关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
/ I5 P4 G2 p- J/ M5 L; x7 F

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
/ `/ ]1 Z$ X) {7 p关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
2 @; v; P6 r: b/ @4 M6 t
, K. u4 z1 q% q; N一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
/ N0 H. L. L+ a  E) p表1. 神奇数字142857的性质列表
% e$ B" o, ^2 Y0 v, b8 y! L142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
# d, D! I) i. E3 G. b# C142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
4 i# r- g* q- e3 q9 g* \! m1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
5 `  e* [0 w8 L: K7 m& [1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
, ]  @! s+ S- z3 A* D3 Z$ x173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
3 ?2 [# ^& k! s5 F+ f142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
# N/ e, c) s( G* W5 A1 C1 u
; Q6 }7 L; i$ ~! J1 }. e' v  b9 u1 y1 S 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
# n6 ]8 Z) Q; B% G: E  S3 |142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
- j* t; z, b6 ~* c( H0 _142857=15873×9，
& B: S1 Q% \4 G7 m) P- J1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
! R% V$ N: _5 ^（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
0 m- \" ^# v: E& @1 k) E* Mn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
: |9 o+ i# ?; M( ~# P& |$ ~n        1        2        3        4        5        6
' N: r+ ^5 u% F) h  ~; Aa        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
, |) h3 v6 u! B7 _& m- P6 O由此得到142857的简单整数倍的计算式
; t8 g) }) c8 r- n nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
/ F; G3 N7 J6 x- f3 u. M式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
, \7 d1 Q2 J0 A其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
; _. m- |" Z4 ]( o7 d归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
/ j/ v  j9 a5 g2 [: Xn=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
% ]4 c% G6 S2 Z3 yA=m×106+nA-m                          ( 2 )
, E1 U" g* }5 A4 Y! M因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
; X4 Y/ {& m9 L1 G 比如,求 13 A =？
3 g  ^: F6 Y) X0 c   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
5 K: k! D! K$ n, }% u9 C, U（二）142857的n次幂的计算
$ A! G8 M) l- M$ O  f! K( _结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
3 s  u# B4 d% V! c+ ~由此
, v- M9 Z% |) g) C* l(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
* z7 P2 w! I9 I7 c最终得到
1 n% \) g' G9 I$ K1 gAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
% U4 O! d6 X0 S1 j) X现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
6 Y% `3 _$ d5 l3 L/ C' Y$ E1 f& p% `1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
: B- l  b+ E5 P# g" i- p8 C 142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
7 p% p5 L" H: ]. V- y& c6 K运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
0 s) Z, k7 I# V$ r' N$ f2 k1 GA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
7 w& T: N0 A8 q& F# x2915443148696793×142857=？
0 D' d, ?# L9 `被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
( I& c; O- E% I" ]+ c( vA3=2915443148696793，                           
6 |+ }8 G, \+ D1 M+ l8 @' n A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
3 v6 i% V1 m7 F, Z; ~) _3 SA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
' l% o5 n7 t, PA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
- e8 Y/ w0 `9 o, }% T3 d& d+ t9 V# \A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
: D6 q5 O! w# V$ q) y- e显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
" P& k& K0 O  _. ]" s而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
: u5 ~* v5 I$ j" g- I' W( S已知：
, q6 P7 f9 S+ a7 k: ^7 [2 J$ {A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
: R0 g- d; \$ m6 ?; e8 ?- v  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
1 K# J: V) @3 Y6 s0 L7 o  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
& f# j+ p" l9 |% K# I6 M  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
$ A! x3 F( `8 s4 R0 G2 ga+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
! q: {9 w9 l2 d( `       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
$ E! e) U, f! n# d& v, G= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
, p% W2 x' s5 g0 v: S, b" X2 d1 X! E对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
6 ]$ v7 \7 A" u- |7 Y) h# i% O三 、总结
# x& D1 b) V3 S1 W9 ?' s以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
7 P4 e& q+ F% C[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.