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[个人总经验] 人口预测

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    发表于 2015-8-17 22:44 |只看该作者 |倒序浏览
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    人口预测
    8 h! d1 t3 b3 j  g. J! C/ p1.问题( L6 H6 r" }; L  _
    人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.
    3 H, D5 A0 [' a, P- Q. Z* ^- ?% y表1  美国人口统计数据
    . U/ {7 u4 q) {: b8 f( p年(公元)  f8 e8 z( f, M5 X0 V
    : K2 u. F2 Q  g1 H0 x: t" C, d
    人口(百万)        1790
    $ H. d+ P% ?5 X, x/ ^5 V5 b- n5 k+ R: ~7 ^5 S: X0 H# N8 I
    3.9        18006 k9 W8 p3 I: R+ n7 W' H

    1 F) X' u' t  i0 G5.3        1810
    / k1 D/ T1 J/ G; l6 t, [+ }1 s" Y2 N  z& {3 h/ U/ [0 I
    7.2        18202 w7 D$ P- t1 ^/ r# p7 c8 _# E: T
    ! ~! y1 h$ Q( Z& e  E2 m
    9.6        1830
    2 ~1 t1 Y  Z1 I* L* b( M! o
      j  V# l8 ]" \& \* H12.9        1840% |9 \% r# @6 }: ]5 m
    % C0 [' R8 |& S
    17.1        1850
    . r6 E9 g* ^9 K5 r! d& {5 W0 W" k" L! E# O- w4 A! `9 k$ F' i1 J: \
    23.2
    3 c4 c! ?+ R1 j% C年(公元)/ z+ m) w3 i% i- b

    % k! N$ Q5 a& n& Z" U人口(百万)        1860, l) u) C7 P, t2 V  S$ d

    ! v* @* K; N+ f31.4        1870
    ( j& |( A6 N" @2 ?; j3 \; i5 ^' G/ ^+ F1 U4 k
    38.6        1880' U/ R. V' e! ?, V1 n. X

    2 Z1 Z0 R( d) _; g( m  C50.2        18906 N( m) p- L. b2 G, L
    # x( }7 t0 A  k! l1 e# @2 K6 \
    62.9        1900
    : x8 H0 q$ ?) o( ~1 h" v) K5 S) T7 I# C0 J* E1 ]" Q
    76.0        1910$ ^& e, ^1 O# {; m

    . R" j2 b9 Q3 K- V5 g( d' Y' c92.0        1920- h0 @- _# ~) e/ [, O3 \. \
    ( W* M! t7 z  @, Y# T
    106.54 c$ J5 t9 ]0 ?2 ^2 f
    年(公元)! G) Z3 ?1 v5 N) p

    . ]/ b3 n! R  u% j: t/ r人口(百万)        19302 L; J  z# `6 ~! {8 a

    8 B$ x0 `4 B) s3 e123.2        1940
    8 b5 {5 R" u5 `3 T
    : t. q: f2 M1 p8 f9 X131.7        1950
    ( I! S6 E* x2 |2 O8 C# ]5 G5 y* }: J1 }  r
    150.7        1960
    ; r# d1 c& A% C7 A& p% b5 {  E' g, ?& H) h& W3 |' Z* d2 ~3 ^, h' k
    179.3        19703 J9 ?& D2 E) y" k

    5 m2 x3 P8 [- y$ V204.0        1980
    : U( H% j: P$ Y6 ?7 B
    ; ?& e) N# Y. E& `% w. L( A4 Q" h226.5        1990; l% Y- v; e' A$ }1 [' i
    8 O: B6 i: i& N) r7 L" B$ V5 g
    251.4
    ' K6 l8 p  i( H$ U3 R! S  U9 m/ p) f5 }  w7 ^
    2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)' Y3 Z8 E5 a7 m+ Z0 ]
    此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出.5 C& P+ S1 t+ h" S: M, r* c
    [1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比)./ y7 r2 S; {! k3 k
    [2] 建立模型:  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:' N: h8 p5 `5 ]$ g: T

