博弈论之凶残海盗的逻辑

QYY1994

     这是选自《科学美国人》中的一道智力题。据说，在美国，在20分钟内能解决这个问题的人，平均年薪在100万美金以上。
! f* p3 M' z% D6 f( y     10个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都是一样的大小和珍贵。他们决定这么分：
9 z7 d4 S: a) v1 i: F8 I1.抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）。
% _  J! x" v% j& K% o" c) ?2.首先，由1号提出分配方案，然后大家10人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4 I8 U' E" o( S8 z, |% S3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家9人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4.以此类推……
     条件：
9 c& n6 k$ @% a" X1.每个海盗都是高度理性的人，都能很理智地把握全局，判断得失，从而做出选择。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
2.每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的宝石。
4 Q$ c. X3 U8 i+ A. N( ]; c$ B- m3.每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鲨鱼，这是最重要的。同时，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
+ X5 v6 Z7 T$ H0 W, b4.一颗宝石是不能被分割的，不可以你半颗我半颗。
5.每个海盗的序号都不同，而且所有海盗都知道别人的序号，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。
     问题：
$ w' S$ ~% U: \, C7 D3 ]" _第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？
（欢迎大家踊跃发言，为了一百万美金的年薪。。。。。。）

! v3 {4 w+ i! I! q+ e

数学中国—罂粟

A. 每一个海盗都想由自己来主导分配，因此下一号海盗总是会无条件反对上一个的提案，比如2会反对1、3会反对2等等；
2 ~# v, k2 X( w" b  _. _! P
7 N- K7 |/ @1 w' S% Q% k9 H/ P# M9 XB.每一个海盗都会根据推测他人的策略来决定自己的策略；

然后倒推分析：
0 H7 ^2 q& B) N8 S  R8 w# A. {
" K2 r8 N0 F+ H& V* X( K: s1、当剩下9号、10号时，9号会按100/0来分配，因此10号的收益期望值是0。所以，对于10号而言，只要是有人分给他大于0，他肯定会同意；
; X% R" L- h) f* T7 Z
2、对于8号而言，会想到9号肯定会反对自己的任何方案，因此8号会按99/0/1的方案来分配，争取10号的支持而淘汰9号；所以，对于9号而言，收益期望值也是0。
* T/ y% a0 F. }
* {5 p* S5 J2 @2 ~3、对于7号而言，8号肯定会反对自己，那么7号只要再争取9、10号中的1人同意即可，那么他可以选择给其中1人1块金子即可过关，分配方案是 99/0/0(1)/0(1)。此时，8号的收益期望值也是0。
! v  e4 V" }9 |
4、同理，对于7、6、5、4、3、2的任何一位，他们的思考方式和上述的7号、8号是一样的，这样的话，2-7号的收益期望值也是0。

5、综上，2-10号的每一位收益期望值都是0，只要有人给他们分配的大于0他们就会同意。所以对于1号而言，为了争取50%的支持率的话，除掉2号不用考虑，剩下的8个人中只要随意分给4个人各1块金子即可过关。

分配方案就是：1号96块，2号0块，3-10号其中的任意4个人各一块。
/ v5 C  {9 D: s2 o5 q- Q, c

詹高杰

楼上的大神好厉害，点赞一个~！