三级倒立摆系统LQR 最优控制的研究

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三级倒立摆系统LQR 最优控制的研究

线性二次型调节器(LinearQuadratic Regulator —LQR)中，矩阵Q和矩阵R用来平衡状态量与输入量的权重，对闭环系统动态性能影响很大。一般Q和R都取为对角阵。目前确定加权矩阵Q和R的普遍方法是仿真试凑法，该方法的基木原理是:首先进行分析初步选取Q和R，通过计算机仿真判断其是否符合设计要求，如果符合要求则停止仿真当前的Q和R值就是实际控制系统所需要的，然后求出最优增益矩阵K,把K代入到实际系统的控制器参数中，这样就完成了控制器的设计。如果不符合要求，则须重新选取Q和R值重复进行，直至符合实际系统的性能指标要求为止。

在倒立摆系统中，Q、R 分别用来对状态向量 X,控制向量ｕ引起的性能度量的相对重要性进行加权，并且Q、R的参数以及跟随速度、角速度大小的关系是相互耦合的，应综合选取。一般情况下：R增加时，控制力减小，角度变化变小，跟随速度变慢。矩阵Q中某元素相对增加，其对应的状态变量的响应速度增加，其他状态变量的响应速度相对减慢。如：若 Q 对应于角度θ 的元素增加，使得θ 的变化幅度减小，而位移 r 的响应速度变慢；若Q对应于r的元素增加，使得r的跟踪速度变快，而θ的变化幅度增大。在利用 LQR 方法进行倒立摆最优控制系统设计过程中。Q 和 R 也取为对角阵。当给系统施加一个阶跃输入后，得到系统的响应结果。从响应曲线可明显看出是否满足系统所要达到的性能指标要求。通过这样反复不断的试凑，选取能够满足系统动态性能要求的Q 和 R。

三级倒立摆系统的控制目标是：系统从不同的初始位置起始，当达到稳态时，三个摆杆都直立不倒，且小车能回到导轨的中央。设计中考虑到系统的自然特性，即：运动的过程应以稳定上摆为主，中摆、下摆次之，最后考虑系统的水平位移。可以依据此要求，选取合理的加权矩阵 Q 和 R， 然后便可以计算出使倒立摆系统线性化模型的二次型性能指标为最小的状态反馈增益矩阵K。

在利用LQR控制器进行三级倒立摆的实物系统控制实验时，经常出现撞车和死机保护等现象，实验未能成功。这主要是由于LQR控制器的响应时间太快，以至于冲量太大，难以用于实物控制。但是，利用LQR控制器，可以成功的实现二级倒立摆系统的实物控制。

通常，计算机控制是将被控对象的部分状态值(如温度、流量、转角和位置等)进行采样，并通过输入通道将模拟信号转化为数字信号，传递到计算机中，计算机根据这些数字信息，按预定的控制算法进行计算，得到控制量。然后通过输出通道将数字信号转化为模拟信号，施加于执行机构，来控制被控对象。

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