卡丹公式欺骗了五百年所有数学家---最简铁证

谢芝灵

7 M: @1 _/ a; o! Z/ m, `
( P. k5 `4 s" M- L) a" f. j- h奇妙的数ω.
ω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
n是非0的任何数.
ω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
# P! M' K7 O; g& w, V解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
0 i' h; r; l8 ]/ v( F                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
5 F" x1 U2 ^) W       得方程:x^2=x+2
* |8 u6 @1 }  X$ B! x  解得 x1=-1.   x2=2.
7 m! T* |6 e* x. S5 R8 _

谢芝灵

关于增根,减根问题.
9 b  K+ l$ _. k" H! b" E在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
2 d* ~6 u8 V) h! l9 s由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
第三步,同上一样.

所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.

其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.
2 x# s' R/ n! G; C# {( U
那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
; A6 J6 L& O+ J/ j/ x, q) Z得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!

% z+ P( A! J/ |- \

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
4 q+ @8 ?: ]4 X9 ^3 q( a& ?但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
也分别分析了三种情况,

谢芝灵

谢芝灵

ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.得ω^3=1.和ω^2=1/ω.及ω=1/ω^(1/2).
! w! P  B( X% X/ f* b
ω是个奇妙的数.
% q6 W$ h) L1 O$ x' d0 e0 e. W, q4 Gω^n+1/ω^n更是个神奇的值.
即不管n变化多大.ω^n+1/ω^n的值就在-1和2之中.

polgageorge

如果你是对的，麻烦你仔细整理一下，如果可以的话，分享分享；如果你错了，不要灰心，找找错在哪。不要让情感战胜了理智的头脑，即便你得了数学大奖。另外，建议你确认一下关于卡丹公式的参考资料是否完整确切

谢芝灵

数学题:

& J7 ^+ T; u# E  O( @  Z; E" W8 ?已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

2 v" J8 ]7 p7 Z求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?
5 @7 I  [# j) t# h$ N) O1 I
/ j' Y" b' L% F  Z9 _# r解题.
+ N! D) c' K  s3 {# z  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
, h- W/ ]3 ]8 J0 i因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.
! G4 D; H- N+ W2 u2 n
* ?- v/ z& X: F& c4 N+ V4 N再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
% W9 Y; N8 L* [  e* v1 U; R9 p并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

4 `- ]7 ^3 n; S# N) D补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
& N. u) |  n3 I8 p
. Z$ q$ o8 n, |证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
9 A9 _3 A4 i( ^- A& y     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
5 }. Z5 b# H. `/ \. p5 f5 V      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
% J7 J9 @& e/ H7 {) Y    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
; s0 {! I4 ^$ K7 H  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
8 r' w* \; o, r2 R" ]! D4 P. j' U  证毕!

数学1+1

谢芝林先生:
      一元三次方程的求根公式没有问题。问题在于你对ω的理解，为什么有ω^3=1 ？