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TA的每日心情 | 奋斗 2014-12-7 07:58 |
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签到天数: 22 天 [LV.4]偶尔看看III 宣传员
 群组: 2014年网络挑战赛交流 群组: 国赛讨论 群组: 2014美赛讨论 群组: 第三届数模基础实训 |
人口预测
, }6 s/ o! J& r7 e3 W1.问题
. Y; Q {, u, ]' _人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.6 j0 K9 F) D' j7 ?; w- `8 ^
表1 美国人口统计数据
0 e, G+ g! F6 d年(公元)
" j! Q8 ]9 U$ ^" C6 `3 v) \& o8 {8 v
人口(百万) 1790
& i/ p% W7 Q+ n0 B0 F$ n" u" j8 u j8 o, u
3.9 18007 g& k" A9 b/ K3 M& H$ D( T5 z
`- ~9 h$ X$ F: {+ ]
5.3 1810
% O# H4 g$ w6 `! T. ?3 n5 a+ N/ S" U* ]: }
7.2 1820
" ~0 |3 e Z5 l2 y9 {1 t3 D1 A, Y# r' m, c% R' b2 L- L
9.6 18304 k% M \: y7 {, M
7 {" B. e! [' w# k
12.9 1840- G3 {3 Y4 A3 o
! t$ j h# G( G& E3 q& y17.1 1850$ X# g# M8 y) [# F
# V7 k% a; C( _8 m+ e0 M23.2' s; f* F0 y2 b G# e1 S* ?+ \
年(公元)
! A D! j, d9 g2 m+ V+ z1 f+ w4 c7 A9 k/ U, T: M" t
人口(百万) 1860
2 q* @- I8 ~( x9 {" o4 d% A# y. _! ~- D! A3 G a- d) ]
31.4 1870
1 v* L3 Y) }& Q. T' C6 z5 U) z5 L# b$ Y& {8 N
38.6 1880
3 M% |- b; L) r4 V5 p9 d" f H3 O3 E- K3 F4 e7 t; u4 T
50.2 18905 i1 i+ n0 Z& I. J% @* k
+ J+ N' q# U; a62.9 1900
0 ?- I9 p' L+ V1 l9 T3 O
! N0 F/ n; T0 t1 G- T8 s76.0 1910: S1 S9 F f' u/ z7 g
$ L; n+ Q ~( t* z1 F92.0 1920" x; i, C. U2 q, D
8 u* G+ D9 A* q; @! {) [/ M: u- q
106.54 W4 N& F: G, G
年(公元)6 R% g6 M4 x6 ?( l8 ~
& O9 E5 e8 Z. I
人口(百万) 19303 r5 b A' t6 j+ D0 p
* |8 k. Q) `, t- {! v123.2 1940
: C# U+ o3 [* l4 w. D
. ]+ J- s. x) Z# ?4 O' S; [131.7 1950
2 h5 e6 I: q3 T+ p' r
g+ H& ~( g1 c- }% i1 _150.7 1960
E( T' {8 u& W* O) O
# |8 n. b l! |3 a179.3 1970
6 L" Q8 d' r4 _& E& Z, l! A( r4 ^* _
8 Z! e4 @1 {/ W$ Q204.0 1980
$ X+ V# c* b& T& H+ z8 Q3 l0 g; A/ o* c3 w; k
226.5 1990
% M9 X4 D) ], R1 ^! ]3 E7 C3 }- q: Z8 ?9 f8 R( k$ L1 i5 U0 w
251.47 q" R( n' }4 ?- d0 S: u
# z9 l, I( \" ~; Z* S1 |& n
2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)$ R9 J2 H/ ]! c' r+ p- L
此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出.# K) d; V. V' ~2 ]% _0 P+ m
[1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).
% x8 R( |7 F: v$ x# b4 j[2] 建立模型: 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:
: [! p8 r" x# G# ?. y( {! R* X5 S
9 c0 c; v! C4 Z% {) H9 g( j于是 满足微分方程:7 r' K7 E! [+ Y9 d, Z8 O
(1)
, v! @, s1 ]1 k, a[3] 模型求解: 解微分方程(1)得/ x- [" {+ o- [1 c6 q; N q
(2)# D" u7 R$ \8 d9 p, a
表明: 时, ( >0).
, b1 u& ?4 ~6 \0 ]0 R8 ^3 a[4] 模型的参数估计:- x0 k" _. X; X( k: g" k
要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.4 ^% [9 f! O/ T/ D
通过表中1790—1980的数据拟合得: =0.307. 4 I; U; i" z! O( s
[5] 模型检验:5 G4 o- Q* i3 J6 i$ T2 y
将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2.. ^: B3 ]4 ?. n/ u( i( z
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较$ w- U: {9 a; {1 i2 F
年+ Q/ [! M8 w+ a. L+ |
(公元) 实际人口* c }5 V6 A- R% |7 w2 G
(百万) 指数增长模型
+ _. d5 p3 S# V, g2 L d 预测人口(百万) 误差(%)
% h1 `/ s6 d$ x: ~- ?" ]8 R! ~1790 3.9 & ^# l+ C$ L" \7 l( t* r5 ?
