关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）

释永思

关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：
% ]! R. j- g* n( p5 R8 Y- ~                   2016.04.22
+ h8 M3 l0 Q3 f9 Z  L0 Z3 z
经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
* h+ k2 V  X9 N7 z) B: S, h0 ?, y仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
设k = n+1是最后一点。
1 L! j' H% }. ^! v, j# B任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
. {% a* Y' ]3 {8 }4 t8 C设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
  w7 `) U% i& B1 t& Q" S1 K  D' `如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
所以弗洛伊德算法成立。