关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
* r! X" S' o; K8 z& Q7 g9 l% {5 X钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）

( G0 [8 ]6 @# n7 o, [
! q2 u7 X7 d+ E% B内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
: @8 q  n$ ?; O( G7 Q关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
+ Z4 {* x8 o4 M; ]: e4 d: o9 t
8 O! q  J6 f/ g  m一、“142857”的神奇性质
7 H7 X4 ?- @4 o; W, F) f现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
/ i4 J7 P/ v4 I. \; E表1. 神奇数字142857的性质列表
4 c$ l. y. S" p) e5 `142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
/ }# {- e5 S8 X: W) r* Q9 W142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
  t' B$ i1 z1 w8 z" v+ c142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
; Q. S/ P' w; {: {3 K. b$ w1 ]142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
+ _* X7 @7 E( t2 \        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
" o+ _; @/ P1 `6 @173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
0 y9 d1 y$ K* s9 Y=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
+ N* i, M5 t6 {/ ^) D% {142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
3 g) O' a" U, E. O# z7 ]1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
' T/ u# A) s' @# [3 Q2 H* Q( ~27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
( R, i) X" ?' s这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
' b! e  ^# A  L" [* `二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
- {( v; ~. x  gn=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
0 E4 Z+ H. w0 Y) E' xb        6        2        1        4        5        3
7 C0 a4 U+ W4 j由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
  c& `+ x* ^: B# r5 O& j式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
; d/ ?  H; b, f% B8 H7 G5 C5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
0 c1 P5 H4 }' g5 t$ n5 l- O在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
/ c+ D% @, p/ e6 A/ R+ o& C5 M由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
( f1 }/ b- }3 t! `6 i待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
5 |! ^7 W4 t4 {/ l1 bA=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
: f2 o3 K# S* T) e- D, e* [* C: c 比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
/ R2 s# w: U" f% K7 a/ r13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
* ?4 E% G) E0 E" _* G（二）142857的n次幂的计算
  Q) n5 P. s' U: A! o! A: ?结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
1 d2 Y# }7 g2 ~. \3 B2 }由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
, J/ L1 U. ?9 W* s0 k" W1 z/ X) M) x由此
% x5 Z! S/ l5 [. ~9 Q: g* _. s(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
/ e: X6 q: B/ t4 C+ lAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
2 }: b5 r1 T) H1 } 142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
; U" B, X8 p8 t  d' E- X) N运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
9 E( v0 E& p2 }! jA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
* ]1 q- X  V0 S8 }4 I2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
* W# Y) y2 I& G' f9 M+ m- H" V A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
- K* M+ l' P4 o1 r" tA2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
/ x& M& W* n) B$ B( E8 Y2 Z  wA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
! c% R( e" v6 S1 i- l) C4 Z4 KA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
4 s3 R  w2 l5 T7 z' ]0 i' f9 a0 \A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
! l6 u  h3 D4 D  G6 C显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
3 f/ E9 ^, V: e  W而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
9 }7 j- m; u/ t0 S5 }3 j( \A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
/ t9 b& v3 @, s8 _' w; Q: J又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
- `! Q+ C- p/ E1 m4 ^: va+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
% P6 e4 e0 w2 q3 W       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
0 V! r# y9 Y7 `6 O3 _; b' U' j3 f=7A(P-Q)+A
- B% i. s4 X9 {/ G3 G= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
& P9 U, H$ ~* ~1 q- T5 Z" H
( C1 @0 `  O) ]- G. a) C$ u, R