数学建模 目前,数学模型己经广泛应用于社会的各个领域,例如大型企业集团的技术人员研究用于生产过程自动控制的数学模型,经济学家经常研究一个国家宏观经济运行模型或某一经济行为的微观数学模型,在军事、生物、医药、环境和人口等领域,人们追求定量分析和优化决策,这都离不开数学模型。在本节中,首走介绍模型和数学模型的基本概念。 模型是人们所研究客观事物相关属性的模拟。在日常生活和工作中,经常会遇到各式各样的模型。例如,飞机模型、火箭模型、坦克模型、水坝模型等各种实物模型,以及用文字、符号、图标、公式等描述的模型,如模拟的模型、数学模型等抽象模型。 什么事数学模型数学模型的含义很广,提法也不一。一般来说,按照广义的解释,凡是一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式代数方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程等以及由公式系列构成的算法系统等都被称为数学模型。按照狭义的解释,凡是将具体现象、事物的特征和性质给以数学表达的数学结构,如各种等式、不等式、图、表或框图等,也叫数学模型。在这篇文章里,数学模型作狭义的解释。即以解决某个现实问题为目的,从该问题中抽象、归纳出来的数学问题就称为数学模型。更简洁地,也可以认为数学模型就是用数学术语对现实问题的具体描述。 从以上的定义可以看出,既然数学模型是为了解决现实问题而建立起来的,那么它必须能够反映现实,也就是能够反映现实的内在规律和数量关系。但是由于能用数学表示的事物是有限的,因此在许多情况下,与现象完全吻合的数学表示是不可能的。数学模型作为一种模型,必须对现象做出一些必要的简化和假设,首先要忽略现实问题中许多与数量无关的因素。其次还要忽略一些次要的数量因素,从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律。 数学建模就是数学模型建立的过程。然而想建立这个过程并非易事,通常需要经过多次反复,即通过对现实问题的探求,经化简、抽象、建立初步的数学模型,再通过各种检验和评价,发现模型的不足之处,然后作出改进,得到新的模型。通常这样的过程需要反复多次才能得到理想的数学模型。 由于建立数学模型可以使用所有的数学工具,现实问题又是多种多样的,所 以造成数学模型的种类繁多,使用不同的分类标准可以获得不同的分类结果,按照目前常用的分类标准数学模型可以分为如下几类 按变量性质根据变量是确定的还是随机的可分为确定性模型和随机性变量模型根据变量是连续还是离散的可分为连续模型和离散模型。 按时间关系考虑模型是否随时间而变化可分为静态模型和动态模型。 按研究工具可分为初等模型、几何模型、微分方程模型、运筹学模型、概率模型、统计模型、图论与网络模型、层次分析模型、系统动力学模型、灰色系统模型等。 按研究对象可分为经济模型、生态模型、人口模型、交通模型、战争模型、资源模型、环境模型等。 按建模目的 可分为分析模型、预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。 按内部结构 可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 白箱—把研究对象看作一只箱子,结构和机理都比较清楚。例如,己经建立的力学模型、电学模型等。 灰箱—如果对所研究对象的内部结构和性能中,既有已知的又有未知的,非确定的信息,就称其为灰箱,如经济、生态、气象、管理、社会、生命等系统中的许多问题。 黑箱—对所研究对象的内部结构和性能的信息完全不知或知之甚少,就称其为黑箱。如生命学科和社会学科中许多机理尚不清楚的问题 # l' L+ p0 D; g' r: y. ^/ N
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