一般线性模型（GLM）的相关思考

雨不眠的下

最近遇到一个问题，如果因变量为一个连续变量（如胰岛素水平），主要考察的变量为分组变量（如正常血糖组，前糖尿病组，糖尿病组三组），现在的目的是想看调整多种变量（包括多个连续性变量和分类变量）后，胰岛素水平是否一致。

5 @' q, Y/ l* @1 A9 N- G
7 l! k6 B$ }7 S  m. Z" `; S6 q一开始的思路想到的是采用GLM进行协方差分析来解决。

但是有觉得似乎不是很对，因为经典的协方差分析通常只考虑一个连续变量（协变量）和一个分组变量，同时协变量和分组变量只有不存在交互的时候（经典协方差分析的前提）才能使用协方差分析。
针对我目前的问题，如果想调整多个连续性变量和分类变量，这种方法能否再叫协方差分析？如果可以认为是协方差的思想，用不用检验协方差分析的前提（如协变量与分组变量之间的交互）？多个连续性变量和分类变量存在时，该前提应该怎么检验？

; E8 H% O& b! `7 i6 [通过跟别人交流之后，有一句话非常受用：线性模型其实最重要的不在于用的方差分析还是协方差分析，而主要是检验残差是否符合线性的几个条件。

3 r% c7 M) z* [# T* ~受到该启发后，认真再复习GLM的相关资料，得到更加重要的总结如下（来自高惠璇SAS/STAT软件使用手册，实际是SAS8.2的User's guide的中文版，但是目前SAS 9.2，9.3的User's guide关于GLM模型的介绍中已经删去了这么经典的总结，实在可惜，倒让人看不到GLM的真正长处了）：
如果X1-X3，Y1-Y2为连续性变量，Y3为分类变量，a-c为分类变量，time为时间变量，目前我们熟悉的模型可以简单概括如下：
; X; k1 i0 ]# f( A& }(1) y1= x1    简单回归
$ B4 A- [( }. Y2 N% z; g(2) y1= x1 x2 x3  多重回归（multiple regression）
(3) y1 y2=x1 x2   多元回归（multivariate regression）
(4) y1= a   单因素方差分析
(5) y1= a b   （析因设计的）主效应分析
. ]/ D" u) g6 l" J* ~& X(6) y1= a b  a*b （析因设计的）主效应加交互项分析
(7) y1= a x1   协方差分析
(8) y3= a   单因素logistic回归
(9) y3= a b c x1 x2 x3   多因素logistic回归
(10) y3(time) =a   单因素cox回归
(11) y3(time) = a b c x1 x2 x3  多因素cox回归
" w9 \2 Z  U+ G) b7 W2 R" h+ N0 @2 F& G: E
1-7采用SAS的一般线性模型GLM都能实现，而1-9采用SAS的广义线性模型GENMOD都能实现，具体验证详见后面举例

再次回到开始的问题：掌握上述的基本思路后，因为因变量为连续变量，所以采用线性模型肯定是对的。如果因变量可以认为是正态的，那采用一般线性模型是合理的。所以现在的关键问题是：如果调整多个变量（包含分类和连续变量）后看不同分组间因变量（连续变量）是否仍有差异时，能否再称为协方差分析？我目前认为应该是可以的，但是事实上我们遇到这种情况后，并不再去强调它是协方差的思想，而只是回到线性模型分析的最初的起点，也即是检查残差是否符合线性的基本条件即可。

但是现实中，我们在使用GLM解决前面遇到的类似问题时，只是简单地用了，而很多时候我们都没有认真去检验残差是否符合这个条件，这可能是我们滥用GLM的表现之一，因为我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件。
1 v+ b; ^, ?! D; |& u- c. Q
再次思考一个问题，上述列举的1-7模型，在GLM中并没有特定的选项指定是哪一种模型，而采用一种表达方式。由此，可以进一步深入概括一句话，GLM模型，对于上述列举的1-7模型并没有本质区别，唯一的区别只是模型中自变量的属性和数量不同。但是我们对1-7模型的叫法却不相同。而其原因是我们对事物的认识是一个由浅到深的过程，之前我们认为他们是不同的7件事情，随着认识的加深，发现原来这些问题可以用一个方式表达出来。而SAS的GENMOD则更能说明这一问题。现在还没有一个模型能把上述模型1-11用一种表达方式表示，但是COX回归在抛开基线生存函数之后剩下的部分也是线性模型，所以说不定哪天真的能够把上述所有模型用一种表达方式表示出来。到时候更应该相信人们对事物的认识绝对是一个由浅到深的过程啦。
0 t; x+ ^! ~/ A& ?8 i* ^9 \8 ~4 b
附：GLM与GENMOD在协方差分析结果的比较
   data drugtest;
7 y4 E" O/ m% [9 j; _      input Drug $ PreTreatment PostTreatment @@;
, n7 g# {' a* a6 N) T      datalines;
   A 11  6   A  8  0   A  5  2   A 14  8   A 19 11
   A  6  4   A 10 13   A  6  1   A 11  8   A  3  0
2 v, ]# W+ q( K' {/ N4 y" H   D  6  0   D  6  2   D  7  3   D  8  1   D 18 18
   D  8  4   D 19 14   D  8  9   D  5  1   D 15  9
  Q) o% l3 i2 Z: h  G" r   F 16 13   F 13 10   F 11 18   F  9  5   F 21 23
* N! z% x: D+ d2 u  u   F 16 12   F 12  5   F 12 16   F  7  1   F 12 20
& B7 O; _7 i7 l' `/ M& v2 T" X   ;

   proc glm;
0 ]# M5 k! v3 ]* ^  D# c  w( v      class Drug;
! ?# E4 r) s$ e0 G" k! z" k) o: t0 N/ a      model PostTreatment = Drug PreTreatment / solution;
- ?* r/ \& L" E* I3 N' g/ {      lsmeans Drug / stderr pdiff cov out=adjmeans;
4 Y6 C/ ]0 a! @/ W9 f! n   run;
. D" K7 z/ b* p5 U5 N' }
   proc genmod data=drugtest;
      class Drug;
      model PostTreatment = Drug PreTreatment / dist=NOR link=ID obstats type1;
   run;

   proc print data=adjmeans;
: S# Y; o* Y5 o" a   run;
+ y, c' K7 O- I" @0 L

无法定义

* o7 e2 a8 l( e7 x' p学习了，总结的真好，特别是那句关于前提的提醒
; E0 B! n; F1 A( A- z( O

拒绝一切

  `* |" J0 p) \# Q学习了，，“我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件
”这句话是该提醒了很多人啊，个人感觉不要只知道应用，还要知道原理，所以说理论性的东西还是不可缺的，，谢谢楼主了哈，，

今生已醉

/ p9 t* `' X+ I% Q$ y' @! {深入浅出，简练的表达，传达了复杂的内容。
; H  q+ `2 `- n+ i) M貌似目前好多著者、师者都缺少这种思考与总结，有的书、课件就是靠东拼西凑来的。