1800 5.3 % [! F: Y4 ]$ y5 q
1810 7.2 7.3 1.42 J& c0 ^6 R1 z
1820 9.6 10.0 4.2
. c5 h) v2 @- b/ [; m, Z. {; s7 b1830 12.9 13.7 6.2) Q7 _- O/ {1 Z9 D; O
1840 17.1 18.7 9.4
) y d4 A+ @' B1850 23.2 25.6 10.3
/ B8 x; @1 F9 y/ q1860 31.4 35.0 10.8; D& X& R7 A( \- I; \0 ^ G; ]( [
1870 38.6 47.8 23.8
7 P9 J+ U) D& f) Q2 g" r; G1880 50.2 65.5 30.5+ b/ j8 D# \8 Z0 R& [ m
1890 62.9 89.6 42.40 F- {( }& _+ m; E8 ~
1900 76.0 122.5 61.2( `5 e( x+ z7 Q8 P& ?/ S7 p2 Y+ P8 K
1910 92.0 167.6 82.1 X1 w) b2 |, z6 M4 g1 ?
1920 106.5 229.3 115.3
4 a+ H% i Z8 D4 q1 N1 h 从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.8 k/ r/ ~. u$ q$ E
分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
; w2 t, I& z0 g3. 阻滞增长模型(logistic模型)
, v& C( k9 f8 S1 j9 o, J1 {) G[1]假设:
- S6 R) {5 N, N, h3 I1 N4 _(a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.
. l! g) u8 j7 f* b5 F8 g(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .# _; O, n6 h; }0 c
[2]建立模型:1 L! X P6 k( w
当 时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:
$ H& H1 ?3 ~( H (3)
/ x. a" D7 `6 S* j8 h' p将(3)式代入(1)得:1 s3 i' v% G9 l$ Z
模型: (4)
' u- G, C; H( E; d[3] 模型的求解: 解方程组(4)得 (5), K; O6 [1 m6 c; ]) s- ?9 \$ a
根据方程(4)作出 曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.
. W3 I0 s1 U: E: f3 P8 M3 F1 ^- S4 G7 c- Z1 T
) S0 t$ E2 ?% u$ B2 `
& d4 s, u0 k/ |( P6 G5 r! C9 t" p0 y
- D$ @2 E" w. y, S3 D5 v4 K4 a1 j7 r5 z8 L
; P8 C" F* ]2 n+ }& E, G( O0 w. e2 }
2 m3 E" c! @- U) l$ j0 u- e, r4 O8 ]% o
[4] 模型的参数估计:( l3 f9 f$ i1 {
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072, =464.
' \2 v4 y4 H* R( ^7 u# G [5] 模型检验:( W% x' Z$ q, ~$ J- h
将 =0.2072, =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.# F+ Z8 y5 l6 d' U
也可将方程(4)离散化,得
% d5 Y, k% x& g+ n4 B t=0,1,2,…, (6)
- D- A' W4 {* w5 e) K3 J用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.$ [" r% |+ a% c& P1 O X& N2 e' p
3 ]% \2 N d9 J; T+ V! }3 |- c
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
% {3 P2 e: H" E, j# |
- E' v T) L$ f3 L7 f年
+ @0 c! g5 K0 w5 b; W" K8 f* p" n# D 实际* N! ~( ^1 ]5 B7 }
人口1 q' a3 X4 c1 o3 H: \( ?1 \
(百万) 阻滞增长模型
5 j, Y! b* G9 r 公式(5) 公式(6)
/ i3 S% {# f0 j. A+ ?) F 预测人口(百万) 误差(%) 预测人口(百万) 误差(%). F! D: d$ C* q- F5 Q% E
1790 3.9 " u* \# a6 Z4 t6 t6 C
1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642
- G7 t/ C8 ~0 v1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962/ Y) P9 S# p6 ~6 O2 H% w2 f. v
1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957, F( c5 r' r( e6 R; C# Z) v
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151* E0 k, c' U* z4 j: P8 ^
1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156$ K6 C6 i5 v7 s1 I/ D0 ^5 R+ z
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457
5 v2 }! u; }4 _2 e$ W) ]2 z1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553
: K9 F' o* T+ j1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.08159 W/ }7 S3 t& Z, ^2 k' f. G% g4 q
1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.13289 s, \6 U* J0 a: Y( _3 r8 w
1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.10671 [! k X! j; Z5 w$ `1 u8 B
1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770. a3 b( n/ M% z5 w7 B2 K
1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790. @5 B( j0 e. L9 \) s4 E
1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379
8 {) a" f7 a; g1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345+ i/ M0 ~" T$ I( K( E
1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469
( t! w* y' }* ~$ @" d2 j7 q1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126, A: y9 Z& Z' G
1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503
* ]+ ^. x: W" D2 g1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138
: }' M$ [) I7 p. K) H _1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
2 a6 r9 n0 P, [: F9 [6 h. n1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038) N4 ^( g7 v. I8 V: H
[6] 模型应用:- N) }$ |* I0 F& o" _" d
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083, =457.6. 用公式(6)作预测得:
4 I+ v* U1 v. l% P% m# ^x(2000)=275; x(2010)=297.9.
: Y$ z- I4 u3 R. A4 l也可用公式(5)进行预测.* P3 a6 e) W% \7 Y$ H
6 v5 _7 l/ i' n( M2 Z
. X4 T) j* p! B- ~, s6 ~ |
zan
|