人口预测

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人口预测
1.问题
; e- M& p3 t$ e人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
. z" i' G! }. s% m/ e表1  美国人口统计数据
, B( Q& L. f1 v' {! R/ d- X年（公元）

& Q& n6 ^4 C+ V/ X$ C1 E* u人口（百万）        1790

8 {8 c9 J8 V9 j) O8 k" W! X$ Z3.9        1800

5.3        1810
, B% Z5 l+ o6 \" j$ j0 `2 B  A
$ `1 \! K9 [6 t( j6 C7.2        1820
8 `& a* C3 h; _( U" Y
9.6        1830

12.9        1840

+ O; N5 W# t2 C1 M2 L( r17.1        1850
; U; H2 U3 u$ C4 @$ N% a
: f% e  {9 i' p1 r* b! B& m23.2
年（公元）
* m3 A) C& X; C' |+ r
. O! F" M/ U1 k* r; T% r9 Y' C0 K人口（百万）        1860

/ A% |" B1 ^5 C* U31.4        1870
' R/ n4 Z3 o2 j3 Z$ y6 Q
# f" C7 O) k" L& x; v9 z" [: \38.6        1880

/ y3 Z# f# \0 y1 C50.2        1890
  z7 J( `$ z( s1 q
& B! p. @& p% C8 @# I7 r1 a; C+ {% ~62.9        1900
- W) \9 O- L0 S3 Q& d
$ c* ?& {2 i/ s& `( _; \5 D( _76.0        1910

" j6 w0 Z( j8 C/ f6 x. f6 {, a92.0        1920

106.5
+ P, F! g; q+ _年（公元）
4 ?5 z" |" R1 I+ b0 p
( L2 D5 c$ T/ |( C人口（百万）        1930
4 a& i+ D: t" [
123.2        1940

131.7        1950
- T6 _' J; @- R
150.7        1960

179.3        1970

204.0        1980

226.5        1990

251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
% k( n2 X$ Q* v$ A9 m, T1 {/ ]此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
4 w; P7 s% E5 k: H1 M[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
% X- M# Q/ H. G4 O9 a  \1 s, G
9 e( n9 J9 h& s. j) z9 P于是 满足微分方程：
( I, A" s! D: K: n3 s8 x  x, q/ h                       （1）
) P% F; s% J% S; U" M. c[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
  `/ B) v7 f9 q9 V. P8 q表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
0 m* M3 e+ z9 t$ M; v要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
/ ?! T4 u: A7 r) ?! O' ?; e通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
/ X+ w9 m$ v* G4 v) g% f   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
' i% e1 K8 w& s, \. Z1 m年
4 b2 g( k! s8 x* O; O: R2 w+ a(公元)        实际人口
9 B; a8 V5 F( m" X( L$ [（百万）        指数增长模型
, ]! u3 @- p1 F                预测人口（百万）        误差（%）
; F5 _! p6 [3 q  n1790        3.9               
5 y2 b, y  v' `$ {1800        5.3               
7 K* i' X  ^9 ~& K3 t6 G1810        7.2        7.3        1.4
5 `& ^6 b9 R% R! j+ v1820        9.6        10.0        4.2
* q1 W" W" Z0 s- o1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
+ c- [$ k7 ]0 F6 p* c1850        23.2        25.6        10.3
+ f& x4 T* m/ v$ b1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
& b$ T6 ]0 b# \* g' K3 Y) e1900        76.0        122.5        61.2
# s4 a4 ]! O7 @- k1 L; ]. w' K1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
" e* B) G7 V. q9 n: w" U# a   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
# {# B/ u6 k/ R9 d# ~$ K  U! f  @                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
( Z  F2 c- h0 l4 ~9 H) I* h    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  


7 G1 x/ R7 g% i! Q6 k8 B





: v4 Z1 H6 Y2 T: ]; j8 s$ m

6 A2 v. n5 p1 X5 \- L. ~[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
. z7 D, \' ^" i [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
) v2 t- I+ f" M: Z7 d8 |也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

; S0 Z" [+ O0 d  A1 J: m! P: j) U# V表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
7 ^$ t* I+ U& ?& C% D+ M
年
$ f8 {! j& O9 M8 W( Y( U( ^        实际
人口
(百万)        阻滞增长模型
% p6 z, p. N. A% b6 T3 }                公式（5）        公式（6）
- G& u$ P$ z6 ]: @" O2 g3 ?6 Z9 j* @. b                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
2 w& i! F- t0 J* _: Z4 u4 O4 [1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
# ^: ~2 a6 k$ S" `+ |* ~5 v1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
, k. G1 ^+ a, x9 B: t& t! }7 e1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
/ k9 z5 s& i1 `1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
, f  i1 X" j$ T( ?" R1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
2 d) h9 R0 `1 o# w1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
# m7 A) V, l) Q1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1 T3 A, B2 X7 j" i# U1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
" J) Z9 E2 x, M! ]1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
5 o2 \9 _5 p9 K8 Y1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
2 a1 j; H, ]6 H* B2 L1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
# Y3 P8 a8 X9 G) e/ w& a0 p8 @1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
7 v1 Q/ _+ O' h* r8 R1 m4 G1 |  `1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.


, h6 u% s8 k) {2 p: P3 j, u5 F/ H

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很好的帖子，支持一下。