关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
( f& J+ q; C" d' g" w: e4 N/ @钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
; \  t" L; L. O4 V6 Y8 ]

5 Q5 \% r0 E* s( q. m# C& {  L( g内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
1 G" F4 l* N: y- M关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
4 E% Y0 {6 l' h5 {
一、“142857”的神奇性质
! i5 l0 O# s9 C9 c现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
$ t: T9 o1 M  t9 v8 Z8 a7 |) e9 w142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
. p5 [. E! F! f2 Z+ U2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
7 ]5 f6 t& N2 f( R5 |- g142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
" }; L, Y9 I/ d* l" U142857×4=571428        142857×39=5571423       
1 I6 W& s/ H, W) b( @6 U# N: v3 J142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
; |3 j5 @8 H3 p! S. b=142857
, I0 \& D1 b* M- P; i) z/ _142857×7=999999        142857×63=8999991       
8 k4 k. R- \7 S( y) T3 J, f- G1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
/ [5 W" I/ l+ E8 X0 U/ _. Z1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
! W% W( q5 F+ L173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
" N& X+ [) ]' X- K$ |+ x9 i142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

1 K3 K1 G3 i/ A 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
9 G! j5 B: n  y; j+ U( y这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
( R( Z* c" l  P* p; J, q以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
! |7 L+ X, e& {/ a( Q（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
, |& u. {1 k7 {4 M1 jn=(10b-7a)，
4 t3 i7 ^; E0 W8 A" a  C4 M' o$ rn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
( z! d4 d! p7 S, U, E) o解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
+ c$ h* @" F* H. v, z" J  pn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
! h6 R: p' j& w. ]& B; J nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
  g* q2 S. X& O6 P' V. Y% d在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
' y1 r# j  R: L( F% G; t7 N. H) A其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
+ D* H- W$ L2 L5 [; K# k4 h待定系数也一目了然了。
2 d, `# g4 o: N$ p* P( a3 L当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
$ ~! o. z6 r2 R/ R 比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
, O' D# X' b* d7 F5 f1 Q由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
" ]& _# i$ `1 {3 z% ^  m- S$ F2 d  a(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
8 N" `9 f2 g9 {8 m# N1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
9 L  b+ G6 c% t) @5 i+ @) T运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
9 \4 ?8 L' @4 m* A8 [! fA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
; B) @0 M/ S& B' k# lA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
. B% \7 P1 [  t; P5 O试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
. M; Z( i9 v8 O4 U. V* U（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
# y6 ?8 u$ y! @" Q4 P% G A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
9 ], ]8 d6 Z6 _  F/ |9 D/ SA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
! T& s. M5 ~2 {" y! IA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
* d! F/ x& E" e9 W- I/ LA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
6 u  F$ B* w, u5 bA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
5 S1 `3 }& b% z# \+ a! D% _显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
5 T3 v* S5 B1 R# ^* C而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
$ o/ ~% }6 s$ h8 l; K5 J4 ]现以A3为例，验证如下：
已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
* U" L4 K4 l# d8 S0 {3 U8 LA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
# z9 S# s: j) h1 q% x证明：
A3= a×1012 +b×106+c
; l6 n% `. ?& m- G0 {1 T5 v  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
9 R1 L3 [) J, g" n& H6 F  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
& g! E& w6 B7 }7 [3 U' Y= (7R+1)A.                                                
/ v. x0 k. T2 g4 P4 K以上P,Q,R 均为自然数。
/ Q: ~  e- G8 U5 m对A3
. P: O- l" L3 ia+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
+ V: j5 S2 k4 g  v; f* m: [$ s& @三 、总结
2 O: |* @& E% d2 b5 ?! h以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

. d( G  ^: E" p9 n" {! C3 o4 `参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.