请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
6 B' n) o/ I6 N" T8 n    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
1 p! u2 O' H. b8 Y# O. {9 r( }    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
' ?# k0 R" `' H% e: V    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
- i+ U5 o0 ]4 D的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
/ ~8 q8 y. t6 {! O总电荷为
) _0 [7 G8 [9 H+ p% M9 [7 o; `                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
- C" H8 K0 M% \! Y, Q于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
+ p, D6 \3 q# M不可避免集。
6 ~5 f/ O$ ^- X3 ]8 \5 U[证毕]

2 h' K/ W4 M* G; Y! x    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
4 N# m( N) E: x+ W  P9 r0 u9 y      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
$ u% \8 O7 k9 W) {: ]头“考虑K=7”有问题了。
4 B2 ]. V- X5 G+ u( X    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
7 j- F0 g0 l* o6 b3 G- W- T9 o) i      如果确定是k/6,那么（1）式为
. G$ _; O+ e( Y8 u   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
3 }$ D; S8 @3 `2 V! ^0 o才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
* L% _' R  X$ k, w
) `* p, \4 k$ V* `$ Y    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
- ^9 s5 M: y( t* O0 Q" N- h    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
, o# ], ]8 e. s7 f9 v    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
) e4 o" q7 b3 L/ j3 ?  [/ X    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
, c5 Q' t6 ]" m) A& v   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
: L% [  c' y& |. U8 w* }   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
7 @& p' T' X. n2 i% F) V必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
4 X8 R4 h: Y+ |+ r7 U                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
% W6 Z( _; x" V: I2 M% w- e

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~