一般线性模型（GLM）的相关思考

雨不眠的下

最近遇到一个问题，如果因变量为一个连续变量（如胰岛素水平），主要考察的变量为分组变量（如正常血糖组，前糖尿病组，糖尿病组三组），现在的目的是想看调整多种变量（包括多个连续性变量和分类变量）后，胰岛素水平是否一致。
# ]$ \. \- Y' K4 C# n, L
; e: u/ e( M2 e! X& B! z  E
0 b- m8 X' k: H: ]" \* b7 V一开始的思路想到的是采用GLM进行协方差分析来解决。

但是有觉得似乎不是很对，因为经典的协方差分析通常只考虑一个连续变量（协变量）和一个分组变量，同时协变量和分组变量只有不存在交互的时候（经典协方差分析的前提）才能使用协方差分析。
! M& P3 |3 m+ L# m* v$ {针对我目前的问题，如果想调整多个连续性变量和分类变量，这种方法能否再叫协方差分析？如果可以认为是协方差的思想，用不用检验协方差分析的前提（如协变量与分组变量之间的交互）？多个连续性变量和分类变量存在时，该前提应该怎么检验？

通过跟别人交流之后，有一句话非常受用：线性模型其实最重要的不在于用的方差分析还是协方差分析，而主要是检验残差是否符合线性的几个条件。

: ~5 w' W3 k+ {0 [& `受到该启发后，认真再复习GLM的相关资料，得到更加重要的总结如下（来自高惠璇SAS/STAT软件使用手册，实际是SAS8.2的User's guide的中文版，但是目前SAS 9.2，9.3的User's guide关于GLM模型的介绍中已经删去了这么经典的总结，实在可惜，倒让人看不到GLM的真正长处了）：
6 d8 ?& s5 W1 {9 p4 f如果X1-X3，Y1-Y2为连续性变量，Y3为分类变量，a-c为分类变量，time为时间变量，目前我们熟悉的模型可以简单概括如下：
- C2 v/ _* ~9 Q(1) y1= x1    简单回归
(2) y1= x1 x2 x3  多重回归（multiple regression）
- Y: f! i9 l6 h0 ?(3) y1 y2=x1 x2   多元回归（multivariate regression）
/ S  D+ W- [3 |: Y+ p) g(4) y1= a   单因素方差分析
(5) y1= a b   （析因设计的）主效应分析
(6) y1= a b  a*b （析因设计的）主效应加交互项分析
. d1 ?, F! ^% H: Z: N4 M(7) y1= a x1   协方差分析
% K% ^2 E6 L, [(8) y3= a   单因素logistic回归
% N  R% r! n  i+ e! T; Y(9) y3= a b c x1 x2 x3   多因素logistic回归
) o' U9 T/ @8 j& {% ^6 T* X(10) y3(time) =a   单因素cox回归
6 v, x  d# z& b9 E  c1 L(11) y3(time) = a b c x1 x2 x3  多因素cox回归

1-7采用SAS的一般线性模型GLM都能实现，而1-9采用SAS的广义线性模型GENMOD都能实现，具体验证详见后面举例
# x0 g8 r! z8 b2 @4 C
' U" N# t1 h, F再次回到开始的问题：掌握上述的基本思路后，因为因变量为连续变量，所以采用线性模型肯定是对的。如果因变量可以认为是正态的，那采用一般线性模型是合理的。所以现在的关键问题是：如果调整多个变量（包含分类和连续变量）后看不同分组间因变量（连续变量）是否仍有差异时，能否再称为协方差分析？我目前认为应该是可以的，但是事实上我们遇到这种情况后，并不再去强调它是协方差的思想，而只是回到线性模型分析的最初的起点，也即是检查残差是否符合线性的基本条件即可。
# M2 e2 B* J9 q
但是现实中，我们在使用GLM解决前面遇到的类似问题时，只是简单地用了，而很多时候我们都没有认真去检验残差是否符合这个条件，这可能是我们滥用GLM的表现之一，因为我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件。

" a( k/ Y0 E/ t# m  s; `再次思考一个问题，上述列举的1-7模型，在GLM中并没有特定的选项指定是哪一种模型，而采用一种表达方式。由此，可以进一步深入概括一句话，GLM模型，对于上述列举的1-7模型并没有本质区别，唯一的区别只是模型中自变量的属性和数量不同。但是我们对1-7模型的叫法却不相同。而其原因是我们对事物的认识是一个由浅到深的过程，之前我们认为他们是不同的7件事情，随着认识的加深，发现原来这些问题可以用一个方式表达出来。而SAS的GENMOD则更能说明这一问题。现在还没有一个模型能把上述模型1-11用一种表达方式表示，但是COX回归在抛开基线生存函数之后剩下的部分也是线性模型，所以说不定哪天真的能够把上述所有模型用一种表达方式表示出来。到时候更应该相信人们对事物的认识绝对是一个由浅到深的过程啦。

附：GLM与GENMOD在协方差分析结果的比较
   data drugtest;
: z7 C, r( [& h$ t/ D& U+ O9 m      input Drug $ PreTreatment PostTreatment @@;
' ~$ p. _# I1 y" r2 r      datalines;
   A 11  6   A  8  0   A  5  2   A 14  8   A 19 11
* ~; ]) M2 s8 x4 Y4 S   A  6  4   A 10 13   A  6  1   A 11  8   A  3  0
   D  6  0   D  6  2   D  7  3   D  8  1   D 18 18
   D  8  4   D 19 14   D  8  9   D  5  1   D 15  9
   F 16 13   F 13 10   F 11 18   F  9  5   F 21 23
# W5 f. ]$ @8 I  L5 b   F 16 12   F 12  5   F 12 16   F  7  1   F 12 20
   ;

* j4 A8 G% M0 D. J   proc glm;
8 W. N* W! [3 k- b) B" w# a      class Drug;
      model PostTreatment = Drug PreTreatment / solution;
. p9 v. V( Q; \: _/ d5 p; L5 J      lsmeans Drug / stderr pdiff cov out=adjmeans;
   run;

   proc genmod data=drugtest;
# Z( |' n& _+ h& H& w0 k      class Drug;
      model PostTreatment = Drug PreTreatment / dist=NOR link=ID obstats type1;
1 r" H# {% A  h# K" u) `& E, h   run;

! n' E. [9 Z, L& j/ `   proc print data=adjmeans;
   run;

无法定义

; |1 s- w( N3 \1 E, W学习了，总结的真好，特别是那句关于前提的提醒

拒绝一切

学习了，，“我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件
”这句话是该提醒了很多人啊，个人感觉不要只知道应用，还要知道原理，所以说理论性的东西还是不可缺的，，谢谢楼主了哈，，

今生已醉

深入浅出，简练的表达，传达了复杂的内容。
+ z0 a( A# E! W$ F6 B8 T( `貌似目前好多著者、师者都缺少这种思考与总结，有的书、课件就是靠东拼西凑来的。
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