关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）

释永思

关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：
* c5 B4 K+ E6 k0 v( z' d- V( O                   2016.04.22

* o$ e# g! ?0 A5 P, K经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
5 ^* Q. ^9 w' W! W: f" a# [) V设k = n+1是最后一点。
任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
8 n% W9 w6 M+ l任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
: ?+ W1 V" Z- I1 N# X设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
8 }% ?& @, r3 P- s) \0 Y/ s" ]所以弗洛伊德算法成立。
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