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[个人总经验] 微分方程模型

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    发表于 2015-8-17 22:50 |只看该作者 |倒序浏览
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    微分方程模型
    ! M7 [( C3 F2 g2 S8 K+ o/ K9 r) {3 x. ?! U0 B! n  D
    5.1 传染病模型7 |1 W  ]' W: ^- X5 _$ n. Y
    & J4 h# h" V9 x6 o5 X0 o/ p6 |) e" m    本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
    $ K, l, m/ `& `8 W    模型改进、建模目的性、方法三者配合,是本节亮点。) z7 w/ j" b$ O0 C* v% o9 ~
    5.2 经济增长模型: t0 I* T  t( c# L3 ]- ]1 v$ H7 H3 F# C8 E  e
        通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。5 n8 L. i, \& h" l$ [" {6 w
    ( P$ C$ H3 ]4 J, t    本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。9 D4 @: u- p2 K) S- F$ c( r3 S* d9 }4 {( C0 N& }6 @5 C* X" d) @9 g
    5.3 正规战与游击战7 c* ~' @4 W) b4 O8 I
        这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。0 g6 ~% u+ }5 T5 ]% S
    - d) j0 E# J% d% }% l5.4 药物在体内的分布与排除  s  f; G) N5 V7 h1 t1 G
    " I8 h% P& [4 r$ [1 b! D    本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。( C# c! @( h5 T; t! j0 _" c% g* G2 \& Y0 ?! F+ e5 y9 ~
    先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。5 ]+ L. I5 o1 q- C  E
    5.5 香烟过滤嘴的作用6 C& h7 Q+ q" O+ R+ N4 c! [& {
        看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。: j3 M1 Y- e  |8 E6 G
    5.6 人口的预测和控制- |* {, ?, r3 R" }& @: g0 K9 i/ l8 k! E4 p. I- N: z
        本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。) Q6 ^  p. B; J  O$ |
    4 m2 e' J- H+ I5.7 烟雾的扩散与消失
    : P7 ^0 M, R! o, g3 h( N- V1 P' f    这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。  Y8 q- @3 X( n, |% I
    5.8 万有引力定律的发现& {) k9 k- J0 k/ N4 j
    7 M# ^2 S& w/ Q/ q% Y    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。0 v0 u+ z$ D6 _0 m
    zan
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