关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）

( x2 G3 L, B+ N, ]6 U4 G
3 X# a' ?  s1 t! f! `内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
5 t1 e7 r: I3 A$ l3 H
一、“142857”的神奇性质
6 @# @! \1 h% m7 w* g% h0 N现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
4 \9 Z5 p  Z' P' z14+28+57=99
8 I. j0 w8 L( K' c! d$ A142+857=999
* m3 c5 y  p6 X1 t- ]# m5 X  N142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
9 c  W1 ^$ f  T# ?# V; n1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
% q' T$ }2 ]/ m5 T2 S( m8 W1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
) ^# t" i( E* t' f=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

7 f: K6 E& Z# `0 O3 @. s* B( R: M 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
" Q; W8 T, q: O$ P, z0 ? 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
5 r# T6 p  p0 H) D/ e142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
2 s! ?' T8 ^7 C& E! Q+ n) |27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
6 S% l3 J1 w7 k4 J7 _: K这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
; x6 n* M5 w  E1 l二、神奇数字142857的计算规律
( l3 n# {& A5 I$ _以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
! x/ d* Z* P. X9 |' |" k+ ?为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
- ^, f  x5 B% q+ C) h# v/ q- ?n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
$ R+ u4 p7 q6 Q+ b9 ^解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
, I1 O( C. l# o* } nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
: _. I. _4 ]# D: o8 U1 Q9 X1 d1 s5 x, o式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
. i* ?( `" C9 X9 m3 a! s在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
7 ?. ?% j0 R* I9 F3 S其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
% d: A% Q4 g) _' R- u! b归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
6 R  m( O( o( B; o4 j2 m  q* sn=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
) p; Z$ N$ m/ G6 q7 m+ z" r当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
. y5 j# T  ~% G8 X, _A=m×106+nA-m                          ( 2 )
- i: C! T: c+ y( R) q% d因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
7 Z% }* Y3 ^! F+ [) s 比如,求 13 A =？
. h2 N$ e2 M" z" J4 E   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
. ^! B, s$ J: [6 E! E5 L9 d（二）142857的n次幂的计算
5 }! A$ I2 \# u$ l结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
: c5 J0 V  z  K4 V由此
$ i# i4 }0 q( `9 l2 m(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
$ m7 l. C6 u/ `( Z: o最终得到
* T9 c. \$ L& K! b" P: Z4 iAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
3 t' @  d$ z2 z2 D, ^0 G/ A& J: V1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
# Q2 q0 c6 f0 V  o, n" RA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
9 t) M  X. _3 H+ x8 |2 O$ |3 `  mA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
3 o, Y, p- X3 B1 T0 ]2915443148696793×142857=？
* I3 \' V0 r9 {$ f" ]3 ~* n被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
* o. h9 T! d1 U+ ^: b  |A3=2915443148696793，                           
; V& F, [  P  t A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
5 b5 |" O& p; h# M. b6 qA1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
% j& f; V9 i- W  P  \7 W0 ]$ g# `: GA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
9 Y" k7 M. Y; p: D# KA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
: j" g  }3 i- N# X显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
# h9 V  z# t2 k* W- q7 l  Q/ D而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
2 r- u) a$ b1 l0 ]. J- }已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
4 y2 X0 U/ Q# N% GA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
: j& x1 ]; B9 ^/ B5 ^. y证明：
* }. K! O" I3 g/ oA3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
9 R: X1 o$ K, `% W% C3 T% m' C  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
) `) S9 I+ K2 S' {, z2 [+ O2 u  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
3 M' R' V9 m1 P+ {又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
1 E! A; c) b6 l3 D/ N       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
. e) J6 X" Z5 B$ ~" d  i: {以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
' p, S$ v9 \* J3 Z1 E) l
参考文献：
' o4 ^4 {  l  t8 Z! O  w[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.