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请教王树禾教授

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张彧典        

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    [LV.2]偶尔看看I

    自我介绍
    从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。

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    1#
    发表于 2014-5-31 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,/ p) K: D9 Z1 ]! w3 ]
    现在转载如下:
    2 t/ e- r2 H( Z5 ?$ e+ V- o
    定理5.6 (Wernicke 1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    6 B' n) o/ I6 N" T8 n
        证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷% r8 _2 W# V- m/ X
    为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
    ( E5 w; q3 _1 x. j4 i
                                                    k
    1 p! u2 O' H. b8 Y# O. {9 r( }    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    ' ?# k0 R" `' H% e: V    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷
    - i+ U5 o0 ]4 D的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.
    8 Q% F9 ~9 @( l% f9 H: Y. n6 f0 Q& q
        考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
    / ~8 q8 y. t6 {! O总电荷为
    ) _0 [7 G8 [9 H+ p% M9 [7 o; `                  (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,     【我把这个算式记为(1)】
    - C" H8 K0 M% \! Y, Q于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
    + p, D6 \3 q# M不可避免集。
    6 ~5 f/ O$ ^- X3 ]8 \5 U[证毕]# X* [! {# i4 J; I

    2 h' K/ W4 M* G; Y! x    在以上证明中我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,
    $ H$ Z- [8 g' D# h' W9 C, X  O
        如果(1)式中的分母都是5的话,(1)式应该是
    4 N# m( N) E: x+ W  P9 r0 u9 y      (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ,只有当K大于7时才有(1)< 0,这又表明开
    $ u% \8 O7 k9 W) {: ]头“考虑K=7”有问题了。
    4 B2 ]. V- X5 G+ u( X    [ 野花回复:应该是 k/6 ,]
    7 j- F0 g0 l* o6 b3 G- W- T9 o) i      如果确定是k/6,那么(1)式为
    . G$ _; O+ e( Y8 u   (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中7 _& {( K6 Q( ^7 H2 O4 `, R
        把k=7带入(36-5K)/6时,得8 Q% C9 O7 m5 h1 M' i8 n
        ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7
    3 }$ D; S8 @3 `2 V! ^0 o才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    * L% _' R  X$ k, w
    ) `* p, \4 k$ V* `$ Y    那么(1)式究竟是什么样呢?是不是:& t: g0 S6 f0 X6 Y  ~- _( a
         (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  (1-1)* Q! `3 C' l2 J% e/ a  @
    或者
    - ^9 s5 M: y( t* O0 Q" N- h    (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)& J0 T5 t8 P9 n( {" E
    因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。
    , o# ], ]8 e. s7 f9 v    如果千真万确 是
    (1-1) 或者(1-2)  的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:
    ) e4 o" q7 b3 L/ j3 ?  [/ X    考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带+ j' d( ^2 ^: R0 p- H6 n' O* F
    的总电荷为
    4 S8 G8 v: \  ]
                (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
    , c5 Q' t6 ]" m) A& v   或者
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
    : L% [  c' y& |. U8 w* }   于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。6 P4 {( h) a* O& L
       这是因为,比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于: |7 S2 {! r5 [- C8 ^8 t6 e" f, ^
    6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有
    7 @& p' T' X. n2 i% F) V必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
    . k, Y3 M) F( e, O+ b/ c, R
         如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿4 U2 y8 m# h; c% [4 \! ^: _3 k% @  E
    沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可7 Q& |7 {  H# U
    避免构形的简化》中有所修改)。
    3 O2 f, y5 m% V4 ]
        我的认识对不对,请王教授指导.
    4 X8 R4 h: Y+ |+ r7 U                                                                     2014.04。09# @' V# U* X5 F6 X7 j+ S8 n
       [野花回复:从这段内容看,此教材太差劲了!!!]
    % W6 Z( _; x" V: I2 M% w- e7 e$ @( V. g$ X7 {
    ) U" }) I. J- ]$ u
    zan
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