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[个人总经验] 人口预测

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    发表于 2015-8-17 22:44 |只看该作者 |倒序浏览
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    人口预测
    ( h# W5 m6 N+ \  X- j( Q1.问题
    , Z! N) x' k1 G# h' J5 _人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.% r6 Y6 e0 P, z! k1 X: s8 ^9 ]# x
    表1  美国人口统计数据$ Q" ?% V: [" D1 j
    年(公元)
    + P* ?2 D* n. F4 [9 o6 w( \1 A9 e( k& D% N  P$ h- _3 V9 I
    人口(百万)        1790
    # ^+ S4 S! u3 H! l: K/ [, \4 }4 g+ q
    3.9        1800# z8 l( j0 S+ g$ P- w

      {' R/ [3 S8 Q+ p2 ~5.3        18103 H" m7 b7 u3 y  s
    ( ~' T3 ^& k" W' d
    7.2        1820
    - C. Y+ T( ~! u  a9 M# R7 U- c' ~4 e9 P7 i" E
    9.6        1830
    $ K' F. q& r; S
    6 I$ P( ]7 V0 W  k. s5 O  ]1 g12.9        1840& }) u0 b  G: z1 }

    $ i5 o5 J& S/ I/ y6 T/ W/ a17.1        18503 j( ]9 |+ \/ ^1 c
    ' ?3 V% W, b, t/ p; Z( S
    23.24 P1 _8 s9 r+ M1 z. G
    年(公元)) J1 f" M. `$ R
    : @. s0 D4 N8 D: i
    人口(百万)        1860
    : R+ r6 W$ k6 e  n; k2 H1 @* @1 D0 B+ x  S6 U. A' G% E
    31.4        1870
    % u& ^4 R6 _! q$ U% F' F# u) k/ g$ H9 g. _9 @# C. Y4 X
    38.6        1880
    - x0 [. J4 H4 Q' g6 `* K( t# ?
    1 T' u- Y  t3 A8 {# l9 n5 g% i8 F50.2        18906 t' W; Z2 T! T; H+ G
    3 K2 \2 B7 A& |; M7 u0 r9 {
    62.9        19004 C+ u7 f3 G9 \, t
    5 u7 x$ f% w, B' k: F" N% x
    76.0        19102 o) T1 R% c, k8 T% t) \7 S. `+ O
    & S2 Q3 g) |; n8 D! z
    92.0        19201 f1 B# B- E1 r, I6 G' u
    : t+ A3 t; U/ _  T
    106.5
    : r& v1 D! w+ z9 F- L' U3 O: H) a年(公元)
    . W$ Q, l$ c4 g4 r  }1 S) b/ v
    % X# ~% G' a& ?: \0 b人口(百万)        1930$ w) L( o; Q- m2 j% M
    8 x1 ?" H3 L2 U* Z% r( K# D
    123.2        1940
    ; C& r7 D9 k5 ?! ?; z8 |6 E: e8 f8 L% [" Y. ?9 u% p' Z$ t: q. i2 m
    131.7        1950
    7 y) C* i- T, K( G) D9 @: {$ }8 p. d# t& i$ B* n
    150.7        1960
    6 C3 X* O3 Q. r$ N% j3 l7 c; v4 H: K1 A0 j
    179.3        1970
    ! L& ?9 `8 P" o$ U
    3 p4 v" e  m( ?8 O/ X204.0        19809 s; S- C$ @% b# s, u: n; ^
    ' r. X4 ]3 m+ u9 B# Y) l# V0 _
    226.5        1990
    , l9 n1 Z) U- c- G
    , O2 |3 B% V5 o. J251.4) A2 M( C/ ], U
    6 M* K0 W6 [1 i' l
    2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)" u/ H6 Y8 v. C1 z# v
    此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出./ N4 q; ^! q( Y+ E9 }& y* @9 X
    [1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).
    8 p5 b$ j" m) T3 z1 _9 p/ f[2] 建立模型:  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:5 c& e$ W4 q; ~6 r* U

    - d- p; S5 I. T4 s& s于是 满足微分方程:
    8 H) K2 }  X, L9 H                       (1)$ L% J& B. r% j1 `6 T8 B% x8 x5 s
    [3] 模型求解: 解微分方程(1)得
    " U0 R+ O5 `5 ^" ?                              (2)
    ; m! l* f3 Z: _; l$ G表明: 时, ( >0).
    + g! T% [/ i' V& o8 t$ {+ ~[4] 模型的参数估计:+ ]+ x! f- c  m6 k
    要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
    4 ~7 }# A6 Y' O. L; x/ G( a通过表中1790—1980的数据拟合得:  =0.307.
    + J6 H  w0 {' f8 ?' I# N[5] 模型检验:
    7 Y4 n8 S) c2 q; H7 y' c7 o   将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2.' i' e; ?7 @. P& t& v% ~2 S
    表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较- V, ^8 b% y* C. A" G* P: y/ Z

