关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
+ ?* v  e: I& o0 w) n
: ~) g+ Y( Z$ O0 }$ s1 j2 H
( }: b9 Z) K9 I( P& G4 x内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
0 {9 M; c  n0 [
一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
4 F' T: s+ h0 b! I3 h0 M* c142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
; p9 n( T9 k: a1 ^14+28+57=99
/ Q1 n. P0 [5 t- X1 d( {: C* n142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
( p* e  _' I$ C, \! ~' O/ j142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
; g% H5 @. v* b! j6 D# I2 R# r142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
' b. Y6 W2 Q! z; E142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1 h% q5 B9 O$ q  m1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
* ~- [5 ~0 |, @0 c" m5 Z/ k142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
4 Y2 ^  N! W) T2 y. s 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
! K# m$ v4 G8 @4 V6 e142857=15873×9，
) g7 m( c, W6 O* y1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
7 l  G2 C- R5 g) j' h2 u4 j令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
4 w+ f+ u7 N* B1 N3 ]9 S二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
. ~  q0 c' U) X. `# W5 g, E. u2 Q$ Fn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
4 D" v6 w, f5 v                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
' a% F" X- Q3 ^0 J9 i2 y7 J: A由此得到142857的简单整数倍的计算式
! Q5 F  E9 e% K, ^* I! d: T/ F nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
3 F4 X2 o( a; S/ t式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
7 l3 L" r0 x* H3 d( v- b由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
: i. o, E7 `" N0 |; j101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
7 m( p8 B3 N- c  q  l1 ~$ v# c" Z- J+ qn=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
- _. L, c) X8 a) e当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
  ^9 e3 I8 y* h, F/ r   m=1，n=6，
' d2 ~& V/ I: G" Z13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
4 Q/ p1 n+ A+ h( \（二）142857的n次幂的计算
8 r0 J3 n4 r8 U9 |结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
# c6 U6 `9 E: W; y3 A(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
  e" d0 X6 n6 B, }: n- y% s, K* l  }) T* i+ @现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
& E/ Z" t& @) {' \+ k1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
/ r6 T2 A, j' f% `& X8 _! Q这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
  S: b4 R8 Q% K' p+ r& x运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
2 R! ]  u. S% X, U  _: aA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
3 P+ C# E& U6 {, ?试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
; C" d" A+ m' ~7 jA1 =142857，                   A1 =142857= A
" I" e  e$ c' r5 U, JA2 =20408122449，                               A2=142857= A
7 k. `9 \/ k: ~- k1 v  j2 }A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
) x) P- P+ s8 q# aA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
7 b+ {7 r. j/ C4 ?" f) i/ \A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
& I" c) b3 x' E% A4 LA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
; M3 J3 b, \% u6 X- IA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
3 {7 c; K4 ~! j2 _, H, VA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
1 D4 u$ T8 V# q/ Q显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
, T  }* u% c# V# e1 v; m而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
6 Z  u3 V5 [8 E+ T& \现以A3为例，验证如下：
, C5 d2 b! C- |' s已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
: ]# G- S' c2 l) }9 J* {8 D证明：
A3= a×1012 +b×106+c
( [7 k/ {8 d8 _, C1 a/ A  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
; d) D- C* W, W: a  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
4 K7 z/ B: [6 c' d0 V又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
6 v& D  o3 `6 m8 M& h! |$ B; I以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
1 m) D6 P; q3 t) T