人口预测

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人口预测
( z( r4 _( T  y- e( h& J  o1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
1 ~' \+ e' U+ c3 B表1  美国人口统计数据
0 X) {; R6 a. I8 |8 f0 X年（公元）

, @" x( d& w' m人口（百万）        1790

3.9        1800
% e4 x: Q! C& p. ?5 J8 v7 J% _" A
5.3        1810
$ _/ q" `! Z, s
7.2        1820

  W! i. {( e; R4 ?) k$ p& A9.6        1830
* r3 o: {; j' ~9 a7 e
12.9        1840
9 t, [) a" o, }6 q2 T5 k
. V$ g+ c+ a/ A/ f7 S17.1        1850

8 L6 c" N2 E8 J& d. G. t23.2
5 y; ~4 K7 \" |6 N# {年（公元）

4 s5 o  ?2 i* V1 ~0 s人口（百万）        1860

9 |& O+ H& Q5 d% b31.4        1870

2 C) e6 B' k. X7 @2 @, p( e2 v38.6        1880
$ z6 e7 P$ F8 a) Z! K3 p
50.2        1890
: n# @: z$ h9 }3 b! i8 n$ |
62.9        1900
. Y& f; z4 O5 }7 t
7 }) B  I8 Q1 a% Q76.0        1910
' y" [; K1 k4 e
92.0        1920
7 W2 ^; Z( O' O# s- W
* |, v, f5 o- L106.5
年（公元）

人口（百万）        1930

3 \# h! [. P% [' n123.2        1940

4 Y2 v# D# L$ b131.7        1950

150.7        1960

2 @# l: D7 c, E" \; w' d179.3        1970
- c2 c. ^- }% O& R5 Y. }$ U3 w
204.0        1980

% a; o* g: k1 h9 S2 `( l+ e226.5        1990

251.4

# j# ^0 `+ i+ J1 d5 f2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
3 D5 d- Z, R* n3 F此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
) h- @$ u0 G' |% W$ j# T[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
9 q0 R0 Z  o) N  Q) r5 o0 }. F( C# |
于是 满足微分方程：
                       （1）
! d' k' a0 `! P# q. B& R4 U[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
; ], v& C1 j# ^  {: S/ i" H- C[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
$ A4 Q; [: x' N表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
7 t* V. d& k) S' D8 \6 H/ M(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
3 I, D- H- n$ C" I1 N7 O; S1790        3.9               
1800        5.3               
7 v! X0 T3 x3 p& |9 {6 e9 r1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
( `" F# z# ^, |) b: M! O- e1830        12.9        13.7        6.2
) |+ a4 x, z5 V3 @8 H) u1840        17.1        18.7        9.4
5 p. k$ n4 @0 a1 t& g; M  K& d7 b) b. J1850        23.2        25.6        10.3
9 y) X( p3 T2 [, f3 G" W/ L1 s  C1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
" V/ w! T& i3 r/ R" N1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
  ?5 j! R3 a  u+ u: [3 @* s1920        106.5        229.3        115.3
# t7 K% x5 K! Z+ w; r  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
2 M! w  X) S' K3 {3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
' s2 z5 c: c8 d  X9 x+ i9 E（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
# Y, M1 g1 Q  t: X' I. a# s4 j- Y' r（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
7 q/ n1 k8 s" G+ I[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
4 S: Z; \2 P* r" \8 O                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
3 E7 p6 x8 o- ?/ W[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
) R! [- n" w6 Z- V3 f# Z4 R3 I    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
$ ?6 {8 d- J4 [  y- r
+ }: o8 w' Y5 I" R1 b+ u
2 q6 U6 P$ a! [( m- r/ _

8 k+ i( P8 t$ l  h: j  Y) }
' D7 w! h" m3 W. T# h" o5 c. [
$ S' v* X1 F. f, w
  Z0 B$ G  T' O/ [& S2 @) Y8 V
3 O" a+ b4 \, F$ W
$ `  |0 w) B! B9 x- b
  V/ \) \8 p- }! R  a4 S[4] 模型的参数估计：
0 A! m/ ?, l6 j) X9 w3 {% j8 H利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
3 m" F" J, O0 B [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
# _: X& g" o! u% |& b      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
8 Z5 I( m% H- J5 N
  s' h5 s, }; a4 w  N" X0 m3 M" D表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

年
        实际
6 v1 B2 P. I1 d1 J0 g0 s0 A1 V人口
(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
7 k3 w. B: Y, F                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
0 t) j* Q$ y7 A7 O" p1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
. P, ~; f. s2 O# s; ]  v& d1 Q1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
7 j+ j4 j% F  i7 z1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
" Z" A) T% m  d4 A( H1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
( l* n  h0 k/ j. b+ X1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
$ g8 W" @/ c/ e7 s  ~1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
( H5 k5 P3 K/ k2 X( ^1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
8 I& k3 }* t5 F# a7 h1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
2 ]9 l% m! T+ p3 X6 ~+ f1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
" [+ z0 T/ Z6 t; C% E# v; e  ~ 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
5 d  @8 `, A1 x. H& D也可用公式（5）进行预测.
1 W5 O; z( ]6 o3 G: f" }' [+ u0 W

1 Q" y7 W2 C) r1 }* p( _8 x  O

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