关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
* }1 a9 J" i! b) n钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
+ ~9 @, F" E2 v8 K  |( z

/ r; A2 B$ Q1 R) I. H内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
7 }7 A$ x* R8 U# G5 ~7 E/ V' \关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

4 E# n& P) t( d9 `& E0 K& j一、“142857”的神奇性质
$ n, r3 |. v0 a+ s2 y) G现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
1 g) m+ ^' n  f. h表1. 神奇数字142857的性质列表
2 g5 f/ h/ T) ~4 f! O142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
1 i1 a* {' Z; x1 x7 H2+7=9
14+28+57=99
' T9 Q6 U2 J$ P/ U! O142+857=999
4 B1 J8 ^) g+ E( W142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
" T9 @0 f/ z* i8 q+ F1 U142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
0 e. ]8 N* y& Q; p=142857
0 g& Z( z6 I" R& t8 b1 q' P4 n142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
# l2 M$ U" c; M7 `" Q        2915+443148+696793=1142856=8×142857
% J" r6 ^2 Q; [( Y2 @# h) J1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
6 T) `# [4 U  O( A. \) U1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
9 [# M9 Z6 D5 N5 k* W4 p173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
7 D3 ~+ J2 J! ]" t* W142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
$ Y. m( s+ @9 U4 `3 B) n142857=15873×9，
+ ^. L# m1 N  e* v1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
; ~! q& y' h3 S( F这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
7 ]& b7 z) A' [  c( F# X以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
; c) ^/ F7 A$ y4 u. ~（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
' H1 Z, Y0 d* }为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
$ B% H. ^. k  u1 H' `- H3 j8 yn=(10b-7a)，
$ N/ n" s/ }$ V) on=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
+ x" H% E9 f; k  Z( ?, |) ^2 \解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
* F8 f- X/ y5 h0 C* [. Qn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
1 p# e& V( i" L nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
' ]$ U3 p7 I8 p( h由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
( `0 Q# |# @8 e5 ]3 R- s" K. r待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
( }' w6 N& q, H4 t因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
7 s4 s' R& |# H   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
$ P3 H! O1 q- H0 S: P* s" t由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
& M0 D. C, {! ^由此
0 f/ }- |  J& d% [2 k( u(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
4 z* I, M  q" w& r# B* W! b最终得到
6 J% I2 j, a; M! l2 S$ r/ s9 pAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
3 E; |: V; _4 N/ d5 V- G  ~! i现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
0 [& }" [/ l) L- Q7 }( Y 142857=20408+122449.
$ n* I5 Q! f% y这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
( a1 p1 a  m5 ^+ oA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
- l6 h9 T2 Y4 Z" t! e3 |2 f# O在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
; s; a- |, O  a' k现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
7 L6 g4 u0 o4 M& WA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
& V8 v/ s* Q4 f3 b& BA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
) ~$ e& G+ k& n' }显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
+ V0 M% [" r7 X/ L$ g: F* @8 _而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
/ Y$ R: v# K9 Q  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
- a/ ~0 T) O" ]4 i, ma+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
" O6 d! P" }8 w2 b4 }以上P,Q,R 均为自然数。
2 X4 `) v! ]2 _对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
, ^; E* q  M7 E, ~三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
& v- Q8 z- p: ^8 k$ P+ P; M1 @
, N2 F, r  D1 R% @5 H* k参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
" `, d, z% H5 P# v  o8 {! z