合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
: h% [' u3 t; i6 V3 w: Y例1：I=27
5 j! H* V0 q; y: b$ ~' ~4 |5 F! H5 s因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
& }  R3 o3 D4 H" g则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
7 Y$ a5 U$ k9 Q6 e2 a即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
( k* \) V" N; X% |同理：当N=2、3、4、5、6时
" z7 v4 ^% R  ^只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
9 o3 k2 W6 y1 h4 g/ ]即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
5 U* k, n1 [7 J# K( ~6 B例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
) D' H9 [! R3 B8 j则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
' q( O: E0 f" V* oM=(15-N)/(2*N+1)
: \, b9 E0 {- x- HN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
/ Q/ m! I: i4 h) Y. v3 D当N=1、2、3、4、5、6时
# G% R* b. u) `# h没有一个N能使M为非负整数
* T4 Q6 |' U) j# p1 V" s所以I=31是素数。
( `% A1 s: K1 W- o数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
* P2 |( k6 L0 p1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
/ v3 F" f5 @) x( X  `
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

% U& i/ \, D1 a* w1 g) O下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
" \3 x9 |# U( c# E0 Y) s4 V+ g- U(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
% k: S: |0 r% X( S0 i0 ^  X=3030303037
  Y=11
5 t6 z; K8 f0 q, m  X=628930819
  Y=53
0 f: E+ B# Z" x! [& w1 u  X=57175529
  Y=583
T=33333333437
0 J1 e" m# B& ^6 M4 e2 Z  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
5 L/ N, ^- J. r& A1 P  Y=2039
  X=267109
: u6 D( Z9 k: Y; ]  Y=124793
T=33333333467
9 B1 Q) f# h6 `- p  |! P' Y+ F  X=4761904781
. ]7 P$ ?# C. ?4 ^. ]2 k8 C  Y=7
' T6 i+ V$ e; k& u( G  X=709219861
  Y=47
' T; m/ ]% [/ `  X=311526481
. o$ l/ n9 ?. j( u0 a# O4 i% f  Y=107
: [: V9 Z* B, I( R. s  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
  Y=749
0 w2 l4 y' U& {) L  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
  X=6628223
  Y=5029
  X=2942821
2 V- D( n& Q5 x7 {0 ], {5 X/ L  Y=11327
% X. J( W: Q9 O0 U* Q' L$ r  X=1292641
! n; `, C2 D, S9 S, o  Y=25787
, y. z- C( t' B0 \. T" q  X=1211989
  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
  X=420403
  Y=79289
6 z! f; f8 F5 E+ B* J0 c  X=184663
  Y=180509
9 p/ X5 l+ h8 B( s9 l  Y. }……
! P/ N% t6 @# k0 HT=33333335867
8 x& I0 y- O: O$ R# E' c! O  X=2564102759
1 ?1 Q- i/ l4 t, F# u  J0 {) Q) K7 C+ _. B  Y=13
T=33333335897
  X=2886253
) M5 n3 r4 j3 S! k' a  Y=11549
T=33333335927
  {! _& d7 y0 w' e( }  X=900900971
' m* \. ?; |! Q& c0 j1 z. r0 l: d  Y=37
  X=1191881
  Y=27967
  X=1034779
5 O; G7 h: @# j  R0 t! C6 G1 U  Y=32213
T=33333335957
4 A5 D5 w5 G  Y2 S% h1 S/ U1 C, P  X=1754386103
$ V3 Y& L- c5 @2 w' m) ^  Y=19
: s4 c7 c. D  O: r6 ZT=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
) b2 i! R' Y2 C. V  X=680272163
- r2 v  b8 _' t1 b6 O4 R  n$ G  Y=49
合计：89个
! B+ l, v/ |. I9 y    素数：11个
7 ^) V$ r& k) Y8 q8 ^! z    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
  [' s) |6 |7 C9 S即：
T=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
; \" \- C5 |$ a0 BT=33333333827
T=33333333857
2 s( I1 C7 q/ H5 l9 X1 ^9 {0 mT=33333334007
8 \# x) V5 W) X: [! o2 y2 cT=33333334487
- o- L( D  J% T3 P2 a! hT=33333334907
3 m$ a) g  x% F4 W# uT=33333335027
T=33333335177
. i& G' R% Q4 [( f3 VT=33333335657
$ I  Q% Z6 T! M, t0 [' U: _$ o5 W素数：11个

