请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
. n5 x1 k( ?! D, C0 D" Z5 J现在转载如下：
* B: i/ P9 M5 J& N; k5 \( c. w定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
" w) O9 [# l5 V4 |+ @    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
" V! j' e; ^  w! l! V    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
4 l- |7 [; t( F6 Q总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
$ x3 g* g2 K9 i% l; a  ~# @0 e5 R0 T# x不可避免集。
[证毕]

( d5 n7 X( b0 C! ]    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
% s+ u& l7 g  T2 q$ ?$ C8 @头“考虑K=7”有问题了。
/ m$ i0 Y. x2 q- y- u$ S( R    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
" s1 l/ a5 R( \7 |/ W      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
$ V7 c, ~- _% i    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
( M$ p8 l# A' k* r1 c- R
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
8 B8 q0 [& A& ~     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
1 J+ L7 k% |3 p6 o因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
6 g4 A, I, s! t  B; h4 b$ u    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
& {' Z8 }& ?6 E. R, l2 ?. b+ \的总电荷为
, Z/ [4 V& o5 g- _, b            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
  n9 L8 f6 o9 y   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
8 n% x: K  i$ h7 m   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
; g2 ~: u/ D7 S6 f2 m$ c, q( D   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
) m  E# i' y* Y1 O/ t/ _6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
5 W2 `( M* h' `- {0 v必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
* j1 J. u- ?3 o     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
* P% N9 L. K- c  `沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
) _% k) P& w/ U! A  R' \避免构形的简化》中有所修改）。
8 p( L: g. v) T( Q    我的认识对不对，请王教授指导.
% m$ }/ L+ C2 K0 I) k                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~