合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
. |! Z9 b3 n5 W7 L$ O& R) Z1 b
下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
+ v  _) q0 C/ ?& `
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
/ I9 j8 l+ [& l: k" X5 mN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
! z: F. J5 d' s(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
; K# H% e, [0 Q" f只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
: I  ~! Y" |1 G6 J9 r% x6 f即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
* g. Z- m% x' L9 B0 x与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
: e/ V% U) c  n0 j- i# ]例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
+ U" G) l( ~5 z/ C2 M* xN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
( a3 k& t! K* g! P8 S& S数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
# w0 w4 P7 h$ A9 n' ~3 T1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
4 r! p; y- b4 A; c, F0 }3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
) Z- H3 @. u. m4 ^$ k  F
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
7 v* E4 U8 o2 w9 ?
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
, R" }% N" \8 C3 h输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
1 r2 r( `) p  o, k先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
  X=3030303037
  Y=11
( ]# i7 x2 r8 E+ i  X=628930819
& X% f& M6 E, g# a% u  Y=53
  X=57175529
7 d$ J# A. ]3 W  Y=583
T=33333333437
/ K7 _3 u) C: C6 M4 I! E/ r% R  X=254452927
9 a9 i: d% F# y, t7 U' C& q  Y=131
# X7 a  R* ?2 U3 I5 K! |  X=16347883
3 E/ [; A/ T9 f, D4 Z  Y=2039
3 h* i2 Q& Q3 a! Q# R  X=267109
( L4 Y; X$ P5 l. D; l6 K: N0 n  Y=124793
+ ^/ G* R; L6 i1 Q) U& {- B0 vT=33333333467
. O/ x  j+ T$ C( r8 F' g  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
& s! E$ f9 ?/ P2 h' l8 t  Y=47
, f& Z: @$ n  S6 |! w( x* @% m  X=311526481
' z, n: d% P5 g# _  x4 ]( R  Y=107
  X=138312587
- ^/ p% ?3 [: O5 ~/ X+ P1 a  Y=241
1 O; e8 u/ w( f6 J/ Z  X=101317123
, r7 z. A* K- ]5 C$ {) V$ [* v( Y. [  Y=329
3 G7 ?/ {  U0 L0 n$ V2 G7 t! z  X=44503783
3 y" J% ?( f) R. i/ l  Y=749
4 O4 J' f: v# ~' v7 v  k; @  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
2 G) H4 _4 t  [% i3 r' h. m  Y=3929
  X=6628223
  Y=5029
  X=2942821
7 r& ?5 \0 X& w2 K! r  Y=11327
  X=1292641
  Y=25787
  X=1211989
; t2 [* n8 k/ o5 ], P6 A  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
. V! P0 Y! f/ p( g* s  X=420403
5 @% {- ~+ I7 |2 e  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
6 R1 p: K/ r# w' N+ C% F  z4 S……
T=33333335867
3 `- ^1 e2 A1 p$ u3 D  X=2564102759
7 i. ?$ m& N- `  Y=13
T=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
. }- T/ A! q9 k6 ?: D* gT=33333335927
  X=900900971
5 S* [* }" `* ]; W1 Q% |  Y=37
  X=1191881
  Y=27967
  X=1034779
9 a+ t, [" S9 J$ F$ O/ j% Z  Y=32213
+ T4 m0 h* M/ H8 {( r1 g3 @, _T=33333335957
! X1 q; `8 ]; C  X=1754386103
# V4 t& H5 e+ m$ L  Y& P  Y=19
5 ^3 y. Z# ]% H8 VT=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
5 g4 A, ?, |3 P$ g! w9 k  X=680272163
# U! e0 c* p" ~  Y=49
1 I4 ~% K, q+ H) F: X合计：89个
6 W- C( Q1 q+ l; f6 K# _& R0 n    素数：11个
. i) ?: E$ q/ y7 B" H    合数：78个
. {- Q1 F" b' I, J+ q9 m
, P/ @2 d" \. ^! e若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
# B% B/ R5 M* g* u# kT=33333333827
$ y- u' B, F. {: m; \T=33333333857
T=33333334007
" u$ B/ h; k2 w' o( aT=33333334487
T=33333334907
T=33333335027
; Q; b& |  T# W* PT=33333335177
  w9 P! _: |, O! {T=33333335657
$ h3 R, ^9 b+ C, r$ d' H3 `素数：11个

