卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
$ T  N- ]: X. l
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
8 {% _, b% {/ @7 g7 u有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
$ {2 Y' ]) E& e" s( ]* d& S
/ ?, G1 I" x' h/ s$ W: o求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

解题.
6 h( u& U# K5 t3 j: D' k% [; I  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
' y" V1 F  r4 E0 j8 [3 h, n  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
+ H* _3 j% V. }因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
7 G6 X7 n+ R9 @3 Z( W必在-1和2之中.

1 r. T1 ~7 ~: I8 A; c再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
0 z5 B  c! D1 l: d# i2 Y0 ~
: P2 K9 J/ `9 s3 |* z7 L证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
! ~3 k9 R/ U; @; P6 u2 M     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
( ]* n4 H# Q! h% `9 m    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
- l  u9 W% O6 L. k5 `% I得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
1 @. T/ o7 r' m, ]: g1 p" }