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TA的每日心情 | 奋斗 2014-12-7 07:58 |
|---|
签到天数: 22 天 [LV.4]偶尔看看III 宣传员
 群组: 2014年网络挑战赛交流 群组: 国赛讨论 群组: 2014美赛讨论 群组: 第三届数模基础实训 |
人口预测 R2 ~. D* `1 G
1.问题. k! E* h: h& k. _
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.
/ ^& j; T" U) z9 f$ {+ P表1 美国人口统计数据
' D6 o% d3 f3 k( U, ^* N年(公元) J; q: ]- S: f2 ~! O! @1 C
) c X2 D0 w9 Z- x3 c$ ?人口(百万) 1790" j3 s4 p& y' [1 r3 V& S j3 H
8 |7 _ B, d' Y: v4 S, I3.9 1800
2 I7 O/ S6 r# A9 I# s% c. A# l T! N( K( h1 n
5.3 1810 h+ a- R- w. \: x: V
3 r6 }& D l' X3 C# f: I
7.2 1820
$ W9 p5 V7 H8 U3 ]& b+ U$ b: H+ i3 `' \: t: L
9.6 18304 n) M' {" ]* \: d1 C j J" H
% X4 b! M5 b& }8 l; Y1 q: R! ~12.9 1840
Y; e* k5 i2 W0 V/ [5 F. d6 a$ r7 u5 i$ D
17.1 1850
% r2 K1 S3 B. V( A
- r- [" T, K! F; x( G% M) a23.2
. W, q0 v' N. N9 B/ f; c年(公元)
. i+ ~- \! V) G3 d5 |9 \
* c% K) B9 g+ }( t6 h0 n6 b% e人口(百万) 18609 f4 v& z9 e5 G3 U& v3 b7 |& W: B
. X7 l, ~' s7 f* O
31.4 1870# F9 c7 Z0 B% s( t! s
4 i# ^( ?# H: [7 d( ~38.6 1880
6 W8 k2 @8 j* @0 Z. ~1 e- j; E4 R8 {' J u3 l( p
50.2 1890
2 X$ s8 c- P" j, M" E+ X5 k6 G% l$ r# p, L8 v: @6 ?# Q
62.9 1900
2 \0 |, V/ h6 s0 }; C6 }# b- n4 K
9 d, k" D7 b. K5 }- ]2 u76.0 1910 V N( V& \* h8 `, @+ _
. Y! ?* _) N! J/ }# m
92.0 1920
* s" `" P% z0 l/ x: X. V! H
* P/ b( E. d. W: b& M106.5
7 O% r) ^7 v, y& j年(公元)
: j r* l6 y$ o
K$ S6 S% o1 r, _人口(百万) 1930
/ a# H* v6 p0 [$ P5 C; C# u" j) g& R, j
123.2 1940
! `6 c! @0 Q1 |- q2 X8 `
& |0 G9 m. Y: o- v& V% D7 x4 A6 o# J131.7 1950, q! e- e0 @( s4 b- V7 _, g5 q
) X) S) ^4 `: r! K' e
150.7 1960
2 n0 R8 Q/ D. b/ a, G% p( D- Y3 _( ?$ k# w
179.3 1970
% z# K, F5 a! T: k% B- x+ a' h) f2 N6 T6 I# y5 y- l
204.0 1980
& g' U3 x7 ~" P' [4 @
6 F$ ~' @0 h; ~# w226.5 19905 @! G; x! ]" R- O. t
; I* Y, j% d* {- P5 R3 w& L
251.42 V; v4 ~% P$ f1 }! h" {
; a# n1 e$ }. w0 @' R0 }
2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)" k2 `) B8 J. `0 V' \" x- O
此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出.
! ]5 C% W5 z1 w' q2 H& [[1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).
6 T8 @- O! e5 O" q0 k. V[2] 建立模型: 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:
" X: s T" E: w; C: q7 j 1 ]- n+ }8 L% t$ l$ n* K
于是 满足微分方程:0 g$ P4 ]/ s" X6 d9 o, D
(1)
( a( h9 S% h) l[3] 模型求解: 解微分方程(1)得
* Q0 I0 m8 A( X: U) w (2)) K: }/ K2 a! |
表明: 时, ( >0).
! I* Q% K# K' R; }[4] 模型的参数估计:/ c2 V; g+ G- M, V% C0 S" R" |
要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
5 G+ n$ i: I: L+ a" \$ \* ?通过表中1790—1980的数据拟合得: =0.307. ! o) f& l+ x9 f1 D0 F
[5] 模型检验:
( S3 l/ W) O x* i9 A 将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2.
