人口预测

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人口预测
1.问题
& ~) N& r; D+ e$ A4 e4 q人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）
  e! y, C8 v* B0 w6 i
  T1 X$ ?' ^  ^8 P人口（百万）        1790

# `  v- R' v+ S4 P3.9        1800

5.3        1810
: {# C& K+ Q$ |$ ^1 e7 Q5 k7 ?8 J9 l
7.2        1820

9.6        1830

12.9        1840
1 ?  u- Z# K# _: T8 _# R9 T& N& L
; w9 `/ j) [) Q2 y1 g  ~17.1        1850

23.2
年（公元）
2 t* G% N( \8 A; K
) o( X6 F6 ^! `! U" C- s  j人口（百万）        1860

31.4        1870

38.6        1880

( f5 p! y: `  K. H& F( G" r/ [50.2        1890

8 b  o7 J2 [5 m3 M% C# `' d- K62.9        1900

$ q' N  q8 x" j) P2 H76.0        1910

3 W0 i0 V" D2 ~  ~+ V92.0        1920
; W; o) t" o- _1 W. z
106.5
年（公元）
; r, g+ S1 q# [, T% n/ Q* c
人口（百万）        1930
: K9 G" M3 g4 \. [3 d
" n+ L/ h; K0 S5 ~' h123.2        1940
) I$ I# }8 V  E) o$ A0 r
4 o( e/ k7 e) n; x" a! E! o131.7        1950

150.7        1960
7 w  S% Q6 ~5 S
179.3        1970
* Q) F3 W. z& n
% C7 W& P3 R% `( @( K: l204.0        1980

4 b4 Q4 f% ~* F9 y: ~226.5        1990

3 @7 N% `6 S; v& I. c' z+ @5 H3 z251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
  T5 J, y6 U4 U& r) H2 p
3 R8 w$ B, F* E于是 满足微分方程：
: f! e0 C7 t+ Y9 S, h! b5 ]                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
5 E- ^2 v% T" a1 }                              （2）
表明： 时， （ >0）.
( m5 p+ {, T2 d% c2 K" @, _7 t; b[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
- J5 b: Y6 K' a" n& q通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
* S/ F; u7 u  J- W[5] 模型检验：
3 [4 q! {1 z  B4 U% q8 N& |   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
" h' S& v' V6 Q! @3 e3 d% P$ c2 W表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
7 f+ Y# a5 c7 Z4 F(公元)        实际人口
/ N: j. {/ y- q+ R9 J/ @3 s. h6 h（百万）        指数增长模型
: v0 v7 e# t7 h7 h* A# B" W                预测人口（百万）        误差（%）
2 y" E1 O+ \1 {" }$ D% m$ ~7 \! a6 S1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
0 t; ]* i9 r; x, [# I1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
9 P- |! P1 S% m, }) n' m7 n1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
9 ?3 P4 z2 V# g: |+ Z1 ^- m: a) d8 ?+ @1880        50.2        65.5        30.5
, Q9 f% i. {/ K5 m3 H  E* B1890        62.9        89.6        42.4
. \% T" j7 W5 p$ A( O8 H0 W1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
! a# }1 \5 g" @% B  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
* v& W9 R' |+ V- C2 i5 Q3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
* }8 h; @$ J! p+ C4 \9 i（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
  e& G3 n) E! b1 U! G/ q) D将（3）式代入（1）得：
: k% `/ n; S8 j* }/ \/ G9 o/ M* h模型：                          （4）
, R- c% t* r1 f( k[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
* w+ f7 j9 v6 G' r8 e6 G  ]- o    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
" e/ p: B1 Y: X9 a  b
" ?) _' A9 J6 j# j' R; U  n
: f, ?. Z0 d4 ]! J0 J' h

& R$ a* e1 ^' M0 C$ s

6 Y3 J. m* i( D
  t" }6 V& D4 c3 q/ y; o! m

- n! k8 H1 \! x0 j, X% m3 e, a
[4] 模型的参数估计：
5 [( }: l1 v% I- a利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
) L- k# d1 d# y, C( q' Q将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
8 _/ u7 V2 W6 c: J) m( V
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

0 b4 R. Y+ g8 R8 l+ m- q/ D年
        实际
/ w/ j, T8 d/ f$ X, L" Y人口
(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
' F8 t+ j2 E* f: ], S4 T% M1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
. u6 r( \; O3 W5 K" r1 x6 E/ X1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
( ]" O& K: l* C2 G, u4 z3 C: L1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
  [; D4 a1 b$ e1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
! {3 m- d( R3 G1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
0 V% l0 N0 ]. U) j" `1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
( o$ A/ @- Y* c5 E2 J. n: i2 d1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
  _/ f' C6 S0 X8 }$ ^1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
& ]* w+ x% R; x5 }; wx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.

) ~+ N% m: `! T5 S; w; v  o, N( h
5 ]$ ?3 k7 l/ G/ y/ M

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很好的帖子，支持一下。
' K9 Z! l& m' ?3 W, J, a