一般线性模型（GLM）的相关思考

雨不眠的下

最近遇到一个问题，如果因变量为一个连续变量（如胰岛素水平），主要考察的变量为分组变量（如正常血糖组，前糖尿病组，糖尿病组三组），现在的目的是想看调整多种变量（包括多个连续性变量和分类变量）后，胰岛素水平是否一致。


一开始的思路想到的是采用GLM进行协方差分析来解决。

& u. n/ O' |, Y4 Z/ s但是有觉得似乎不是很对，因为经典的协方差分析通常只考虑一个连续变量（协变量）和一个分组变量，同时协变量和分组变量只有不存在交互的时候（经典协方差分析的前提）才能使用协方差分析。
4 D3 Z$ m8 r4 [/ {针对我目前的问题，如果想调整多个连续性变量和分类变量，这种方法能否再叫协方差分析？如果可以认为是协方差的思想，用不用检验协方差分析的前提（如协变量与分组变量之间的交互）？多个连续性变量和分类变量存在时，该前提应该怎么检验？

  l7 y4 y$ v) y; U( \7 W( l通过跟别人交流之后，有一句话非常受用：线性模型其实最重要的不在于用的方差分析还是协方差分析，而主要是检验残差是否符合线性的几个条件。
. v: ?( S+ f3 D. y: ?
9 |6 G, S* W! J4 U受到该启发后，认真再复习GLM的相关资料，得到更加重要的总结如下（来自高惠璇SAS/STAT软件使用手册，实际是SAS8.2的User's guide的中文版，但是目前SAS 9.2，9.3的User's guide关于GLM模型的介绍中已经删去了这么经典的总结，实在可惜，倒让人看不到GLM的真正长处了）：
如果X1-X3，Y1-Y2为连续性变量，Y3为分类变量，a-c为分类变量，time为时间变量，目前我们熟悉的模型可以简单概括如下：
(1) y1= x1    简单回归
6 F  B( K" G1 k(2) y1= x1 x2 x3  多重回归（multiple regression）
9 x. g& `) }3 u0 n  b" p* z$ I(3) y1 y2=x1 x2   多元回归（multivariate regression）
* P: @: J2 W1 g9 H  d(4) y1= a   单因素方差分析
; l4 u/ p1 s4 Z) K9 j  V/ ?(5) y1= a b   （析因设计的）主效应分析
% S4 p' |+ t+ N! ~# ?5 q& Q(6) y1= a b  a*b （析因设计的）主效应加交互项分析
/ a% C- b( F4 @) [* M(7) y1= a x1   协方差分析
' Q7 r  q1 H3 B' S6 R5 ^(8) y3= a   单因素logistic回归
(9) y3= a b c x1 x2 x3   多因素logistic回归
7 a1 }( p) q: C' D& T(10) y3(time) =a   单因素cox回归
/ n+ m+ P$ u. ~; W1 n2 C, g(11) y3(time) = a b c x1 x2 x3  多因素cox回归
/ U4 D5 n$ i7 X6 a+ X' y
1-7采用SAS的一般线性模型GLM都能实现，而1-9采用SAS的广义线性模型GENMOD都能实现，具体验证详见后面举例

再次回到开始的问题：掌握上述的基本思路后，因为因变量为连续变量，所以采用线性模型肯定是对的。如果因变量可以认为是正态的，那采用一般线性模型是合理的。所以现在的关键问题是：如果调整多个变量（包含分类和连续变量）后看不同分组间因变量（连续变量）是否仍有差异时，能否再称为协方差分析？我目前认为应该是可以的，但是事实上我们遇到这种情况后，并不再去强调它是协方差的思想，而只是回到线性模型分析的最初的起点，也即是检查残差是否符合线性的基本条件即可。
5 T. I0 P; J9 U1 v# d* u. W0 A
- f9 k9 h* ]9 {( L# Q/ ]但是现实中，我们在使用GLM解决前面遇到的类似问题时，只是简单地用了，而很多时候我们都没有认真去检验残差是否符合这个条件，这可能是我们滥用GLM的表现之一，因为我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件。

再次思考一个问题，上述列举的1-7模型，在GLM中并没有特定的选项指定是哪一种模型，而采用一种表达方式。由此，可以进一步深入概括一句话，GLM模型，对于上述列举的1-7模型并没有本质区别，唯一的区别只是模型中自变量的属性和数量不同。但是我们对1-7模型的叫法却不相同。而其原因是我们对事物的认识是一个由浅到深的过程，之前我们认为他们是不同的7件事情，随着认识的加深，发现原来这些问题可以用一个方式表达出来。而SAS的GENMOD则更能说明这一问题。现在还没有一个模型能把上述模型1-11用一种表达方式表示，但是COX回归在抛开基线生存函数之后剩下的部分也是线性模型，所以说不定哪天真的能够把上述所有模型用一种表达方式表示出来。到时候更应该相信人们对事物的认识绝对是一个由浅到深的过程啦。
6 a, O: ^. L1 G6 F& m3 x$ J# k
5 N9 c3 R% K% @! y, o$ d附：GLM与GENMOD在协方差分析结果的比较
   data drugtest;
      input Drug $ PreTreatment PostTreatment @@;
, P( Y* p5 c. J2 h      datalines;
   A 11  6   A  8  0   A  5  2   A 14  8   A 19 11
: f5 |2 K0 v. l6 v0 S" G   A  6  4   A 10 13   A  6  1   A 11  8   A  3  0
5 ]- g5 u3 Z+ w! r/ v  m   D  6  0   D  6  2   D  7  3   D  8  1   D 18 18
, ?+ t0 K$ B: _, ^/ T7 ~7 D; ?+ E   D  8  4   D 19 14   D  8  9   D  5  1   D 15  9
2 s' D' t4 _  z5 E. a2 Z$ C9 O5 L   F 16 13   F 13 10   F 11 18   F  9  5   F 21 23
. \& S, m( \; U   F 16 12   F 12  5   F 12 16   F  7  1   F 12 20
8 W" [( v" A* j6 b$ M) o( m   ;
0 Z; W* r& n2 {, [4 [( K& p5 J8 F* |
   proc glm;
/ e7 z/ M9 A4 s      class Drug;
' T- m+ S, k& d. @; d      model PostTreatment = Drug PreTreatment / solution;
      lsmeans Drug / stderr pdiff cov out=adjmeans;
   run;
( g, X1 s$ l2 K! v/ n1 Y. s: L% n
3 s1 N4 C' t; h: m9 p/ H, D- a9 [/ }   proc genmod data=drugtest;
( E" r* D# r; P% J. j      class Drug;
      model PostTreatment = Drug PreTreatment / dist=NOR link=ID obstats type1;
   run;

; N( G0 g6 _! R$ d/ o   proc print data=adjmeans;
3 P( R+ L4 P& h% \   run;



: W" T: z2 Q9 ?  Q, S  g* W

无法定义

, \# a+ A9 D! r; l学习了，总结的真好，特别是那句关于前提的提醒

拒绝一切

学习了，，“我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件
”这句话是该提醒了很多人啊，个人感觉不要只知道应用，还要知道原理，所以说理论性的东西还是不可缺的，，谢谢楼主了哈，，

今生已醉

深入浅出，简练的表达，传达了复杂的内容。
6 h7 [/ f  l% h# Q' K貌似目前好多著者、师者都缺少这种思考与总结，有的书、课件就是靠东拼西凑来的。
& _2 \- u; u  Y6 R8 P( o8 u