    ! b  f* u" [- v! E, {/ L$ i(公元)        实际人口
    3 z$ K+ H' A7 L(百万)        指数增长模型% p6 v4 r+ r" {) o# ^# i
                    预测人口(百万)        误差(%); @" ?0 {  z2 \4 T' t
    1790        3.9               
    ; @4 _0 `8 C. b* I: P8 F8 o4 B" L1800        5.3               
    2 d8 K  n. x/ W. ^1810        7.2        7.3        1.4
    ! I, l2 F: i- K7 D8 f( r1820        9.6        10.0        4.2
    & x. c9 ]5 I" ~" N1 g9 p3 W8 `1830        12.9        13.7        6.2. Y# w7 L- m; L7 d# y/ ~' l
    1840        17.1        18.7        9.4  i0 ^, |& l; Q
    1850        23.2        25.6        10.3& n+ ?, q0 V3 |  ]9 g! R
    1860        31.4        35.0        10.8: _: W0 I8 y6 X( r8 j
    1870        38.6        47.8        23.8) ?& q8 G5 [5 {
    1880        50.2        65.5        30.5( h& ?6 `9 L! F8 }- ^9 \1 g
    1890        62.9        89.6        42.4* U1 H! y- Z/ s4 u9 Z9 b4 V
    1900        76.0        122.5        61.2
    ) v! S' F0 y% q1910        92.0        167.6        82.19 u1 [; w1 g& g' C/ M2 G! h6 B4 B+ P
    1920        106.5        229.3        115.3- F% ?9 \$ Z7 D* Y* j0 H
      从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.
      Z  s4 c* U8 a0 V0 X5 ^& H  分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
    / t* {4 f: d9 K+ ~+ g/ n3 \3. 阻滞增长模型(logistic模型): @! b) I; ~5 c# Z* B9 \
    [1]假设:- V6 R* t$ B7 L
    (a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.
    6 I- @* B, U  R(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
    4 I% J% x" y2 e$ {4 d[2]建立模型:; F! w" u# r: P4 ?; t7 `4 Y
       当  时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:" E6 N; e  i* \) s# U" n
                                       (3)2 M3 i: e7 P; G
    将(3)式代入(1)得:0 D( `! m) P$ W  v
    模型:                          (4)
    + O' Q( e; f9 w3 C1 e[3] 模型的求解:  解方程组(4)得             (5)5 B, |4 o/ ^% x/ B+ R
        根据方程(4)作出  曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
    7 Z8 k! x$ j/ w4 \/ s
    4 F  e9 v3 }: B( l$ B* ]) l, }/ [+ q# l  |

    0 `0 F; ~, M( I& [
    2 A+ o  ^4 D$ @, [3 }: R. T4 \
    % }4 B: U4 L) u+ t7 n) k
    # K$ [% O7 b0 Q% q
    ) @/ G* m  T; j' e0 \$ M/ Z( W' i7 I9 q
    5 l) M9 t- `# r

    6 ~; S5 U( m( _4 d[4] 模型的参数估计:+ M1 p3 `* {+ N. ^6 M, N, w
    利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072,  =464.: r7 [' h1 u/ X5 E5 [( r: P, v9 y1 c
    [5] 模型检验:+ F+ L+ {3 x/ e; \: v0 w
    将 =0.2072,  =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.- n7 P7 U' q  i! ^# W! g
    也可将方程(4)离散化,得
    - K5 x& c& y2 {4 s: W, S' M" E      t=0,1,2,…,     (6)
    . t2 @) y7 v4 E/ D! _) }用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.
    7 g1 d7 x' U( ]# L, U/ }# N& g. n4 h6 o) a+ c  s
    表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
    " b+ P' {$ w4 ]3 v1 |7 J. i2 b" Y# ?' r- j& R
    , J6 G$ u0 E8 H  e! m& D6 h0 e
            实际
      B8 n$ `# q  H9 A6 Z% j人口
    * m+ ?& ]4 W0 a* b9 B" W9 }(百万)        阻滞增长模型9 W1 J/ t' w! X/ J. ~6 A' w. s
                    公式(5)        公式(6)# ^+ q! L1 @8 @2 }$ a
                    预测人口(百万)        误差(%)        预测人口(百万)        误差(%)
    8 m$ O( ~1 J) L' E6 ^1790        3.9                               
    # O2 ]3 f( U- \0 q1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
    5 I! P/ E9 S0 ~% N9 W1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962  s5 _$ z, P. h1 ]# X/ X2 C
    1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957" N; H* R- V0 Q
    1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151. f: t8 |4 G8 B$ p) v- j4 }
    1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
    , k0 i/ N' X& m4 L, X* h* q1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457. |1 u( N* ~0 t7 A& P# j
    1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553' @8 L5 p2 Z1 A# f1 B
    1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815  O! I$ W) a/ N1 C* q' D6 v
    1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328) b. [2 K( r6 M+ R, ~
    1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
    5 |$ W) f5 F- T1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770  v: {( i. G! R" O8 O1 S9 O, N' i8 ^% q
    1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
    7 t, ]3 B4 [( V; j- @9 n4 J; r1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379) |# J7 A+ G( ]& L8 g
    1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
    ; @9 n# b( _2 C0 ?- _4 L4 ^9 s) U/ g1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469$ \6 v2 Y( I( }% U; A; l
    1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126+ v' O# L$ A) q3 E
    1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
    , z  I% C* G$ R( M: o: z1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
    2 \2 ?- O& l! j5 [! x1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
    $ @0 |7 V! y3 s- X! i1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
    5 S7 e# y( H3 o4 n7 C[6] 模型应用:
    0 D' w- o" H/ l, ~ 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083,  =457.6. 用公式(6)作预测得:
    0 z1 |9 I2 B2 L; D, _) U5 cx(2000)=275; x(2010)=297.9.0 y. y7 o% ^$ }. {8 k6 i
    也可用公式(5)进行预测.
    : P& W9 ]9 `- b4 A  V$ K  R
    1 V* u+ J1 C/ l4 ]
    5 \6 P& e& f9 Z: s4 h. s0 G1 Q
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