合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
' r+ N& o4 C! Z. Z+ e8 e8 g6 Q当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
( ]. Y; H- t% o7 ^; h4 }则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
3 D& f! {: T4 A) U6 k2 N8 p(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
$ I& F6 W1 [* K, a5 j! [同理：当N=2、3、4、5、6时
8 A4 c9 O0 ]/ F7 B7 s6 n/ U8 p只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
  J! A8 U! L+ ?8 U# |  F" Z即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
, v/ L+ V9 P9 N& c8 p2 L1 i% E# H$ G7 g9 r(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
6 T% w( X2 L$ b  W- N! b则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
. F+ {6 L0 B9 A$ D% d" u8 M; H) \例2：I=31
2 I5 E/ j# R# q- J因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
7 V) i5 R6 A3 {& h) wM=(15-N)/(2*N+1)
0 G' j+ c% r! o5 O8 v: XN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
, z% r. K/ W1 G1 U+ T( @当N=1、2、3、4、5、6时
/ \0 L" V3 @7 K' D8 Z8 q' f没有一个N能使M为非负整数
, [3 i- k7 B' P/ ^& R! }+ ~6 B所以I=31是素数。
1 ]' p; P$ {  [4 D9 }0 j数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1 U5 D* l1 l! X0 P1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
  `+ \. M/ O- @/ K) j  q8 _" `
& S4 T  T9 d9 n* O/ r# ^( o" n下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
* m8 i2 ?/ Q' P' K) h7 a4 ]输入：
7 |4 a: J4 t8 W9 u; u# h用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
$ ?8 T* U8 B3 Z3 S- X2 z) u" e$ {先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
' p+ F) A/ i' z1 ?(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
. w# H% P* o/ Q$ d8 IT=33333333407
  X=3030303037
1 t" W3 o9 t5 I4 b8 G& Y  Y=11
5 _3 G& m8 u/ |' W9 d4 }3 }  X=628930819
  Y=53
  X=57175529
  Y=583
# T" x4 w+ Z6 h# J) o& b- {. R5 DT=33333333437
2 I, z* {: X' b  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
9 N4 z# C) I( v3 M  Y=2039
  X=267109
5 d+ R, T. ^4 \" Q8 r1 `  Y=124793
& v. a9 O3 r4 x7 m5 i" }7 C0 K; {T=33333333467
  X=4761904781
& k4 ~4 z" L& X7 T3 O! `1 f  Y=7
3 J8 o7 q. a- R$ v0 t  X=709219861
1 J# T# t2 D* a  Y=47
" _4 v0 t4 j  d' q/ E5 i  X=311526481
  w' V1 J! P2 `+ f: k  Y=107
/ N6 f8 S- J  O/ f  X=138312587
  Y=241
, v- T$ Q; B1 F  X=101317123
6 Q1 L9 l% r3 d6 \, T# Q8 l. L; g  Y=329
% \1 v7 e+ Z. V0 C$ B8 |  X=44503783
  Y=749
! {9 Q4 p6 a3 q. `" N/ Z  X=19758941
' A) q4 R' o8 j% J. |  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
6 h7 n4 y3 [8 n; _+ C  X=6628223
  Y=5029
, J: H3 x0 X  r4 O9 a  X=2942821
. M, z, j; }1 @/ [: Q6 r7 y  Y=11327
  X=1292641
) N: M, ?& j6 Z, `  Y=25787
  X=1211989
* w% J- z# g( Q* I  Y=27503
) S. q; ~# O2 I$ Q! _8 X9 s6 c7 m9 j  X=946889
  Y=35203
& T( P: K- ^' L, X6 u  X=420403
- P) J5 C4 K# _! K/ b! r$ K  Y=79289
  X=184663
8 K$ P; }# Q: a" R' M  Y=180509
……
T=33333335867
/ w% @" S. K8 ?- |" @  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
) ]1 v+ q- r% a* E8 V  _: P  X=2886253
. k9 A* ]3 z9 t  Y=11549
4 x& i. n' \9 B5 dT=33333335927
  X=900900971
  Y=37
9 N8 u2 W# k' C, \$ s1 K  X=1191881
! |. c# b3 N' O% B3 X; r: r  Y=27967
& ]; H; [0 x. U8 C9 ?  X=1034779
  Y=32213
T=33333335957
" _" {# N5 J, e" X; Y3 o  X=1754386103
  Y=19
  {4 ~$ g! W% @6 Z) C' S/ vT=33333335987
