请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
* q* p) A: X3 ^0 ^现在转载如下：
6 T6 c2 d: E6 ?, |- R& Q! U- e定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
6 F2 M' q0 Q. V9 L为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
* y3 O0 t) f1 m1 Y9 s+ z, O: O2 Y+ c                                                k
/ G8 J$ e0 L! b5 w: h, A0 b    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
; h4 t4 u8 U. g) e    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
$ H+ e9 m; v6 E7 e    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
5 j3 a+ b' |9 b[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
! n7 M. N8 s  J) {    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
" F8 Q8 ?. U. L% a头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
, c# ~! M  ]- B, a      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
) E' ~7 E5 C( I% D1 q0 y( m    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
5 C- |2 c/ m6 C# Z5 \" W6 w才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
( H+ c$ a/ `3 e& p, i     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
6 Z' i6 P, Z2 R5 A5 X$ W) q    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
4 n3 ?2 _9 k- q# @1 p因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
  a, w' y2 f1 e的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
2 b; \. n( J9 z   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
4 `5 D  t( I' _6 `   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
/ Q3 A4 o: v: W) A2 H/ A$ m6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
* O  t9 v4 ]- u. }0 z& w0 y( Y必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
& l& {$ o( s/ R5 `6 P4 A沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

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