关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
, k7 s/ F+ J: U9 U7 z" q* I3 i钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
: d' w7 f$ B+ L
4 B2 M( q4 }' Z( K9 C( T' W
内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
, v" p7 M' [* o) Q5 N关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

' K& i; Q( A1 ]- B! r) d( T一、“142857”的神奇性质
& A  E/ `5 b# k' ~2 b8 d现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
  q& z9 _  E+ O, [- A0 T, \3 K2+7=9
14+28+57=99
7 t3 ~: V( q: F7 P5 h142+857=999
' Q$ u% G5 g  _- p0 H( o142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
; J* K! a2 y, `: o; t0 x6 ~142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
+ I' Z' ^2 f% Y3 p) J- o" o142857×7=999999        142857×63=8999991       
/ w6 |( h" X2 x1 i1428573=2915443148696793.
; q# A7 I& p0 J        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
' L6 q) o* I0 W4 m1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
7 z% a7 B6 l' l7 G4 u173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
% M8 t* v) s- ^( H) a0 W
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
0 f: u+ H) W" X+ R: k/ H, D& M$ G2 a 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
& _* ^" r0 N) m5 W: h8 X* E1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
" L$ o- {. m7 V8 q( J6 M8 ~: R27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
2 v! z+ Q8 Q# R  V这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
" D) `1 k& X% f( o为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
' D3 t# f* A7 v! o4 ~2 Vn=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
% u3 k; ^( s( O& ]' v3 q: u, ~5 v解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
: O6 w+ j; ?2 tn        1        2        3        4        5        6
+ a7 h) j3 E7 T( \  g- Qa        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
/ M6 v' Y! H6 k5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
. Z; O9 `  I$ c3 `在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
: x% _' K% m! n; t, ]. r1 S由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
& s( O! Z* j* v) Q( H7 q  a/ w其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
% c9 \* Z- W( E" l7 {) UA=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
" X; C6 |: O0 r0 I3 x5 ` 比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
$ F+ U3 m! m8 ~0 b13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
( U& c* ^# X0 I- r! y结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
) c9 O3 s% ^) ?/ |+ O7 w* @最终得到
! n  a% g. [0 S( M" a2 u- \) T  wAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
2 |& f! h& F" ]现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
, d0 k5 p; x& h0 j' i$ Q' T7 H; d 142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
" s" C* b9 \- a& F# b9 @6 p8 i& N被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
' a' U* Y9 j) e8 F在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
1 `9 T' H0 M1 qA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
* `% H# S9 k$ C' Q1 {0 a$ g' J现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
6 g! D7 v" D9 N4 g/ a! T4 SA1 =142857，                   A1 =142857= A
. ^1 F0 a6 j. A# n1 ]0 VA2 =20408122449，                               A2=142857= A
# L( C9 R( w# @% pA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
3 x2 I# r0 K, U% _A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
2 J& K, F2 O3 k& T" ?. i/ bA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
7 ?! \# M4 |+ a4 t  |* l4 DA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
+ E# c- O, H4 f6 x. j' M; O, _0 b6 ]A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
4 \' F; i! T0 D. b$ i/ ]: l5 u已知：
! z3 W8 t, @6 H- S  T( c9 }A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
! o; h9 K4 G  v% ^5 M8 v& G- EA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
; @7 l3 M! u  Q( O  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  f# a+ F% [' k$ s0 C# `& u' t+ @  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
0 x2 o; l% Q* Y, v8 S3 f9 u7 J. t又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
1 w" v9 A5 X. r) U2 ]# R- e/ Aa+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
& A& K$ ]) t$ p( h  w# K6 Z) Z= (7R+1)A.                                                
/ P  i, S0 c; ~8 z6 }以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
% ^! j5 n  D4 K' l三 、总结
5 |! x5 d7 n& ^5 v以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
7 x1 e8 I% ~, O! `& V
" ?; z* C7 F8 N5 i7 f4 ?参考文献：
. w, r6 O$ u0 b  l0 \7 o[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.