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利用微元法建立常微分方程模型

这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式,直接对函数运用有关定律建立模型。一般的,如果某一实际问题中所求的变量file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif符合下列条件是与一个自变量的变化区file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif有关的量；file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif对于区间力file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif具有可加性；部分量file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif。那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型,其步骤是：根据问题的具体情况选取一个自变量file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif,并确定其变化区间为file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif：在区间file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif中任意选取一个任意小的区间记作file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif，求出相应于这个区间的部分量file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif的近似值。将file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif近似的表示为一个连续函数在file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif处的值file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif与file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image022.gif的乘积，既file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif，记file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif,file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif称为量file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif的微元。file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif等式俩边同时积分就可以求出要求的量file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif了。这种方法经常被应用于各种领域。例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积代数方面求近似值以及流体混合问题物理上求变力做功、压力、静力矩与重心。

模拟近似

对于规律或现象不很清楚,比较复杂的实际问题,常用模拟近似法来建立常微分方程模型。这类模型一般要做一些合理假设,将要研究的问题突出出来。这个过程往往是近似的,因此用此法建立常微分方程模型后,要分析其解的有关性质,在此基础上同实际情况对比,看所建立的模型是否符合实际必要时要对假设或模型进行修改。

应用常微分方程建模的注意事项

1、当实际问题中出现“变化”、“增加”、“改变”、“逃跑”、“减少”等问题时,这可能与导数有关,这时可以考虑根据问题特征用相应的方法列出常微分方程模型。

2、实际问题中往往还给出某一特定时刻或特定位置等信息,根据此信息可拟出定解条件,以便确定解中所含待定系数。

3、在用常微分方程理论求出方程解以后,还应对解作分析,检验结果是否与实际结果相符。由于在建立常微分方程模型的过程中是从简易的角度考虑的,往往略去了一些问题有关的次要因素,因此所得模型是近似的,如果所得的结果与事实不符应修改数学模型,直至满足要求为止。

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