2 K+ j5 D: V; ?! w4 _*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
+ z+ m* q! Q& x4 H" e4 Y+ x
( {+ z1 W: Y2 E  `: g& ?% V用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
34有1对
2 f; h- ]0 S# E! @# A( e9 U   (11,23)
64有2对
7 k4 \3 c7 M9 _! ]- t# j; M% |2 B   (11,53)
   (41,23)
' N, C% Z9 O, E0 h! M9 e94有3对
0 g; s) V  R3 r% Y& j$ P   (11,83)
   (41,53)
6 M  H4 l$ ]' Z- {9 W5 |2 n& N. ^   (71,23)
2 ~) {2 [' ?9 q' @5 b* c124有4对
   (11,113)
   (41,83)
/ w7 u8 Y; X; f1 N% @) Y+ f7 I1 Q   (71,53)
   (101,23)
154有4对
2 j/ Y; o. h  o7 \9 |   (41,113)
   (71,83)
   (101,53)
   (131,23)
1 s4 w& {/ n, w7 @8 S- |5 a5 o184有4对
: a! n4 E3 n1 `   (11,173)
   (71,113)
: d5 }; v, t* J# R! \' ~6 h( ]7 D   (101,83)
" a0 u  U  n2 [( L5 Z# G3 ]5 F3 `   (131,53)
* A5 c! L; I- q- N: p( ]5 d# W# }214有4对
# D4 h$ o6 V7 M. o# _   (41,173)
7 K. x" ~! |+ m8 u9 B  w! u7 g   (101,113)
# ?) k3 G! r( H6 A. p3 _; c   (131,83)
+ e$ i. M7 Z' g6 f( j# M- m' [   (191,23)
( n/ c: ~! }  ~0 H0 j……
5 ?" a; z$ F6 l4 ?* I) d3324有24对
7 d5 Y2 b6 u! @; m1 L* {9 X( h   (73,3251)
   (103,3221)
5 O) |2 Z8 X8 N$ h9 ^   (283,3041)
   (313,3011)
. U+ }# h# J2 \% h6 i2 Z! l& {   (463,2861)
% M: {* j9 Z6 |4 M; n/ K+ Q   (523,2801)
   (613,2711)
   (733,2591)
: t+ c3 U! h1 l5 B7 S1 Z- h   (883,2441)
   (1213,2111)
   (1423,1901)
   (1453,1871)
   (1723,1601)
   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
( f& K& p2 G# D% g- o. K4 v7 l   (2293,1031)
   (2383,941)
7 z) |9 L, p4 b8 H. {/ r   (2503,821)
   (2683,641)
6 S( b- A8 }; [/ ]) V   (2803,521)
) @. }4 ?, ]4 \* P   (2833,491)
5 }4 V  v4 \1 k) b   (3253,71)
   (3313,11)

*使用21号程序：寻找孪生素数对

) p0 S: E$ |' y/ o& b0 P0 {1 C4 O用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
3 b8 |; z* q. H1 k/ S5 \) N在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
) x+ U- M( v, H% p  |3333335771,3333335773
, i5 x4 \8 s  |' E3 s* k" H9 Q/ W3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
1 J# o0 M$ Y, D; P, k$ m3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
' d; j& @; p1 }3 _; b9 D4 n3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
/ l% L" e( l! C& G2 E3 ]" g1 @3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
9 ^+ R* x* ~) @3333350201,3333350203
1 v0 d; o: @' ^. o/ c% c3333350261,3333350263
1 \3 I  }" d9 f# w5 ?3333350651,3333350653
5 F! m* G% I; u) p, A4 v3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
! \: T. z$ ^+ i) R- }8 [# ]3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
: b0 m2 Y' U& u, w( J0 P2 f  {3 O7 B3333358361,3333358363
8 l8 A) m  a/ V) I3333358781,3333358783
0 O4 ^- w/ u; `0 u# V4 _* m$ M3 q3333359501,3333359503
6 M( q0 r2 D4 x- h' G. c# u3333359591,3333359593
; e2 T% B5 j1 F% }8 r3333359831,3333359833
7 b9 l; [5 n) J: P1 j8 e9 G* Y6 Q共有26对

" `' j. M! N# A; ]+ ~1 {5 Y