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签到天数: 24 天 [LV.4]偶尔看看III
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数学题:
2 d; ^/ C' S# j+ @6 T$ Z% { b1 N+ d" g0 e
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
, {2 o5 A, o! a ^9 i+ D: P+ X3 l有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.- i- U u7 \; r" m% r% @
/ z9 R; t4 `1 P
求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?- Z- I% {2 |8 }! j
; B8 h; b' i" I/ `4 Z
解题., p' A; N. V3 G2 L9 N4 x
设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
: r( q7 P. d( X" Q% I% ?4 @ (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
) T% Q" x" X2 v& h5 k 因为:ω^2=1/ω, 1/ω^2=ω.代入上式后:
0 C$ V* @: f) }' o 1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得& [ d; {2 K' H, s
一元二次方程x^2-x-2=0.,3 G* w) v* h8 |1 e# X
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
% E: g( {* m9 U7 O7 i; A8 v- w因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
1 K3 d; O8 X+ |; g! V6 M必在-1和2之中.
5 F8 H. t9 F( ~3 t) }7 S ?) E4 Q+ U2 d v
再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.( a( T# m% I* w7 }% e
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2... x: v0 |& r6 x0 [# {1 d
! P. I" S% g6 a补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3). Y5 F4 R( w: p$ U8 [7 Y6 P& [
, G4 e# P9 u( e( O
证:
. R8 V- |6 Y: X令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).# X8 S4 C2 i( H( \" a2 ~& b
(1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
' B8 O4 j s* a0 }; ` 即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
9 M% l; T5 J5 n4 q$ z1 p) k# u# U w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
) r9 x- U8 i# u) Y/ f 上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3. 注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值,不是三个数值。
% R$ }' U) D9 U 得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]7 f7 T5 N1 \& K, r: ~' k
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).! w6 s1 a. M: N5 o5 n$ K9 }- c \
得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
# b x& R0 w" h9 [$ @; U( R: Q, g 得:w^2=x^2.+ H+ }2 }; h( a( \
上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3)., z( k6 I6 O+ m6 X9 y) O
证毕!- ^% z8 \% b4 ^; ]+ }/ e- l! d
. c r( v5 E; @+ F/ c$ B1 u' ? |
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