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签到天数: 24 天 [LV.4]偶尔看看III
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数学题:
$ T N- ]: X. l# q2 f D/ S. W' Z6 I
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
8 {% _, b% {/ @7 g7 u有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
$ {2 Y' ]) E& e" s( ]* d& S
/ ?, G1 I" x' h/ s$ W: o求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=? w! Q: N7 [: b3 E4 ` \
+ e' h" v- ~ `3 N2 `! y! p
解题.
6 h( u& U# K5 t3 j: D' k% [; I 设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:9 t& D1 l( L. h- w5 D
(ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)* Q' p" U' ~! `, Q j& B' @
因为:ω^2=1/ω, 1/ω^2=ω.代入上式后:& E- n' Y5 I9 \* s& p9 h
1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
' y" V1 F r4 E0 j8 [3 h, n 一元二次方程x^2-x-2=0.,7 p Y7 H/ y6 Y+ j2 |! Z Q
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
+ H* _3 j% V. }因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
7 G6 X7 n+ R9 @3 Z( W必在-1和2之中.& B* Z/ ~. z8 P# c2 }3 ^0 L
1 r. T1 ~7 ~: I8 A; c再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.0 ~1 G ~0 o6 P9 _' ]
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..5 Z: H5 V1 e$ G5 X e- U4 E
0 h7 P0 w: V: |4 q/ O
补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
0 z5 B c! D1 l: d# i2 Y0 ~
: P2 K9 J/ `9 s3 |* z7 L证:2 l6 ]3 {, v6 J e; v1 Q! R. X
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).3 p: ?; |9 N3 b8 @# e
(1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
! ~3 k9 R/ U; @; P6 u2 M 即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3)./ T$ p" a# l! w5 V9 \0 n
w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
( ]* n4 H# Q! h% `9 m 上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3. 注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值,不是三个数值。! `: O; o/ i: W
得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
- l u9 W% O6 L. k5 `% I得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).3 ]% P; d& H3 T0 ^
得:w^(6/3)=(x^2)^(1)! r' y. v; p7 g5 [- u! u! i: ?* x
得:w^2=x^2.# v3 [. M8 \$ y! c! [) e
上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).% O( C7 R% l% m: X! B
证毕!
1 @. T/ o7 r' m, ]: g1 p" }% t2 {4 U% o3 M. Q7 ~
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