5 I* N' e8 I# c1 K9 H 7 D! ]% P- Z& G. q i3 x1-5 集合论悖论 ! s3 ~6 p; T! O1 `- `“R是所有不包含自身的集合的集合。”9 h% d% f/ y! @& Y
$ x+ R4 R" K) \人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。0 s. q& U- Q8 h& p0 i2 z4 m r' a
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继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 3 K; u+ V8 y, n1 A r+ p0 N6 @- L& N7 _4 L
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1-6 书目悖论) I1 s/ [4 g) t+ g! Y& p
一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?# Z( b/ ]( I, A7 C) ` n* F
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这个悖论与理发师悖论基本一致。 3 V% [) r2 K4 P/ X ! r2 _4 d$ y, }; q) f* {1 }9 x% T1 F+ m) R9 j! k) Z
% n$ B' M. K% \+ S- d. s% ]& Z4 v O" W " x0 Z7 I! N: S1-7 苏格拉底悖论 O- h( Y" G+ C9 l( G有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。 4 Z" a# l+ p; L" K& \0 R; K$ z 5 J( {. e t+ O$ X; J苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”, M$ p! i% d! X3 C, K" h
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这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:. v8 j2 {1 r* O+ u: J
% B$ N' I1 y, k k# R( K- U4 ]1—10柏拉图-苏格拉底悖论 U9 P7 H g( h8 M柏拉图(Platon,Πλτων, 约前427年-前347年),古希腊伟大的哲学家,也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一,他和老师苏格拉底,学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。0 Y$ q* b* h9 n
% G( B$ O2 Q P4 L" N$ I柏拉图说:“苏格拉底的下句话是错误的”。4 z0 `3 m$ r! k/ b i
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苏格拉底说:“柏拉图说得对。” , m$ B6 {7 j; n7 s * q2 Z0 k8 U2 V! i( ?/ c- Y8 y) x- r6 S不论你假定哪个句子是真的,另一个句子都会与之矛盾。两个句子都不是自我诠释,但作为一个整体,同样构成了说谎者悖论。 * F0 E# c0 O9 _* F. O3 b Q" l9 l . ?' O1 F+ ]' W+ p8 E! } + }7 r1 ~( L$ ?% T! Z( t+ f Z: R! n4 n. s. i; b% W
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1-11 “荒谬的真实”6 d4 U3 u; p" ?* s
有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。 ' I% I9 r! H$ B( s& @ 0 v8 w( ^/ ]4 J; _+ I/ u6 Y这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。 ' s9 }4 _( V. {" x& } : b4 b; i6 H* i- C0 ]( u- D/ Z4 Z6 f; m* j
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