    ' p. R+ ?; r4 d于是 满足微分方程:
    + N. r% V2 U6 p, ]                       (1)4 ^5 L, U. ?# y, f
    [3] 模型求解: 解微分方程(1)得4 @5 |; f5 a9 l
                                  (2)
    0 P7 p; `+ W9 k表明: 时, ( >0).
    1 v4 [, p& K  v8 B7 C$ z4 ~[4] 模型的参数估计:; Y/ R* F9 J6 o7 o  j2 R/ D
    要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
    * C6 a0 F! O2 {4 ~6 a. G通过表中1790—1980的数据拟合得:  =0.307. 9 i3 ?# T+ Y2 L
    [5] 模型检验:2 T' T! e7 O9 S) B9 O8 J
       将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2.
    ' x2 y, M' B! ]( G% q6 h' c表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
    6 P& b; m& e" n7 {+ m! h
    ) \5 ~: n3 A$ v/ b$ i, _9 p9 F(公元)        实际人口$ V, k4 j7 \  M# q3 r
    (百万)        指数增长模型
    ) e0 V1 R4 T6 s  k7 w) z6 z" }                预测人口(百万)        误差(%): E+ _# ]! e4 Y, ^9 I
    1790        3.9               
    6 j' t& Z$ L: B4 S* E1800        5.3               
    % a* ~" b( Z: B1810        7.2        7.3        1.4
    " n' F! ?( |: G4 ~" k; }  R6 A1820        9.6        10.0        4.2
    6 d& u& l2 o" Y" l; w1830        12.9        13.7        6.27 N. Q8 V: O" I3 t0 z* a6 {# |
    1840        17.1        18.7        9.44 y4 t* Z- f1 n8 P7 b
    1850        23.2        25.6        10.3, K, [; }. x  k/ S) p. `( Y
    1860        31.4        35.0        10.86 B6 T  G/ Z( f# j
    1870        38.6        47.8        23.88 x1 A  X& H7 {% G. O5 I9 D8 ^8 ?
    1880        50.2        65.5        30.58 w" D4 `! j. W
    1890        62.9        89.6        42.4
    * v# x: A; t3 }% y1900        76.0        122.5        61.2$ u4 h4 H8 q) L4 x& L
    1910        92.0        167.6        82.1  e+ x, r% u  W2 ]; g
    1920        106.5        229.3        115.3
    0 j+ Z  i/ A9 T& D2 T  I( @  从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.
    % w, b* P* w3 C! I6 L4 V5 s  分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的0 i4 `" E9 N' g+ k7 x1 v& m
    3. 阻滞增长模型(logistic模型)
      P! T! Z, a4 E[1]假设:
    2 n7 B) M) Z+ i( c(a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.# ]$ ~- ]& U% q
    (b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .( |* w3 y# ^8 s0 x
    [2]建立模型:
    0 E7 @& F0 c! J: v# I! B& p   当  时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:/ _( K( C- b# T5 @: U' E
                                       (3)
    6 }4 k5 u6 \3 j( ]( S# _' l$ m将(3)式代入(1)得:  g+ _5 t# y  h, a* @
    模型:                          (4)
    & k+ A4 v! @/ T" ^9 H  g8 S# b[3] 模型的求解:  解方程组(4)得             (5). E! J; L7 |- L3 Z
        根据方程(4)作出  曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.  ) ^) q1 r( s6 F% P+ ~. Q2 U

    ( t. x: l; a) g/ L8 w$ `# s$ r) t. e/ Y+ Z7 N6 f- c

    0 Y0 l  r( Z# x5 l4 k# r
    7 g9 w6 @0 h( s! w/ q1 P+ g* [% a% _, O3 g7 y+ A" p! ^

    1 S/ L. h6 o9 T7 w6 L: n
    # k# L; Z8 F* M+ B" P$ i* S1 W$ X& k
    9 p/ o6 D, z& W: m3 I1 Q6 `7 ?  [3 i
    - I) A1 {  G6 n7 a
    [4] 模型的参数估计:4 q9 G, R' T" i
    利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072,  =464.
    % L! s2 P* l% {6 R [5] 模型检验:; N% A& x! B6 n6 l1 r4 F) t6 ]& B) I
    将 =0.2072,  =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.
    + ^0 }' V8 R6 E9 h也可将方程(4)离散化,得# `4 a; U* H7 n9 p4 s
          t=0,1,2,…,     (6)5 A& V2 |( o+ Y$ E
    用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.& L6 r, v; h, B# p: B

    - u$ Z/ Y/ q) w! m表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较  d4 g) M3 T7 x- B
    & s2 r3 y5 i4 G) }4 Z5 }5 o! y
    ' Z) n  N5 Y& y. J
            实际
    2 b6 W2 m% e! I( P  B% E" \人口% |% q) G. y0 g
    (百万)        阻滞增长模型
    9 T) B/ u+ C" w" K$ ?9 s& @! S                公式(5)        公式(6)
    " z  f# k  G  J  ?+ w0 a                预测人口(百万)        误差(%)        预测人口(百万)        误差(%)
    2 ~3 i- q- H" h: U  L1790        3.9                                * |5 \1 g! b# L. W
    1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
    1 {, H' ^0 q3 x1 p1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
    # t( h" t1 A$ |1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.09573 {5 k9 C0 ^4 w: J8 ~/ `6 |' H
    1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
    ( t  x1 S5 c" q4 ]1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.11560 J  _0 S1 ~, m4 P: e" g# F, }0 @
    1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457$ P% S: |1 s! M# Q( e& w% b) n# c1 I. ]
    1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553( x! R' k4 i* }" X7 R
    1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815  m+ M- ?5 A# p' m3 g; D& l- [& E
    1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
    , q( v# ^, H0 l, Q! Y5 Q0 R) q7 e1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067- l; ^& ]  s/ n' {# _+ s
    1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
    - P& J" q9 L" y1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
    7 b' G- e+ j' c7 N/ x1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.03791 b4 B  E0 d/ I' T
    1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345, Y5 \  D, y. j* ?
    1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469: L4 C+ F- l- r: R# W6 X
    1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.01266 O5 w& `& k7 p3 f0 i# U" J
    1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.05033 {. f: M0 N1 G, Q: C* _
    1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.01384 V+ ^, S6 r0 f/ B
    1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047+ o, d- L; {  r& x  e
    1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
    " r8 G( l" m9 y# ?[6] 模型应用:
      h7 U3 s, j* @; w: T! K 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083,  =457.6. 用公式(6)作预测得:7 k; H6 `  G2 O3 p& y6 e
    x(2000)=275; x(2010)=297.9.
    1 u1 g7 a3 x/ D' ?) |也可用公式(5)进行预测., F4 y* G( N' V3 G

    ; j0 N5 X& e! J2 g/ o3 M
    1 X2 {" @! }6 r1 \6 s
    zan
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