规划问题

Jessew

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划
（1）线性规划
1、含义的理解
. g. c- G* Y! ?. O( j$ J线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
5 l% p+ H7 M0 B3 i- j# ~3 k2、线性规划问题的数学模型的一般形式和模型建立
（1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值（实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。）
所建立的数学模型具有以下特点：
（1）、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
' m2 d- P3 }  ?# `1 k( Y（2）、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
# L6 d) F) J& z$ L. l4 M6 G5 U2 j9 b9 i（3）、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
3、实例
生产计划问题
+ u+ h+ M1 Z4 W3 t- z5 z问题：
- t7 n( e' ?# Y- b9 C某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品，这个企业现有的生产资料是：设备18台时，原材料A ：4吨，原材料 B： 12吨；已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多？
$ ~: T: J$ Q# }2 k6 A$ h7 `      产品
, ]4 c' @# h7 Q+ \6 }! V. u资源        甲        乙        资源量
设备/台时        3        2        18
. v# ^; R# ^) r. k! Y* o5 {; s1 G原料A/吨        1        0        4
原料B/吨        0        2        12
单位赢利/万元        3        5         
0 b9 \* Z3 @' B8 D) N5 [设x1为甲产品分配的设备台数，x2为乙产品分配的台数。则
条件限制为：
$ g+ ?& a; l1 J% x) v3*x1+2*x2 18
1*x1+0*x2 4
0*x1+2*x2 12
2 R( i4 s: b- D0 ox1 0，x2 0
求max z=3*x1+5*x2
用lingo编程，程序如下：
max=3*x1+5*x2;
8 i. a8 O6 F+ z3 E$ W2 M3*x1+2*x2<=18;
! o8 X& _  f3 T6 a! a6 M" Cx1<=4;
x2<=6;
* w7 }3 q% i/ wx1>=0;
x2>=0;
结果为：
0 F" Z6 l7 u% |: C0 QGlobal optimal solution found.
* q' ?* d$ B* ?% R5 ZObjective value:                              36.00000
- @7 q7 G! s5 d( N8 @7 STotal solver iterations:                             1
7 ^- |0 ^8 l  p1 w        Variable           Value        Reduced Cost
) B0 M8 g$ W: l                X1        2.000000            0.000000
                X2        6.000000            0.000000

1 }0 S8 r' Z  y2 E  l( }# \        Row    Slack or Surplus      Dual Price
         1        36.00000            1.000000
          2        0.000000            1.000000
          3        2.000000            0.000000
/ W( x# B6 e6 C+ `3 d" [$ J          4        0.000000            3.000000
6 e5 v2 r3 p  n7 m/ l          5        2.000000            0.000000
# f7 W# \7 K, {4 ]+ u          6        6.000000            0.000000
即在x1=2，x2=6时，企业获利最多，为36万元。
8 |, d5 u2 P# u' o4、线性规划的应用
在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果. 广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
（2）整数规划
! z" o% ]# a- J0 _! C& D一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。 　　在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求某些变量的解必须是整数。例如，当变量代表的是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变数仅限于0或1。不同于线性规划问题，整数和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。
组合最优化通常都可表述为整数规划问题。两者都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定约束的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险队问题（组合学的覆盖问题）、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。
4 T, k4 n0 G( p% M7 q3 |5 c整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。
0-1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价，用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。求解0-1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
（4）二次规划
- Y; B3 f6 Z9 Z! C: j二次规划是非线形规划中一类特殊的数学规划问题，它的解是可以通过求解得到的。通常通过解其库恩—塔克条件（KT条件）,获取一个KT条件的解称为KT对，其中与原问题的变量对应的部分称为KT点。
% o% w6 I2 N& S$ ]' O/ P; B% B( n二次规划分为凸二次规划与非凸二次规划，前者的KT点便是其全局极小值点，而后者的KT点可能连局部极小值点都不是。若它的目标函数是二次函数，则约束条件是线性的。由于求解二次规划的方法很多，所以较为复杂；其较简便易行的是沃尔夫法，它是依据库恩－塔克条件，在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。

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