关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）


" \) p/ j$ h: v" C内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
  Z/ @5 r) }! [$ h- M/ c关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

' {6 f# v# t" x& p3 z% \0 `一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
0 ?8 E# L/ d. p# p6 w5 j表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
; V0 K2 z- r. A: q" U2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
& p6 b5 l1 ]( Z9 k142857×2=285714        142857×23=3285711       
# ], h. {0 I" ~' Z& ?142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
# s, \1 n6 l: E6 s142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
( }% |; E* f8 v* v& i" |142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
7 [1 {& @+ t0 c/ s, M173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
9 [( R# l3 n0 o=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
- B# Y7 h( b0 w' @3 x
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
7 z+ H9 ^1 @0 w; B: V 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
' P  x; l- E% c; c142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
: w1 s' _/ v% A3 L/ U5 m5 R7 ?' O1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
: }& E: I0 g" H4 X$ ^令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
0 \5 f8 ]+ E6 n以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
( B; p- m! J4 N+ z* U& T为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
. h# z4 A7 T: l. sn=(10b-7a)，
. n3 {' W8 F0 ?" K' Z  ]2 J8 x0 R. pn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
' D2 t, X" c$ S) ]1 B: K1 S; o解此不定方程，得到
9 ]& J  m8 I& r$ n                  表2 不定方程的解
+ ~6 e1 `9 U* ]n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
* x7 O* l! F: E9 X& x由此得到142857的简单整数倍的计算式
3 T3 w0 L7 x' ^1 s nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
6 s2 v1 w/ {1 S- ~- W3 W5 R式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
' W/ h* e; b- B0 C* P! }: F% s由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
* p4 U3 L; K% p其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
2 M1 O0 E$ V1 m8 w% W% w101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
( j. H7 }5 t3 C: Y, P7 `  \待定系数也一目了然了。
  r3 h& A' q5 j) [( w/ d/ T: Z* R当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
& w* u0 j* x% z- z( T0 p4 Q+ I$ m因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
. K- {% n; R% S  Y% W 比如,求 13 A =？
+ n% Q! t0 S& p5 N% B9 A   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
' j7 R% U% \8 D（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
  o% E% L: k' c1 `  q; O由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
1 X( H8 W& q! k  W: yAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
; ^- c) W$ l# Z4 U9 a: [+ F现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
+ d5 F% V0 M  }( v- V1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
4 [0 O1 o. p: [% I) O这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
# {" W$ o/ }7 `# v试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
& u; r2 T' o- I% b6 S5 z+ Q2915443148696793×142857=？
4 h" C, y) ?8 \0 u. {/ d  K, R被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
' r$ {# K/ G7 o6 z2 m0 Z（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
% \2 {8 R: Q; Z7 r. JA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
' S) X, |( K5 v4 D' Y; lA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
& d: ?$ _: s) S7 v+ [A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
3 B; {8 V/ R* A9 m  N, ^& |' j$ W7 oA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
4 d& }1 C* c) J而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
已知：
3 n  E% K  l- u6 J. {# zA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
2 ^5 Z  u$ F8 ~& }+ kA3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
- u* L1 v# ], c/ n, t9 C  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
9 [9 O: `; a! F1 ^  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
1 L# l& }4 M- I2 V* n5 c- y1 ]' Y又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
8 F3 o  e& B8 G" W以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
3 f4 n4 S% p* ^, da+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

! r: ]/ W) S$ @0 p& c; e5 [参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

9 V  l8 i0 p: b4 g$ P, ^- ]9 K! J