合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
* G$ O8 s& y$ m! K( |' ~
# x/ {- K4 O* \" ?M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
6 K  Y) O/ X7 S, Y8 Z因为I=27除以2的整数商为13
9 {1 \  W7 @; \2 P$ y0 K  j则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
  k. v) d4 y0 G6 `M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
8 b' U( g6 F) f, o0 y当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
2 y( }) C+ ~6 W- H# _6 K(2*N+1)=(2*1+1)=3
& O# ]8 D0 k3 C. w* U即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
" e) q2 Z  F1 D" o同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
( t" t! ]( m& \" I+ H则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
( i  M) z' s6 Z+ W. k9 _7 @没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
& E. X% K" E3 C8 X# W! o1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
  w  h* C' J" B  x2 N7 T3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

" A$ a8 ~7 p6 r$ g" K. B*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
" u1 z5 r7 i2 W4 {& H输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
/ O. G- l7 I. }' r: D先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
/ o! k# S- x5 C(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
/ r' A9 j: q3 e+ E4 JT=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
  X=3030303037
* J, j8 |. D5 G) s* M6 K4 e, _  Y=11
  X=628930819
* s8 `* u' F/ O5 V7 a+ Y/ f  N: l0 D  Y=53
  U' h1 C6 |/ n* k  @& J+ o  X=57175529
  Y=583
3 f  a5 p9 \# M; g* ~/ c' S. `( TT=33333333437
- G7 q, N# O, s( J7 K  X=254452927
$ m, G8 ], e5 b5 n  Y=131
  X=16347883
2 f3 o) l* k( g1 I! M: b+ M  Y=2039
& @' `9 [1 i" M3 ?( j" S  X=267109
+ s7 S$ R8 k  w/ T/ M1 N  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
  Y=47
  X=311526481
% V) {7 s0 v# b* F# I) F+ Z  Y=107
  X=138312587
. m( o6 h/ }- M5 X- n  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
& R: K0 b* @- P9 b  Y=749
9 r! P+ k! a" Q& l1 b7 A  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
  X=6628223
4 m6 l- z+ [  B* E2 |2 C! m  Y=5029
  X=2942821
  Y=11327
& x! c/ j4 k# e2 S* E9 b0 @  X=1292641
6 o: ^  X, I+ T, M- a9 h  Y=25787
  X=1211989
/ R) H- Y' u/ Y* ]0 e$ k- M  Y=27503
  X=946889
( _; s1 J% J9 r; Q  Y=35203
3 ?9 g) t; F8 H7 T; A0 d  X=420403
  Y=79289
/ B4 N5 E+ P: o* S  X=184663
  Y=180509
……
: N8 O7 ~7 Q( h* T2 ~1 [T=33333335867
, _5 p! y' p8 H3 O9 Q* c  X=2564102759
' K) i3 w, y; R6 l* A. [9 \  Y=13
2 L* Q7 o: Y7 H$ f! W  fT=33333335897
  X=2886253
# G9 A; |6 Y) _  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
" |9 w5 H% a+ e4 K4 s( h  Y=37
  X=1191881
/ G9 |; A1 J# y# S1 g" q9 g  Y=27967
, J- ^, }. `" N+ o! }1 s6 Q0 ^  X=1034779
- d+ J& \$ u: j* P, u$ s( k  Y=32213
T=33333335957
  X=1754386103
  Y=19
6 X3 N1 ?8 A( d# L* J; f; A* ]T=33333335987
  X=4761905141
! m  X, R/ q/ \1 D  Y=7
9 |2 T7 C2 [- R* _  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
# n! j9 J1 y9 M- Q  e    合数：78个

5 ~- {) k7 b  Q若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
# V; N1 L! r0 n4 E% W0 o3 nT=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
3 r6 S: }# W, hT=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
% n) r5 t5 O2 b: B9 P( PT=33333334907
T=33333335027
8 x6 u2 a2 |- @5 @2 kT=33333335177
T=33333335657
素数：11个

*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
# [7 f( S. G: D
6 B& R( Y4 s1 y9 Y% u) v& ~用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
3 }& N0 m+ s8 f1 J) C, n& q输出：
5 `6 l, c7 Z0 n$ Q8 X; j: t/ W34有1对
   (11,23)
' n  K5 d' O  j64有2对
1 d7 k) {( Z4 j3 F5 N   (11,53)
   (41,23)
; G& O; F0 k2 t* e94有3对
( \3 O1 h# P6 ]  N$ k6 ~% I   (11,83)
6 i: l: |4 h3 i. C6 k  n   (41,53)
   (71,23)
1 y- D) |; ^+ I/ ]% w+ F& L& e124有4对
6 i' |9 H5 ?- [/ \& l  s   (11,113)
   (41,83)
" v1 P2 D$ p" w2 j$ `* B   (71,53)
: i( W) V2 q# `7 h) r   (101,23)
154有4对
   (41,113)
0 t3 e( q7 s, v' S  T# F   (71,83)
/ b3 n+ o# l) u/ i- ~, s" b0 d! k   (101,53)
& L  J0 Z' f- w+ W1 q( M; d   (131,23)
5 j, {: B+ S  o- e: W" h184有4对
* e1 T8 b, @( c   (11,173)
+ n0 V0 E# ?  a% m' @! i" `   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
9 ~" j' n: Y: W; Q6 M8 J3 X! y- _   (101,113)
) y# k" J- v+ `, _2 U1 ~3 E   (131,83)
8 Z% d+ \' q1 B3 }% t- Z+ x   (191,23)
……
* Z6 U. ]& z2 E7 \( B; P3324有24对
   (73,3251)
   (103,3221)
+ L3 ]1 y4 ?6 N# @' H   (283,3041)
: K: E8 ?# _6 L/ E) R2 ?   (313,3011)
   (463,2861)
% h) Y$ c. u& h" @, p   (523,2801)
   (613,2711)
   (733,2591)
* A1 y" D- O6 E5 w% ~   (883,2441)
( U; J; T9 t9 E5 Q& {* J! t   (1213,2111)
  h8 r" s! B! |" {& L  ]   (1423,1901)
   (1453,1871)
   (1723,1601)
   (1753,1571)
   (1873,1451)
: L& z) v$ `; D3 p' a# d3 Y3 M   (2143,1181)
   (2293,1031)
   (2383,941)
$ e1 m( ^" T* V2 R% g   (2503,821)
   (2683,641)
8 s) P$ Q5 e" f' n# @: w   (2803,521)
   (2833,491)
   (3253,71)
$ n) T3 [  U4 K2 R7 ^5 @   (3313,11)

% ^. r# i# V; b6 ]; j*使用21号程序：寻找孪生素数对

# e; i& t( N  m$ g用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
! ?, h( Q" P/ Z1 b& {, m0 S在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
0 z" {" }2 b% H& T( O3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
2 V9 {+ m* N6 j8 L) v" O3333337661,3333337663
4 \! z0 a* W: i, b' B  R9 V3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
- \( D( p  s$ \  V3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
; r3 l* `" w2 ?- g, g8 P3 E3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
( B$ c2 I# n  ^& ]( x3333350651,3333350653
3 {3 B( {& n, Y3333351641,3333351643
; p8 n' I, `$ J; N) X, p3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
$ S; \! h" k- x# g( B7 B. {3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
0 F$ U; N: U4 }* k9 x9 y, z4 u3333359591,3333359593
5 E) @2 [  M% E" B. P3333359831,3333359833
共有26对
4 I- V2 C5 Q1 N% Q
3 e" l. |* r& `2 w