请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
3 {% o8 i/ \4 O7 F" e1 @定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
. ]& t6 ^0 R. k% |, h8 `- x/ N, S* p    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
9 D. S8 e1 u! ]  A3 L2 O! ~3 l                                                k
) R; h. f" D3 s! v4 c, w. k( F    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
$ o) [% E) ]" R% Q    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
/ @  B5 I4 k5 M* T, H" ]总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
" y- t+ e0 R5 V5 J6 n于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
8 |# k- v; l6 J不可避免集。
[证毕]
: u7 B4 L5 i. f8 }0 D
    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
# q$ L& O+ c$ R" e    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
0 Y6 ]+ V: _2 D0 i- m( J% O    把k=7带入(36-5K)/6时，得
, ~% R; L  f, S  y' H: j4 I    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
( S) S+ J0 l3 f. U
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
3 L: ]7 Q, G9 n; O4 R) K! y( O因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
1 a4 l, v4 J- Q0 H6 X# s% ^4 ~    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
( V4 S, g$ b: c! h7 u( V3 j的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
5 ?1 k5 Z+ }. B! L4 J* V   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
* |; C- x2 {  q  g   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
" {3 S  j. C) \! n   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
1 Y8 U' M" {8 R2 \; u$ r- _沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
: b& ~" G8 K$ k2 Y3 }! `    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
# P4 v' I, K( _' Z6 ^   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
3 }. w$ B6 w& C/ S- p7 `$ p

9 e0 L' B: L2 L7 c8 R: q

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~