请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
" Y) b" k( W. h( e% @定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
3 ?- \9 t3 ?/ t7 p: {. q    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
% J; _0 G5 S6 T& N& m0 z  p                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
3 _; B( Q, h7 W! S: h' C, C[证毕]

( M6 U$ Z8 F* P  g2 J    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
7 V! i/ t+ @' P# P# a" _    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
( x  s9 G0 F+ v; V) \% O      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
  N6 \$ _# j3 V    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
+ s- y. V3 s% X) b* `7 n才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
/ V. p# g0 n/ S' v  i; w- l! U     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
# q; s+ U; A# h$ o或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
( N9 V+ R3 z; Z7 @6 H因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
8 q: Z. N8 U1 Y    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
- z" S& m1 v; Q+ S; Q& X    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
/ i+ X) |2 ^, G6 G7 x* S, p, @            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
/ s: c  d6 T5 r  d   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
" Q+ n1 }% P. I8 j   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
5 ^% n0 z3 v8 J9 w7 M( O" n, \0 X6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
$ o  L& v! S3 k+ R! b6 ?6 |: O# w     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
7 ^% I+ B5 z9 L: \; y  o+ U沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
! m. e1 J1 [6 m- g5 a避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
% I4 ], c/ S# f( p+ a* z                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
+ ]7 E- Q" o9 N" ~" i

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~