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签到天数: 24 天 [LV.4]偶尔看看III
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- 医师,湖南人,爱数学.
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数学题:' U+ C' b" y- \/ Z/ W$ _
- k: T" B' e5 {0 S
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.! [4 C$ c$ ~; @# @+ q
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
' D7 f7 y( I) f# n. n. y% O1 q: V2 W- o s4 K% R/ W7 I
求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?1 X9 q+ [4 s6 p' M
9 B8 h5 b5 C; y# l5 a) |& E
解题.
, T7 N2 Z' |1 s! J) U 设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:0 o" O7 k- F0 a9 Q
(ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)" c2 j4 G& q1 T& j, Q
因为:ω^2=1/ω, 1/ω^2=ω.代入上式后:
d! ^% U/ v: o/ u$ l 1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得1 ^* W" C2 ]( |/ ?+ S' F9 b* |
一元二次方程x^2-x-2=0.,
+ B/ c; U0 @ g再解方程得两个根x1=-1,x2=2.6 T# }' @* l2 Z) H) R4 p1 w
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
, }- O# A% a: e) ?! n0 X2 {必在-1和2之中.
& F; \. A7 ^. V7 u$ G+ `% v, d0 A" {" F: T
再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.# N* a8 {; V3 r% {6 L
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2../ x! m3 g6 F) ]+ b. p
1 F( L( `/ S7 L
补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
# W; I. ~2 Y2 O
$ D( ?8 X4 D# w! w+ f证:5 d6 G8 K" c- b; U% `$ f/ r% s
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).% B! l5 D, M; ~) E6 _4 g9 k5 Q$ n/ h
(1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
/ A c0 D: J& h# | 即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).+ p9 t# D) h! C) U
w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
, ]* d5 M/ V! s9 ]' j- c, b0 v 上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3. 注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值,不是三个数值。
. E) f' y& b) Z m$ i 得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]+ X p. b8 M, b9 @- [8 M: Z
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).* W9 K5 H) C$ W3 v2 e- a! j% a
得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
! ?% m" S- b& D, E 得:w^2=x^2.
+ _) g1 g% D; p$ p0 B2 F 上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).: j1 W: K' W, Q+ J) Q
证毕!
' k/ D8 k- ^* n: ^% I0 s& a9 D0 G
$ F/ W! D) q- y+ N3 E5 j t |
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