人口预测

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人口预测
% _# V! ]8 u8 N- N1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）
; j6 L3 Z5 m9 b5 B9 d
人口（百万）        1790

2 [! {, D0 Q( K/ x& ?3.9        1800

5.3        1810

7.2        1820
" u' v7 W# G+ {( x( ?1 r2 b8 [' m* q
9.6        1830

/ X% l; h  k3 `$ ^9 E9 P12.9        1840
; S# {# {  u6 v+ Q. L" c
17.1        1850

1 {8 O4 M8 ]& [8 D/ ~# s; W23.2
: ]* j" F% V* [9 m年（公元）

人口（百万）        1860

31.4        1870
5 L+ g& y, w& r) D8 P' }
& Z0 O- L+ F3 g- s38.6        1880
0 r0 w( b4 C; f7 V' B! Y0 U; b, ~
50.2        1890

62.9        1900
$ |+ Z# Y2 k8 ?5 b' A
2 d0 |; {0 R. o+ }6 c76.0        1910

+ Q: k& d% t2 G; r. `8 F92.0        1920
/ N0 j, g( g  _' C% r5 ]
4 y" p0 A1 K- y7 M: h( R! ~106.5
年（公元）

人口（百万）        1930

123.2        1940
! K) p% ]9 `! O# e4 g! m4 A0 Y
131.7        1950
% o  Y1 L. E4 n. ?) T& u
' X5 p8 ^8 R" n1 W- L6 i7 M150.7        1960
  i0 k$ `# G: y. O
179.3        1970

204.0        1980

8 d+ v$ Y4 f" C226.5        1990
- C, a- |& {% y- U& N
; t8 k: g9 o: H3 k251.4
1 `5 J+ E4 U3 x, ^3 ^3 E" y* Y0 h
0 ~: J: y3 ?, v1 ~2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
+ w% e7 ~/ O# F6 v; k此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
. ?3 \( e. |$ D0 M  |4 ?[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
: C0 E! R# u* U: D2 T: F' ?[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
/ n9 q% S! e6 r  T0 v6 _
: U2 {$ X+ Q7 h: U+ h& ]0 ]. F于是 满足微分方程：
) i2 Q0 m5 N4 K# Q5 W# p                       （1）
7 P% x: |8 x4 `. _0 |. @[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
  f$ w% k4 ?0 t8 n( A! {2 }% Q[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
( b+ m& `9 e+ W2 E表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
8 V  g4 L+ f  O: l7 M5 h6 Q7 f年
(公元)        实际人口
, J5 D1 [; r: c6 e（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
8 r/ A/ ^& D* V" H, ]0 K: @5 \1790        3.9               
; m+ s5 L1 x& o3 P$ I1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
0 B7 F- e) J3 e- V3 d1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
+ a5 ]" {& V9 k, a! k5 @1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
7 ]2 K( U4 f) F/ j/ A1870        38.6        47.8        23.8
+ j# b* J( e2 b( O. N1880        50.2        65.5        30.5
8 y  G/ r/ }' }, J/ D* u' i1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
# H' a/ V* R3 S$ e* K4 t5 J1 M9 u& d  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
& A" d* }& w  {4 W9 t7 O9 V3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
9 |- O$ ^/ A6 |% g- B* _[2]建立模型：
9 K" \. t) ^5 g; p5 J   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
8 x% |" X- k+ b6 W                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
$ ]. y% Y+ B  X模型：                          （4）
( }0 Z6 O9 @: j+ c( J5 }1 P[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
  v/ m  F7 Q$ g2 i% x( m9 c    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
- j' o: }, Y, `: U/ H, B* c

7 f6 q- A3 O: L9 x# k! h

* c3 u! [3 q7 }! C, @. V+ g4 C


( S9 \: \  w8 L4 ?" ~* {; \2 Q# i
5 |5 J, k; K/ J2 u; n  {
  _2 t9 x" P6 f* b0 \/ h8 s
[4] 模型的参数估计：
; x) f8 E. c( a- c利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
7 w3 @+ \! P4 S( S4 C/ @也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
! M' p! p. ^4 g$ ]$ b4 Q) a
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
1 X* l  M1 w6 O+ I
年
        实际
( i- E# N# [4 J* p2 N: w+ b9 U, Y; N人口
3 F8 |2 ~" Z$ B, \( `(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
4 b( _5 Y/ d& @2 V% ^1 Q  v                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
* y7 Y: h, i0 w0 Q& m4 n8 z& n1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
& Q* z" a8 ?( i; o# k  F1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
5 X+ T2 F9 t8 m; C( J) |! b1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
5 K- @$ _4 _0 p2 l9 H' S1 @1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
+ ?) p  e6 B' F( ^1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
- v8 O$ p8 v2 ]6 P* c; ~1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
0 P& {2 H" ^- v1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
* p' \0 s( [; {+ {- L1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
9 `3 X6 P: y5 J2 X) g0 t1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
/ v, ^+ R& m& L5 z4 w[6] 模型应用：
& |: v, {2 R- F, d/ | 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
+ N* G8 ?+ N8 [x(2000)=275; x(2010)=297.9.
2 B9 X+ b! ?6 G4 W0 X; z$ L8 I也可用公式（5）进行预测.
* O4 Q) l6 p0 c; ~: e' }
) r6 w- h; O, y& ?# J% S  S

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很好的帖子，支持一下。
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