关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
* V$ x  e0 r, N4 o& T7 B( v2 ?3 M钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
3 @( m# n# z# W, X5 u# }

0 k0 z' @3 i8 u9 Z4 Q) i- {内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
; X" L1 R: N' P+ m2 k5 I" d关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
: w) n- Y& @1 d2 g$ R) D8 f
一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
7 ~" |6 O$ \/ c6 v. }142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
" B( ?0 S, P* k1 ]% @! f5 }142857×4=571428        142857×39=5571423       
2 |5 c% j/ C3 K1 K142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
7 F2 j$ U; |) n142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
  G. E" n# ]) ^4 O. @( k4 E1428573=2915443148696793.
) K* I/ R9 K2 E4 C        2915+443148+696793=1142856=8×142857
4 i9 v& o: U- |* C9 _1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
% m" ]& ]# Q9 b4 L) k( R' o1 X' w=3142854=22×142857
- K% D; b/ n. b# N, u- ?142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
5 [/ }8 c  Y) L1 V
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
" `, r) C/ \' C$ R+ F6 \1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
, `5 [) o% H8 ]/ h( c. X1 M令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
; X# }8 O( R7 J: y二、神奇数字142857的计算规律
" t2 Q# J0 v1 A以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
4 @- M. c. w2 {( [: i6 x（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
& O& m; z: s* U: \; O& x! E为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
$ M) y8 M1 ~, Z; K7 Y$ En=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
( _4 g, W: H+ A! K: \解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
- Y% N+ R% ]9 g7 ?; G6 b9 J" k5 Kn        1        2        3        4        5        6
9 R8 P" V& v& s  W! Ra        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
4 n! ?) g6 V' P5 `* d. ]5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
9 ]8 a, d% J& J( c* I由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
( G9 G" U3 U: p. \) Z9 k) e101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
  x! O/ |& t0 f2 I1 x( On=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
2 ^4 N) U/ ?" a4 R8 Y   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
5 A& u: n, s/ b' M结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
( T. G0 o+ }' a# ?& i由此
7 N3 S9 p/ @( Q0 Y: e(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
2 C6 Y+ u7 ~. w: c& |最终得到
* H8 M. p; [( X8 X9 K% nAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
1 W) W5 R5 l: Y. c5 O; y: x这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
! F; H) Q! P# M( p3 PA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
/ V6 N% v1 b8 P, y9 o- |2 _/ Q试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
" Y" }4 W. ]5 `' o被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
  m+ h  Y3 X# y. N' f在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
& X* F. c2 k; D6 a: \1 R1 lA3=2915443148696793，                           
& r* \% i3 f6 Z  Y% t A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
% m+ {3 I  l* y现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
2 ?0 e+ d; W/ b$ [9 d2 ?A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
% S. t! [- c4 X: ]/ i+ a# X4 X* l. MA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
  ~' M# ?( O' S9 aA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
' d5 u* \3 E$ m! ]9 U/ vA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
1 D4 Y2 x- S) U" U2 \: I显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
, @/ _# |: A; ~) y而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
  @) S; o+ U( n/ ^- }已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
: i0 F( A* R/ B8 AA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
$ Z5 b/ _) C4 B1 f  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
6 L6 n/ x! `) p; H" y% X  F( O  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
+ R& G$ s  C8 s0 X4 r) [/ p% i=7A(P-Q)+A
: [+ h/ X4 n* N= (7R+1)A.                                                
/ i2 k3 g8 r0 z$ R以上P,Q,R 均为自然数。
3 ]( c. |$ a$ Y# N: \2 z对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
2 P* z6 t+ R4 r8 n& j! a  W! A以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
* X8 O: k3 S$ s) B) ^) ~[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
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