请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
. {$ z7 B! f! L现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
5 B( W- v" }0 Z% o% Z0 T    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
1 P  Z. C) _7 V4 o2 D0 Q: A为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
/ ]* w* }0 o, r# v5 L                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
1 Q# n/ w$ L5 N  d# |1 E6 B的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
/ A1 q- m8 R  Z5 {1 W) N    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
  x9 u( O7 x/ k9 r  H                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
$ ]  F6 n& o7 c5 P* h4 g" J于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
# ]+ g- k2 F, `, W6 q# _不可避免集。
# ]* l9 ~1 M* R; M* k; D[证毕]

" v) ]2 `' ^" `$ v0 t2 P# A9 @9 f    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
* r/ v" X! m( U5 G. q9 B    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
# _1 T$ V; V# E/ y8 L, \$ c    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
9 d, I  K- H1 o. a3 w      如果确定是k/6,那么（1）式为
! m4 U' ~; S+ B' U, g& I   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
# P1 y, a) y! h或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
- V3 H8 f8 b( f) G- h    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
- h1 i4 l) S8 o( W; K' n   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
3 W/ W+ P6 Q5 o% K0 y$ L   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
& h/ O( e& ?" p  M( B6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
1 S& `8 [0 y& F- p) ^) l1 F$ Y! V沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
) S+ L7 p$ w4 x5 H    我的认识对不对，请王教授指导.
8 l' C3 e+ v7 m# Z* M                                                                     2014.04。09
- P% D' f& j  ?% I   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
# n2 g& {( d+ }

7 m' q/ T. d/ M

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~