请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
( Z/ S& u% b- r& e8 H# `/ X( [4 ]现在转载如下：
+ s- M6 v+ Y: g# P1 A定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
8 A8 I3 Z) j- g4 B3 T) C* c7 A( Y为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
$ s( r( l1 c. @8 i                                                k
$ C6 G0 H2 u+ Y0 |2 K    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
# F0 F, z. E9 f- M, ?/ l    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
; ~! [2 C) Z- F6 q) L于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
* T$ `1 \$ k' w9 ?; [    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
3 z* |! Q+ |# a3 e. Z# Z) I      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
  g% i0 ?9 k% r  Y* h* g6 ~7 J. ]头“考虑K=7”有问题了。
) X, @0 W' U. b$ T- T/ Y    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
" t( B7 e& p6 ^& G( M
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
* X6 o: U% d5 U2 f     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
6 t' v: n9 L) N7 i9 v1 o+ G    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
+ ?! k; n$ K0 N1 d# {' r, r因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
0 K- `# w" B& c    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
- t5 q, f7 \/ ]    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
0 u* \% J3 Q5 o) t6 h1 E   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
3 ~* A3 X1 a2 `) o  M# b   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
4 ^0 U( t0 z0 r6 C5 g) P1 j6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
9 _8 a" \/ l: W: p必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
5 y' }. J9 \0 Z) d! v$ p: ~, [( s     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
2 J3 |7 e/ H! I1 d; ]9 V避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
6 [; ~8 j" t' `& B1 n, `) s                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~