5 T) d8 ], e, g" j$ R' N*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
) Z- O, S# {- E
用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
" \( G1 Z) K4 D  b. F: u输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
* f/ q6 T0 `8 N9 t( o% _" ]5 s输出：
% y4 L2 }! V+ s' O& T0 y8 Y4 y) B34有1对
   (11,23)
3 y, n: b. y- J  j64有2对
   (11,53)
/ E+ }( M3 [3 \0 d# u$ ~   (41,23)
' F8 d9 ^, ?1 K6 ^% u3 V94有3对
   (11,83)
: J- a$ d9 [' \+ T8 ]   (41,53)
   (71,23)
# c1 B8 W/ T6 ^124有4对
$ {: a( g9 h6 ?( _5 Y1 D6 F   (11,113)
   (41,83)
* G+ i! Y5 v, j7 r6 C   (71,53)
- A# I/ |8 C  i, x   (101,23)
154有4对
% d" w2 p4 Q: F+ q1 a8 b   (41,113)
1 V1 l& ]5 T+ L   (71,83)
   (101,53)
) n3 [7 R8 Y% s2 G% D1 @" v4 f   (131,23)
184有4对
) R$ r6 Y# ~# Z- c   (11,173)
   (71,113)
9 E6 r( E( O) C. Y   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
, v& j4 `- L  P0 ^" S, `: T   (101,113)
; X9 F7 ]3 p0 N* s   (131,83)
   (191,23)
* O- K- i: O3 i* t9 @% f' e4 R……
( A9 S6 ]  w7 E  P( g+ {3324有24对
) {/ W) S! f$ p; I8 w   (73,3251)
6 ~3 h+ y1 i  B( w( j( a& _   (103,3221)
   (283,3041)
( t# T9 R8 m. W( S/ c$ w   (313,3011)
; q% m3 {: F7 U* \3 `   (463,2861)
   (523,2801)
   (613,2711)
: c- g4 z9 i, N/ ?* p( }   (733,2591)
$ h3 Y3 p( C% n* d$ G! B6 c1 S6 |  M   (883,2441)
: d  k. g& i% ]! s0 b; g" g   (1213,2111)
   (1423,1901)
! `+ G; L/ e( [8 A5 z* y   (1453,1871)
   (1723,1601)
- |+ u$ g4 e4 r3 k   (1753,1571)
# h. T. f, e' c0 i# z* {   (1873,1451)
   (2143,1181)
' W  ~9 H# P8 n3 H7 s% j   (2293,1031)
4 F% v( Z+ P- t9 T) B( [" v" i$ b   (2383,941)
2 z5 l% e$ F6 s" r# p7 w   (2503,821)
2 p+ o! s# x! p3 g   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
   (3253,71)
; G( ^$ l  n/ {   (3313,11)

*使用21号程序：寻找孪生素数对
& q! J0 k9 J1 y8 Y+ Z2 a
9 r/ [( U5 _3 ?用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
, x; Z+ U$ X& w7 }3333335771,3333335773
; z- n, X6 t, a! J3333336701,3333336703
1 \4 D+ s# a- e/ Y, @1 u* V4 t3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
0 z7 J  H* v& a" S' G4 K3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
' c* ^0 T6 b1 B5 M$ F' J3333345011,3333345013
! K) v8 F# w  ~+ P3 b/ L  L3333346061,3333346063
: j0 B9 g- d- X6 e* }' o3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
% [5 L/ b+ a% J7 Y$ G$ W: G3333350201,3333350203
2 Y! I! i1 ]+ }( ~9 d3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
$ L/ `3 c+ t9 v+ a2 \$ y3333351641,3333351643
. c+ y$ e: n$ W  k) G3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
$ t' V# A" C/ {" t* X3 {$ q3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
9 C9 |& v0 d/ r3333358781,3333358783
" i: X* b% L! |  d0 d$ @# H2 ~' G3333359501,3333359503
+ s( \  H( N, }! o% I7 I( }1 x% ]3333359591,3333359593
/ }& v; C1 S' R4 `6 D  ?3333359831,3333359833
7 o- t- E# H+ w: a1 C共有26对