人口预测

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人口预测
% X1 M8 e- G2 I7 L1.问题
8 R- S- J3 ?" |) n1 P* R8 ]人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
) E) T2 ^& u  i/ {- e" [表1  美国人口统计数据
( e2 w9 V; }: _年（公元）
( }) E4 |9 H& I; k- H2 f
人口（百万）        1790
! j' Q3 O' G! f
/ }& L8 V% ^8 W. O3.9        1800
1 a9 Q# f, H/ K$ ]* @
5.3        1810
, {. U5 w7 W$ ]6 x
7.2        1820
+ @3 ~$ \8 ?, H; B5 f% L, s8 Y# p7 I
4 H6 e1 M! R% ^* A7 K; z9.6        1830
' Q! @( z  r  C
2 P3 h+ c& v( \( o7 f8 X+ }4 Z* D12.9        1840
/ A; j9 Q8 C% i2 @2 V
17.1        1850

23.2
3 ^6 C* w8 R' F, y$ H5 K* o- Y年（公元）
5 d8 X" d% g  W
人口（百万）        1860

  T' D) K9 Z" ~+ F! n) Y31.4        1870
$ c3 }0 g/ Q: I" E% ~" N( f; {3 }
2 D4 V; Y" V* Q9 I7 A; A1 D/ W38.6        1880

0 s3 p8 P6 L9 @, F4 e8 a. }! k50.2        1890

62.9        1900
' K# d( g4 R2 o  w1 X% u/ h% z
76.0        1910
7 }9 R& F) I8 T* O: z6 D7 F
5 D+ u2 m1 ^# r! ]. ?92.0        1920
# O2 t1 {) Q( _7 q" ^
106.5
" D* \9 w( g4 k; E8 n$ o& y# X年（公元）

$ @! I3 D8 d% s+ p: l2 O# a3 x0 [7 q人口（百万）        1930

& s5 s" }% Y% f4 V8 p123.2        1940

131.7        1950
; c, C& W# B" ~5 A
150.7        1960
+ E( |) q% C2 K+ E
3 T) \5 _8 L, B8 N. ?3 X3 v% M179.3        1970
' }* C$ V9 Z" \
204.0        1980

226.5        1990
0 l3 c: {) H* |6 ^" d9 u' b
251.4
0 J' @( Q$ g' ^' {& T
, r+ y+ v' M! J9 w, s+ G2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
& g1 O- Q& E3 I* |: v
于是 满足微分方程：
                       （1）
+ A, [  y6 t5 C# @/ I) W[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
8 M3 a# ^/ i9 i% Z3 N! @# ]) x' e[4] 模型的参数估计：
* O* o, ~" y4 B! T3 P" S* L( |要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
. ~+ t1 \; @( c& l) q通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
6 @1 C' c6 x0 }+ g: k8 H$ }   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
4 X& f; A, R8 k  ~4 l5 ]) q# m表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
2 Z  E5 x  t0 \+ y年
2 I0 I/ A: J/ z$ u( p(公元)        实际人口
2 J/ h2 O1 _) M7 K（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
' G8 X4 d& n: t3 H& [+ ^  c+ D1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
( r; O  {" e: f! `1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
; y. A8 ?! s: }- ]" [# P  t' g3 F1860        31.4        35.0        10.8
) N3 h* `# ~* O3 R/ h1870        38.6        47.8        23.8
; Y. J# d, ]8 R" t3 Y! \1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
0 u4 P. N4 g& M+ N. r! j& b1910        92.0        167.6        82.1
& W- L" H" P' C1920        106.5        229.3        115.3
+ O% ~, l/ [6 G' C( O+ J  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
' A: W1 p0 T9 e( J, h" m  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
: Z) z! G9 m3 Q% O& r2 E2 b8 |0 M+ S[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
! ^. M3 P; L3 q+ d! h9 w% Q[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
8 e0 x; L8 F* _0 O将（3）式代入（1）得：
3 D" j% d2 f! ~" |6 I模型：                          （4）
' a2 i7 e3 f; H[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

" ?% G1 r* J* V+ c2 b


1 @1 W* r' j1 r+ p$ r3 e9 C4 C



" P- N# }8 X: j5 p; m
6 w) J: |2 Y; U# s1 U
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
! T% ?& G0 y1 A/ g8 f& ]将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
( R7 S9 y' E( r( U) t也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
/ W# S0 p0 K8 P; l# _
年
# `8 {2 D  m% Y( x: F# ~( y6 I8 ]4 w) W        实际
& `  L; s$ W, p5 B人口
/ G7 ]% H+ U' B7 R3 k; c(百万)        阻滞增长模型
" u2 O0 |/ T  f0 y* x& m$ e                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
* K- x7 s# c! f& U) ?! `8 q1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
2 ~) {2 V; N3 C1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
6 [. a8 `+ f9 M1 E1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
# k( a5 n+ t% @* e1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
! T9 }* a! ^: a1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
) z& K+ ?) `/ q1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
7 v0 }' G, h) d1 G+ c5 N6 a, W) b1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
0 E: b) K- c3 N; Y* S. o' ~% c1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
: c& ~5 L5 q; C1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
; w$ F% g; r/ b4 f' P2 M& i1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
( C8 r5 C& I8 ~1 H7 T! i' M/ G+ }1 ^1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
! u; X- C3 }: Y+ }& c& g. l1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
7 G8 v! e7 R( P1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
$ h9 d# m" E8 B) d2 \也可用公式（5）进行预测.

% B" p) Z( \. f

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很好的帖子，支持一下。