关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）

释永思

关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：
, X' g1 _/ v& T! ]8 U" n+ F                   2016.04.22

经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
. }) m/ J6 r6 g; T6 C5 [设k = n+1是最后一点。
- j3 g3 c1 S0 m+ y4 M任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
( f9 y+ _+ F% a2 _8 _- [/ N任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
- Y4 W" n! ], ^* N' k' M设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
所以弗洛伊德算法成立。