请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
- ^1 f# n: e; ?    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
" v( U- O4 |2 X4 T& R% X% j为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
8 M& E7 _/ A" h6 R                                                k
* {$ k, Q& M8 o, y3 g) w" L    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
4 U1 G: @; ^/ a* j# F    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
5 b! G+ I5 u' k. Z, K( e的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
! Q9 G/ X) N( h5 p4 X5 H; [) e' v' R                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
7 p. \* I" h  ~5 l: \) x. H9 L& u+ e6 Y, f于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
) W- W1 D7 l  N9 E' e不可避免集。
0 p; z1 U! L  E: M6 E[证毕]
8 k1 C7 d4 ]/ |' ^" ~9 {6 o! w; B# a
, F, C1 E: W) Z, t7 ]# `    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
$ ?7 _4 e! u6 s2 K      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
8 [! e& `' S4 p5 z$ c! G    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
  L5 k; K+ h" e  k; ?- G/ z. D    把k=7带入(36-5K)/6时，得
5 a- p* H; O6 {* Z    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
2 V) u* ]4 S: V1 O3 y" Y& s3 A; b才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
9 h9 \$ B- A6 Z7 V     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
: P+ C8 @! L+ d5 @4 }! I   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
5 b5 `" P$ R9 o; O( F5 f$ J4 T必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
$ Y/ b2 w8 |- Q8 E5 b+ ~9 o$ B沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
3 I5 N& q# e' ]+ x! E, u7 i    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
0 q8 z8 i6 Y- D) {0 K   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

8 O0 h3 l3 L# b
% L$ |  v. h: M

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~