卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
' P+ S  K# I( `" ^0 z0 n也分别分析了三种情况,
8 T$ [( \9 j: x- P1 Y2 u4 l+ }7 O" g

谢芝灵

谢芝灵

数学题:

已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
' D7 f7 y( I) f# n. n. y% O1 q
求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

解题.
, T7 N2 Z' |1 s! J) U  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  d! ^% U/ v: o/ u$ l  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
+ B/ c; U0 @  g再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
, }- O# A% a: e) ?! n0 X2 {必在-1和2之中.
& F; \. A7 ^. V7 u$ G
再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
# W; I. ~2 Y2 O
$ D( ?8 X4 D# w! w+ f证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
/ A  c0 D: J& h# |     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
, ]* d5 M/ V! s9 ]' j- c, b0 v    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
. E) f' y& b) Z  m$ i  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
! ?% m" S- b& D, E   得:w^2=x^2.
+ _) g1 g% D; p$ p0 B2 F  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
' k/ D8 k- ^* n: ^% I0 s& a9 D0 G
$ F/ W! D) q- y+ N3 E5 j  t