卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
  W2 `/ v  r% A& @但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
也分别分析了三种情况,

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
! k- A* ?: H+ R, N3 S7 ^/ @
7 b* i2 z% x3 x6 U已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
, }# z% k( t  o% S+ C& x有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

6 \, \) ?6 v0 [. R0 |  N+ u) T; O求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

3 y/ K  {$ k5 C7 |' p解题.
" F% E. b9 n+ W1 R+ N7 }, T  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
) H6 F# Z5 H) V7 y: N9 }  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
: q: B9 j9 |0 F$ X0 i, F- c  r! m. w! C必在-1和2之中.

5 a3 I3 P( N9 I* C/ I( @再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
1 Z% Z  A4 g( G8 t, x并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
  s7 [6 z" h3 X& K: f$ l
. p3 w: }2 |) k- g1 w- A补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
7 t3 d( Z; @8 h2 r5 {
证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
- S( u% t, G( ^$ A6 O     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
" {: @6 F* V+ p      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
9 x" V7 Y& p6 a4 Z得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
; S7 i3 ~$ F2 o& P  R9 k% a) M   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!

0 @8 e, c* o, [8 ~0 O2 ~/ S. K2 r% G; N