人口预测

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人口预测
1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）
# _) t( S6 C& H! y7 I* T* U# z; B
人口（百万）        1790
  @2 p6 ]. B' N
* n8 _/ q: \( s3.9        1800

5.3        1810

) V- Q/ }( @3 F* \% r( d0 g# ?7.2        1820

$ r! i- M4 ?& d& \0 z7 h) |6 k9.6        1830

12.9        1840

6 ^3 A( p$ ^8 d1 X1 `* j6 F17.1        1850

23.2
年（公元）

人口（百万）        1860
! x1 L" \; w" V1 l1 q
6 o* F2 f. {& m0 w! ~) L31.4        1870
+ u. c  A) y2 b
' k- G/ ]' ^, W8 J. B( Y" [38.6        1880
% \, h0 N) m& k% L7 m
50.2        1890

62.9        1900

76.0        1910

( [6 f  z7 j; r9 H92.0        1920
4 v9 c+ \. {/ n' [5 {" I9 J
7 n, P- Z5 i9 H+ H106.5
年（公元）
. ?0 a3 v% K0 Q8 O* V% _: n
# L- o; j5 j6 M8 i人口（百万）        1930

0 c1 x2 A3 E- ~$ j+ P$ y123.2        1940
" r8 D7 N5 N; V/ `' X) h; Q
131.7        1950

9 V! f) g! l% m: e9 {! P150.7        1960
9 Z' g1 T9 L8 U, f7 @
6 `2 U/ ~. C$ F5 `4 `8 ]179.3        1970

204.0        1980
$ ?' ^  t! d, t9 h' a
' a# b, b+ m* c( b! c! M) R0 W0 I226.5        1990
/ q- C8 z, S# g( d
4 n9 m+ `+ p) R9 A5 ^251.4
' s" e4 i, U6 O+ q: W" |% ?6 b: F, x
6 `2 M, K9 P( x1 ^  j8 f  B2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
. R, R2 Z8 O' U( \此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
" c) t- j7 D! |0 M% [[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
0 ~2 A$ `% }5 b- s$ _表明： 时， （ >0）.
7 T9 {/ L* T/ ^[4] 模型的参数估计：
4 M; o* ]6 A8 \5 z- b4 v要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
5 o7 m& m8 T+ f/ X, S   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
$ P/ z6 {, F; R/ q' x! W& Q- c表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
! v( s( R! a4 t年
1 V1 q4 y2 a8 w, {(公元)        实际人口
6 y+ X3 j" V% `0 I- l0 H* d" g（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
8 {6 v. q9 K( v% \6 \, {1790        3.9               
4 Y- d$ ~- _3 _/ G0 w. a; x! Q  I1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
" V! [: Q/ K; n" U! D6 |/ s1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
: q/ p! Y% E% Y) i3 T" H1850        23.2        25.6        10.3
+ R6 I# ?( `; V7 c1860        31.4        35.0        10.8
' ^5 N! F) t- r. q* Q1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
/ z5 l! l3 x! f8 Q1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
8 |$ v- ?, Z2 H1920        106.5        229.3        115.3
1 U# v. W4 z6 t9 h+ r  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
/ w: h+ m2 |" x" I& ^  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
1 P; D% @& L- Z1 i5 H4 C3 i3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
# j+ s5 P+ Y) Z; d& \) l* _（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
" M( K! I! o, @/ c[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
5 {/ ]5 b: J& m( ^2 m将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
" w7 b& v3 `1 e$ R+ f# C[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
7 \/ Q# [/ I  a8 Q8 M/ Y

/ k5 i7 V5 A' C( v2 }: D) O
+ o; Q/ d( f2 _/ `0 T; ]8 F
; n0 a: t9 ^! K5 H8 T& K9 H9 k
) o$ \3 c( z8 ?1 `+ d5 \
- Z0 M" U& J/ q. Z- `
( L7 \- Y4 {9 s0 R0 [


[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
: M1 e2 I: \. x+ u% p也可将方程（4）离散化，得
* K3 n! g2 h4 c, x: G4 u      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

. c/ f" l9 H2 L6 G/ @/ K+ n表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
" x( }0 s! `3 T2 y" J- T% D2 K
  @/ ~+ Q; E2 `) Q9 R年
        实际
  E- [8 ]; x- ]0 L: l! J7 w人口
% w9 Z: Z9 D- k(百万)        阻滞增长模型
5 I- b) ~1 U3 T9 x" x3 ]3 o# z' w                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
4 f' G# k7 G- M# ^3 G3 _  S1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
* \3 t7 A4 b7 K! p4 Z. @1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
  o: s" `% A: j1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
7 t# l" W! P$ u& u% A+ g4 u3 z1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
8 x# _9 P6 h2 R  k: Q# |$ v/ p% l1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
& E3 O2 }6 {' ]1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
- s: z9 D: j1 W+ I5 {/ v1 Z, x' J1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
+ l$ l& K) P: g$ a: ]2 Y' G# f1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
% w: n6 G/ T8 b7 ?& L  z% j, @( |1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
: d5 R' [8 {# K9 u1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
' c$ I) X0 V' z# Y1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
" \  b- l" x$ e+ u' x: C0 m1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
8 Y& D% m4 ^5 Q" ?3 Y1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
+ p2 A  ~- P/ c0 C7 Q- v3 B$ ~3 w1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
8 u/ y6 N5 L( \. N# ][6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
  L6 C' ~! U$ w" y' d. j4 ]) qx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
; ^6 o9 f2 x5 D- O* d8 p! q
* x% i; ?, K7 W& R$ P2 i% G
/ s+ S/ G# n9 A  a2 l& R

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