2 J# M5 w, \8 M! ^- I# T8 G- O表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
+ X# R# ?; I+ n& }年
z) n9 B7 M. @5 i(公元) 实际人口
# t( _ e& q# o+ {7 q$ t& {. S(百万) 指数增长模型' _3 \6 v) I7 ]+ t5 L y) C
预测人口(百万) 误差(%)8 f$ a0 b) F" D @% F' z3 b+ }0 c
1790 3.9 % y% C( k3 w2 ], A3 ]( U0 z" H1 c' ]
1800 5.3
; W) S# \! }4 p% n* O6 j4 Q7 Q- k* E1810 7.2 7.3 1.4* r$ Q( q3 u6 n6 O) f7 V
1820 9.6 10.0 4.2
8 U m4 T! @9 |) }5 H/ E3 f/ {1830 12.9 13.7 6.2( B2 @ w! e3 ]9 y0 Y
1840 17.1 18.7 9.4
6 b7 ~* q0 p* P# ?; q1850 23.2 25.6 10.3) A r C* r* r- s" y/ e
1860 31.4 35.0 10.8
* ?9 ?3 d, F2 q _; z: e( Z1870 38.6 47.8 23.8
2 }# l* F+ i# R1880 50.2 65.5 30.5
) S7 W, E A7 m$ t5 H7 ^7 W1890 62.9 89.6 42.4
7 n8 |2 H D5 e: E T1900 76.0 122.5 61.27 A' X2 r% F, n9 u
1910 92.0 167.6 82.15 w: M. L3 X3 V) ?
1920 106.5 229.3 115.3
* z& t' E! o% T" X3 q# ?3 U* ] 从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.
- k" N2 Y2 }$ \! F. r 分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
0 J8 _! O& R; S1 }+ V3. 阻滞增长模型(logistic模型)2 S6 ^; p. Z3 S6 C, V8 H; h0 ?
[1]假设:# `3 V8 E" J. b9 @8 ]
(a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.
/ Y/ `! @9 W) ^0 B. m(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .4 I, ^4 U1 b' J! O7 Q9 K+ X4 r: ?
[2]建立模型:8 q6 N" u3 i# \ v% ~0 V
当 时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:5 I/ B" t. N# D' f, K
(3)
2 g4 X4 ^4 n4 c' P7 U9 w' s5 m将(3)式代入(1)得:
}6 R4 R7 ]7 X2 y+ D6 r! Q模型: (4)
/ B6 y, I, F# }% a" o M4 V[3] 模型的求解: 解方程组(4)得 (5)
5 P, p' V; J0 U1 J" i6 i* k 根据方程(4)作出 曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.
' R$ n" O; c5 e7 C. v
* F3 R0 I- _( \* \4 c
- G4 y, x. R+ x- p( z
& U$ U7 E2 L1 e( k, d" \9 C
0 P- A# R# v" [
, P7 F+ y) ~5 c6 f# a
" [( V( M% h/ K, X1 |5 s1 Z. c3 n9 [$ K& w/ K9 [
- Y) U/ t2 D S3 r9 \& u- F# h u, H& F; _# v% x; w9 j
- ^ y V% I8 \* C, m
[4] 模型的参数估计:
4 ]: x0 |$ c+ _利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072, =464.0 w0 d. S" ?9 s
[5] 模型检验:& Q/ d# a" Z( y: x/ H
将 =0.2072, =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.
2 }3 T' L$ y0 L- h6 G D也可将方程(4)离散化,得
" X/ ]4 L/ \+ F: T t=0,1,2,…, (6)
8 @& L2 ?. R( l3 F$ b" M/ p2 e用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.
K. o) Z+ y! u/ O6 p/ V( t2 W8 T2 f Z
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
7 ]) ~& b5 r9 A8 W, I6 Z; ] z' d
; |& s( \7 A2 p: I- Q/ B年4 ~$ S7 J5 K- n8 f' x
实际
% ~% e3 I$ s( I人口
4 E, J; G- n) x* \' ?3 ~(百万) 阻滞增长模型
a9 K$ A2 [8 G* ~# Z 公式(5) 公式(6). D9 y: H( ]" {( N9 \! A, W- n
预测人口(百万) 误差(%) 预测人口(百万) 误差(%); U& c H) \$ y- r, @
1790 3.9
% Y+ v' r0 G# s- J; p1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642
p' x2 {0 a* d' Y1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962. H) e4 }0 z- R3 f1 j" F- N3 V
1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.09574 e( ]/ X$ \" g; Y$ ^# M
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.11517 s5 l: l" |$ b+ C, l+ \0 @( R
1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.11567 D$ h* a+ B% S
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.14573 q* J d( V$ [0 v5 n
1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553
" S9 p* l3 y! g: n1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815
2 n: s* o" h: J% ]& K1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328
$ r/ S g( K/ V5 x) r: c1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067- D/ d9 \0 l8 L9 Q
1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770
7 n0 k: Z* c# D' T1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.07903 N* e9 k4 h# Y1 M$ j
1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379 ^$ b& }- y" q
1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345
2 I+ e; w. X; o+ N. L6 x9 Z5 ~1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469
) ]; P' ]! y3 w( W0 I+ S1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126
% |. A; p" e+ c/ u3 | i8 f5 O0 ?1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503
3 I9 W/ K7 j6 r P# o$ B' G1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.01388 C& r% n* ?/ D$ r, F7 X! f
1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
2 _6 \ M- ~; e2 e5 L b1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038" p8 r9 Z' d0 d& ]0 ^- I
[6] 模型应用:
3 e1 k( q- u* n8 o d4 d% g 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083, =457.6. 用公式(6)作预测得:
4 n- Y$ m1 E s3 X, `! P+ {x(2000)=275; x(2010)=297.9.5 J: b6 I' {2 S+ l, F1 }: Z1 p7 s; j/ W
也可用公式(5)进行预测.
) j5 ?* k7 z2 j
& _" E7 G; \- @5 o3 ~
! o3 G$ b" `' a; n |
zan
|