卡丹公式欺骗了五百年所有数学家---最简铁证

谢芝灵

对 (q/2)^2+(p/3)^3≥0,卡丹公式成立.

谢芝灵

; \; p4 l0 W- _1 y$ E
奇妙的数ω.
; w4 i! K# t9 [& Mω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
n是非0的任何数.
ω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
9 u6 Q9 h) g$ F; `解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
) K4 t) `$ J9 e4 U       得方程:x^2=x+2
$ l* u; d/ e3 d. B0 K  解得 x1=-1.   x2=2.
- ~+ y4 v# t  o+ C

谢芝灵

关于增根,减根问题.
在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
* I, s& X3 y( N3 i. s2 ]2 o4 y我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
第三步,同上一样.
$ E$ @1 u5 B; {/ ]; x1 ?+ H# i
所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.

! A+ l1 x$ u" w9 v! ~0 I% v) L其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.
6 @7 ~  o$ B+ p, V; J" L1 I6 M+ P6 B
那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
也分别分析了三种情况,
" j* [, `/ E( A# I( K3 {6 C

谢芝灵

谢芝灵

ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.得ω^3=1.和ω^2=1/ω.及ω=1/ω^(1/2).

ω是个奇妙的数.
ω^n+1/ω^n更是个神奇的值.
即不管n变化多大.ω^n+1/ω^n的值就在-1和2之中.

polgageorge

如果你是对的，麻烦你仔细整理一下，如果可以的话，分享分享；如果你错了，不要灰心，找找错在哪。不要让情感战胜了理智的头脑，即便你得了数学大奖。另外，建议你确认一下关于卡丹公式的参考资料是否完整确切

谢芝灵

数学题:

已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
/ T9 r- u, y: Z/ c5 d8 i有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

* c0 `& d) T/ Z求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

解题.
  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
* C* ^9 \9 z- d! s" e  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
0 Q/ E. \) d" J再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
% j: K0 z( j9 q) z6 i5 u7 Y( |并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
- J0 ^8 @) T# z3 |4 J" [& [1 n8 L
+ m! s) Y. v: K2 `补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).

证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
1 K4 p3 F7 ~) {# s: R  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
6 Z* f" A% m2 h. x6 `5 I$ V$ S& f: w     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
6 m. G; y0 \/ V: J* w% E8 p      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
/ H& Z, ]6 K$ G* l4 G    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
, z& l& E8 |3 i2 U+ e5 y! j$ }+ H   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
! G; f7 v0 |# Z8 f' o( `5 y  证毕!
: c; s( E7 L: ~0 j

数学1+1

谢芝林先生:
      一元三次方程的求根公式没有问题。问题在于你对ω的理解，为什么有ω^3=1 ？