4 F7 b- o2 |" r4 p% ?  X=4761905141
  Y=7
5 E+ K5 Z" o5 m9 S  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
8 H. C( Q0 {3 l$ j4 r4 P0 `    合数：78个

1 {+ l7 \  L( b若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
* j( O, J9 v# L$ N" r! e6 XT=33333333377
T=33333333647
' I$ B$ P; J- A* k8 v$ s; B1 ST=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
! {" b. e+ I) ]. _8 h9 TT=33333334487
: X; p4 E  n0 t# _0 m/ Z; wT=33333334907
T=33333335027
  j* p' R- ]" H6 }0 z8 YT=33333335177
' m2 u* U+ H) \4 M. IT=33333335657
! @1 k" E& R' J素数：11个
: ?* c" H  Z7 m1 u& D2 I" U
*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
1 f  |2 U' `# f* f2 t. a
' [( I$ R. u0 ?: n- J. W3 l用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
# K2 ]7 ~& E+ l& z0 u34有1对
   (11,23)
2 V6 X+ n" [' F- g  h64有2对
   (11,53)
   (41,23)
94有3对
   (11,83)
# T: Q1 l+ n" {5 T  q& u( @$ h* C   (41,53)
" M$ r* u3 _9 `5 X' z( |5 U! A. E   (71,23)
124有4对
   (11,113)
9 t% L! R2 g7 b0 A8 c, J, p% m   (41,83)
9 A3 M9 u9 p8 t& {4 B# o( A   (71,53)
; D! x: @6 z% s5 A* v7 W6 _$ J4 Q   (101,23)
/ T3 O  t4 P- C& y3 Y154有4对
   (41,113)
9 u0 P: o/ a" b   (71,83)
( u( V' X- L7 G: s   (101,53)
   (131,23)
184有4对
   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
: s( t- J: d% }3 O. m! ~2 c  v/ ^" J1 H214有4对
9 q. O# j, \+ l9 y   (41,173)
   (101,113)
% x* n1 y. l. l& X" d   (131,83)
* Z- F, n: d$ o4 V7 v   (191,23)
……
* M* f" E1 `/ s3 W) |3324有24对
# i& \+ L) ^% j* b  y   (73,3251)
1 w! f+ r5 G; G9 s$ |6 i8 ~5 J   (103,3221)
   (283,3041)
/ ~4 n. l, I* B$ v5 o  p, Y( [   (313,3011)
   (463,2861)
+ S- W" I( R7 s; |/ k( V: V   (523,2801)
& m) n' t6 Y# J8 T& D: P   (613,2711)
" ?6 V  M; ?* t# B! `   (733,2591)
   (883,2441)
   (1213,2111)
& J2 H/ t" _4 m# K" @   (1423,1901)
* s" W# p# [+ W/ t7 G) N, K, @   (1453,1871)
   (1723,1601)
! i: e) m" ?0 O* d   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
; w* S6 C/ |. C' D   (2293,1031)
   (2383,941)
   (2503,821)
   (2683,641)
   (2803,521)
. U. r6 ]( c2 M) Y   (2833,491)
& f9 t; }1 o+ X' \9 P7 L  y6 a   (3253,71)
   (3313,11)

2 c4 G' y; z/ {* S% x+ P' r*使用21号程序：寻找孪生素数对
4 u# G/ X; K7 ]
8 }" o# W$ x+ b  v9 m) T用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
0 ~& C, k, ~+ o- b" E  ]- u1 \在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
3333334391,3333334393
7 K; n1 v5 q+ l8 Q" V) F+ R3333335771,3333335773
9 T, S1 }6 V0 d! S3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
5 m* o2 V" P0 S2 P7 L3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
# U$ z" _" U1 K) x3333342581,3333342583
; i: @$ }. y# j1 J, j9 Q  a: ?' W; d3333343421,3333343423
. k( q# D, w! d8 R# R$ U- ~, ]3333345011,3333345013
8 A% }1 t) v5 h7 ~3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
6 r. ^: y+ G3 A* I  H# }3333349751,3333349753
/ Y% m. W% o1 N. @0 I+ D3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
5 |5 e$ w3 i/ d0 B" M* W3333351641,3333351643
  c0 p  M1 B4 f- N  u: g3333353531,3333353533
- b0 M# d6 L! d+ ]. l6 N3333355601,3333355603
* j, z4 E- x. J, ]5 ^1 O: d3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
" }( Z4 {$ O7 o( \+ n9 S/ c3333358781,3333358783
' T' K& Z1 j% x& B* d9 o3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
共有26对