {1 T! r: {% W% Z5 RT=33333333347
; G& z4 J9 U+ ?T=33333333377
T=33333333407
  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
: ~" y6 i2 v+ s* l7 n# A9 M" p- @  Y=53
) \% f- u* W; ^; X2 Q1 x  X=57175529
  Y=583
( q  }  \5 I/ z0 x. \T=33333333437
  X=254452927
  Y=131
: [4 h* _( H* x  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
0 V; {! v) Y* H( f  Y=124793
T=33333333467
% ]/ i  }$ r! d  X=4761904781
  Y=7
& s# O0 m/ X2 k, V( o5 i  X=709219861
  Y=47
  X=311526481
  Y=107
" [$ v* r) A2 ]( a' K3 X. e9 V2 o  Q  X=138312587
  Y=241
7 b' B) z9 |0 O2 Z1 j% n  X=101317123
$ @1 c. M. m, U: |/ h" y9 N0 }  Y=329
  X=44503783
0 O7 F1 s9 J2 u' v- O) _8 J  Y=749
  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
/ k& m( {$ W0 h* q/ U  Y=3929
  X=6628223
  Y=5029
- e0 o& b0 U: V2 E  X=2942821
$ }: U7 D: r  r' |  Y=11327
6 l; r, Q  _" M) D  X=1292641
  Y=25787
7 q3 g6 h4 W+ T% N/ @& v* k2 z1 D  X=1211989
) F1 T5 l9 ?* q) I; d  Y=27503
  X=946889
5 a( w4 i1 h! B. W0 f- ?$ ^  Y=35203
  X=420403
4 C$ Y' B$ s) I6 T8 _: _% v  Y=79289
$ Z5 Q) A  x4 t1 d; ?( K  X=184663
  Y=180509
……
T=33333335867
2 V1 k' G, D3 M4 g  X7 v  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
; Z* Q6 D1 }* F; x" `8 C  X=2886253
& z: }5 q" O: f  T  Y=11549
: W/ @+ ~' U5 ~* XT=33333335927
& H. x/ f' t* u, {  V/ Z5 I  X=900900971
, P% m$ g' r0 \4 _) O8 ?, X  Y=37
  X=1191881
4 Y  u* y5 I4 L: W; B  Y=27967
  X=1034779
% b* `6 S, L1 O4 M( ^. S5 d  Y=32213
. R* E8 t9 y8 Q4 }T=33333335957
4 P! f# K  B' ^, b$ `, N  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
1 h: ~) i4 c7 h8 n  X=4761905141
  Y=7
  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
, |6 x5 l; F4 @( P# s. b$ PT=33333333377
' n/ q) {* l/ R# t/ eT=33333333647
T=33333333827
; v: p, g9 A' ]& sT=33333333857
. O  K( u) ?; J2 f1 T9 U4 \- B( ^T=33333334007
( N6 i3 I$ M4 i- z  I( y# `T=33333334487
T=33333334907
: Q$ b) S- X* P9 OT=33333335027
) M$ _' X3 x0 k) X4 m, ET=33333335177
T=33333335657
5 Z8 `2 l- c# \9 C5 y素数：11个

! A9 c; D0 {" Q1 g1 `3 _% V9 T) M1 Y*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
( ^  N+ r- ^5 `- C) @% e
. V1 u; w7 `$ s: p用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
: D$ U9 W; O7 c; L  s9 k# \+ j输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
% t, F! b% a2 `2 R& h$ [0 ]输出：
34有1对
$ v" Z- ~, E8 `3 u0 |7 @" n: ^   (11,23)
9 Y2 w6 {+ L, V64有2对
   (11,53)
   (41,23)
/ ?) @4 |: g- N7 T% u94有3对
   (11,83)
5 n3 K) {" h( I/ E  N& V   (41,53)
   (71,23)
/ P4 I; b3 V1 C' [% E+ \* Y# m124有4对
* `8 ~5 r% e8 C4 u1 Q7 R   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
. O7 S4 k& r, E' U/ r8 r   (101,23)
154有4对
   (41,113)
( l! Z' ^# {$ M   (71,83)
   (101,53)
8 c7 R1 i( ~3 H7 ~6 w# e3 h   (131,23)
184有4对
   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
$ H6 r- f% z9 t: b( ?   (131,53)
214有4对
: L2 _4 c9 L. I- s/ z   (41,173)
   (101,113)
   (131,83)
   (191,23)
……
3324有24对
   (73,3251)
; g0 E6 o8 {* u9 Y( K   (103,3221)
5 K" [* |  v$ T0 C6 w$ b   (283,3041)
. c4 [' ]8 z: r! r8 H% \0 N1 N   (313,3011)
; d! B# t, T% q7 F" S7 l) |5 r6 |5 I   (463,2861)
   (523,2801)
3 I. p) k/ l+ U4 W7 k0 x   (613,2711)
   (733,2591)
   (883,2441)
8 t* S. ^( M. T; i) m7 _# I& Y( h3 a   (1213,2111)
: D- A' A% X4 w! `) e3 y) H+ \   (1423,1901)
' v  t) {4 I# v0 Z   (1453,1871)
. ]( k8 u  f( }4 W   (1723,1601)
   (1753,1571)
   (1873,1451)
% f1 H% F7 S) ]; E' @4 H0 y7 Y   (2143,1181)
8 f* C/ J" \8 L/ d4 N% j   (2293,1031)
   (2383,941)
   (2503,821)
) n: g* W, H  C- d7 s8 q   (2683,641)
6 _6 d1 D& y! I: {' I4 M/ Y   (2803,521)
   (2833,491)
2 R5 @6 ^* `* F6 [   (3253,71)
7 z0 v& b7 `$ L2 M4 _   (3313,11)
4 I3 C& g* a- L, ]  b1 h
*使用21号程序：寻找孪生素数对

1 X! R0 J5 L2 w9 j, |7 U5 b用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
; ?) t2 c8 M' w! \在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
2 K) Q8 ~' h8 a9 M5 F  f- z3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
8 ~, b, Z! ]+ O0 {& G  Q2 d0 K3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
+ C+ y8 h+ {$ M- ?# q3333345011,3333345013
9 a, F! w6 y/ r, E1 e$ U3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
, k$ }7 D+ z) Q& t3 _3333350201,3333350203
) {& ]/ Z: c! M* x3333350261,3333350263
. n; z- g% k+ j! G3333350651,3333350653
' i9 a. W9 x! `8 h6 g4 b" d1 s3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
& f* s  t+ Q, `, N2 P5 R/ P3333359501,3333359503
0 ~, [* S; p, f7 F: K3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
共有26对

# j( d) W' F4 }+ Z/ r0 N