规划问题

Jessew

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划
+ a/ K* X* E% \8 h9 C) X（1）线性规划
8 `! B# _( W/ v% p1、含义的理解
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支。
+ X  k1 @7 G* K+ c- |* L3 K在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
2、线性规划问题的数学模型的一般形式和模型建立
（1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值（实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。）
所建立的数学模型具有以下特点：
（1）、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
（2）、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
/ u3 J% |( ]3 q+ k（3）、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
2 W- \* z2 `" \# f8 o1 L' R; j3、实例
( s. _  D) ?" p  _7 `生产计划问题
问题：
某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品，这个企业现有的生产资料是：设备18台时，原材料A ：4吨，原材料 B： 12吨；已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多？
. w. b. [; c; \1 q      产品
资源        甲        乙        资源量
设备/台时        3        2        18
原料A/吨        1        0        4
原料B/吨        0        2        12
单位赢利/万元        3        5         
设x1为甲产品分配的设备台数，x2为乙产品分配的台数。则
条件限制为：
  ]5 m* |0 U; o1 H( H/ r, v3*x1+2*x2 18
  f) `% w4 N, e# t$ ?9 u" ?1*x1+0*x2 4
0*x1+2*x2 12
3 F. s" H; Y, ?0 G" rx1 0，x2 0
求max z=3*x1+5*x2
用lingo编程，程序如下：
max=3*x1+5*x2;
6 j8 [8 x; v  w' z8 i$ T/ R! i3*x1+2*x2<=18;
! A5 {& w* O6 x9 U/ Ux1<=4;
& ?3 K+ o5 U' E4 H, jx2<=6;
7 }1 _9 I9 H( W7 w7 \* N1 Px1>=0;
4 j. e7 M% C+ E5 N3 `. _x2>=0;
) m2 w, X4 }' f8 \结果为：
Global optimal solution found.
6 D- p1 U5 u/ T9 g3 g* N3 {Objective value:                              36.00000
9 M: T1 O; J  F. i5 h* I4 N0 xTotal solver iterations:                             1
        Variable           Value        Reduced Cost
                X1        2.000000            0.000000
$ J3 [4 `' s/ Z$ K                X2        6.000000            0.000000
+ c( U" ?' m! t2 C: i7 q
3 S1 e: g: O# j        Row    Slack or Surplus      Dual Price
/ Y# R/ _6 N, L+ I         1        36.00000            1.000000
7 U# k3 Z# B, {) C6 N: N7 F+ A+ r* `          2        0.000000            1.000000
7 ]* s( N( z0 {" |  e; g          3        2.000000            0.000000
. ~' {7 k2 O2 V4 q) @* V          4        0.000000            3.000000
          5        2.000000            0.000000
          6        6.000000            0.000000
* P/ b+ F. `* p即在x1=2，x2=6时，企业获利最多，为36万元。
4、线性规划的应用
在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果. 广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
（2）整数规划
4 d9 t8 @3 e6 }2 }( y  l7 ], k, M% B一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。 　　在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求某些变量的解必须是整数。例如，当变量代表的是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变数仅限于0或1。不同于线性规划问题，整数和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。
组合最优化通常都可表述为整数规划问题。两者都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定约束的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险队问题（组合学的覆盖问题）、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。
) g* u  l0 p- u5 g) N整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。
6 h( Y. a0 F. a  Y0-1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价，用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。求解0-1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
（4）二次规划
二次规划是非线形规划中一类特殊的数学规划问题，它的解是可以通过求解得到的。通常通过解其库恩—塔克条件（KT条件）,获取一个KT条件的解称为KT对，其中与原问题的变量对应的部分称为KT点。
1 T$ z$ |9 H  s" Z) V2 R! q; V6 J, m二次规划分为凸二次规划与非凸二次规划，前者的KT点便是其全局极小值点，而后者的KT点可能连局部极小值点都不是。若它的目标函数是二次函数，则约束条件是线性的。由于求解二次规划的方法很多，所以较为复杂；其较简便易行的是沃尔夫法，它是依据库恩－塔克条件，在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。


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