卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
" @0 q% {) q7 N, s+ b( p) [也分别分析了三种情况,
' u+ m% s/ p7 W* D1 I8 a( `; i

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
* A$ K% k0 B, x
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
0 U* g1 S! v0 B+ t6 J- ?/ d0 S
: A  [1 U% u$ A1 D! L, e求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

2 \4 b: M% O% o  h) N解题.
, K4 y4 Y' Z& S$ L: P- s1 \  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
" f; `% F$ k6 G+ T7 s  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
% I  s  {8 p% T  q, N因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
  [& K% ]. E) i必在-1和2之中.

5 K; l& ^% f: F  i5 g再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
5 R) I$ V6 P' n; m并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
( s4 |2 c! a( {
+ C/ s4 @  X6 E: C补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
$ ?0 e$ l; Q2 r  z! i7 ~$ K+ Q% K
证:
7 C+ U3 }# h1 S5 R! Z令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
8 ?2 x) y3 i7 @, [8 h" V2 v     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
0 G8 A5 \, K+ w% ]' l% c' [    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
" ~5 H& l$ G$ w- J" R) J  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
7 c& k8 i5 y# `4 Q5 M得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
' |8 j, ^3 J8 c2 |" G/ c2 ~  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
: c7 L- n5 e8 ?; a8 Z
: ?% i4 E: U+ r+ \  B/ q