人口预测

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人口预测
1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
6 R4 w4 v$ F' n& h表1  美国人口统计数据
, t3 J& C2 ]7 w3 J年（公元）
, I# ?! m1 q: n+ G
人口（百万）        1790

3.9        1800

5.3        1810

7.2        1820

5 ?& @3 L+ l; k; j' O% I9 p9.6        1830
5 K9 x, Q* b: T. f- ?  e
12.9        1840

17.1        1850

  v% t8 J  \$ M23.2
年（公元）

人口（百万）        1860

31.4        1870
, T. [2 A; P' {8 F* N& ~
" e8 o& a% V6 L" {% A38.6        1880

50.2        1890

62.9        1900

76.0        1910
, F' n$ N0 L( G8 P) \( e8 B
92.0        1920

2 p, b+ g1 J$ n/ X6 u) h' u) P106.5
年（公元）
8 M6 G: o: |4 h2 ^, E  G: r  \4 w8 _
/ g/ h4 y8 a% c' L- E3 J- v: [# @5 y" L' A人口（百万）        1930

8 h! q* c1 x* w7 k+ B! b( M8 J123.2        1940
/ l% m% J$ ?+ W2 i! O
% |9 F& D+ O' r131.7        1950
, v2 I5 a; o" y, C) M+ V. a4 U. O
) x7 \( D# A, \6 S- ]150.7        1960

179.3        1970

6 W+ J& D( L' \1 s  w( F204.0        1980

  }( j! z) o: c% P) g  k226.5        1990

251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
% A8 H& }$ @3 I' c7 Y, g& c
于是 满足微分方程：
& q$ N( I! x  l7 [- b3 |3 q) \6 `                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
' K; `4 q2 r1 T! U1 _) J                              （2）
& Z$ M7 L: h4 H# z表明： 时， （ >0）.
+ ]4 C; s+ d. c% t[4] 模型的参数估计：
; p) P+ r: \; m$ E/ z3 k要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
; K& f2 D% [9 L0 X( N+ k7 i% i通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
) r7 A/ L# P( X[5] 模型检验：
% s) ~6 a" v; f0 w9 z   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
" F- z5 a  d; B) ^* g表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
. L- _7 l" h; A6 ^(公元)        实际人口
6 F2 n  U# [2 T) H' ~# ?" d（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
& q/ z# a( S( D5 \1790        3.9               
) N" n9 K- x0 R7 \, p# @1800        5.3               
. Y+ ~. N, u: w1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
$ [+ D0 p" K* C& i5 U( J1830        12.9        13.7        6.2
& Q( X. E/ R5 a* h! l/ ^8 d) j1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
9 z4 C7 v0 F8 W, I+ v, i- E* V* b1860        31.4        35.0        10.8
. p  R) {/ Z, y$ b% N1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
, W( ]. T. ^7 f+ r* U  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
' b6 F0 [5 u9 u1 U[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
) z: ^/ S' s0 @; @7 W& K2 z[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
! E# U6 ~, @! |) v" x[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
7 O# m8 E- i( |' O6 L    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
9 f$ J5 h, a/ {, R1 f: m/ P! W
% A/ Y) }8 @6 x' e) }1 o- f5 ?


9 Y' z8 N* I- g5 n/ g5 ^- s! W
( r6 x. D+ f  a7 p" l6 w! V
& s3 K; g5 `6 X* W3 v. d
6 j* A! E8 M& A4 D- C/ L


[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
' r1 v+ ]4 j( U/ `9 S6 K [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
7 P* H; Y; X5 n      t=0,1,2,…,     (6)
5 U# T& j- D" ~6 m5 E; s用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

0 W' Y% N1 l' W' H( s) j表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

年
        实际
人口
1 q+ R: L0 q; _* U; @' k(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
- f  R0 A/ e9 W+ }% r- O) `9 ]% F* R1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
2 j' [# k+ l" r2 a& X  r, s1 ?  d1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
+ Y& L( n7 ^' ]* h0 z% Z1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
7 [" F! ~3 O& p$ Y- e/ Z, T1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
( K( P/ |8 Z1 F9 o% n1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
0 r8 u5 U; I( R2 A4 }6 U6 M& N1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
4 y+ k* G3 @& I% [) ?3 f1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
2 y* P8 x; I3 K9 b4 }% Ux(2000)=275; x(2010)=297.9.
- S, w) x7 `$ ?: o- u5 @$ t2 i也可用公式（5）进行预测.
* o( A% Z1 ^2 _1 I3 |- {8 ?/ L

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很好的帖子，支持一下。