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[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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发表于 2005-3-30 23:34 |只看该作者 |倒序浏览

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

: }0 L1 X6 K- h* u n
对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

6 ?- M% t( W" r7 Y
移项，得

- U( E0 O4 ^6 j2 T& Y8 }
（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。
9 L5 T) {% G3 `6 n, Y# C2 _" ?2 |
讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。
2 s: P. \. p9 V7 `/ H8 J: R

5 M: h2 N5 p9 U6 _" I
二种方程筛的比较
3 x% x" R# f- j' N* p) D4 a2 i
包学行
/ x" [: R/ t% K" M1 z; j9 O$ O
6 N* b' ]1 w0 {4 r" n
　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：
, Q6 ]& W7 Q# Y9 ]
Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）
: q4 R( w5 T; u- _1 d0 n8 l
而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

" H$ w2 L8 H' x# ~
?6 B& V. }- p+ L, R6 Z. N
上方程（2）中的

（3）

. ^. S7 X) |* Q4 d
1 D5 Q' O+ S7 Y; n
该方程较为复杂。
$ K) ?; a/ I% f6 s" ~0 f
　　　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：
/ B/ a- o; R, ~2 ]1 f& k! b
% m' [ M: D; u* e' |9 l; d7 T
! \ l! V* A5 E+ F2 z$ I/ i8 D- ?$ y) Z) x& V, C* n9 ~ D+ p" Q t: @ F' O5 `+ w1 |/ d' r' p! ]" l0 ?" [9 y) b" F# m( N/ z# y! _3 _' W+ F) g; L1 q8 x" S. Q7 k; g1 {; {( d- s+ w7 S w6 @/ I& W/ V' k: g" ?5 \1 H, Q% y$ s. Z. B3 J6 U9 o1 i/ X! `# Z3 R& o/ s6 G* Z/ s9 N9 C0 K6 r. U' H% _4 T7 ^6 j% g" E& w% p) T* \' x: O: B' F3 _0 j3 b0 f' Q& Y1 q9 s4 H/ J2 \! J; {7 }* _% A; U" w2 }" F8 ]5 ]6 u6 U% k7 F- {* y y9 M( x: H! h4 b6 U4 `1 k- `* S& {) @( R2 a$ D6 e3 e3 R, `; y2 P4 s( b) P7 @# u. F, `* T/ v5 d$ y- p9 n9 U& S6 e% c! n9 l/ q! \, _' w7 G) l8 d

　 yujun 的方程筛（1）作者的方程筛（2）

方程左边函数结构简单复杂

方程左边函数值的意义定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。

方程左边函数值的变化特点$ Y' n) H8 t1 {* [& F （对自变量为素数到合数的变化时）从 0 变为一个大于 0 - w/ }3 T% D% i4 X 小于或等于 1 的数。从 0 变为一个大于或等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点$ N+ n1 W# y* {* Q& ^4 ]5 ` （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。从 0 变为等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点 " [6 a$ w9 [1 ~, e) O（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化从 0 变为一个1 q1 t$ z6 b# X& v$ e; P 大于 0 且→0 的数。从 0 变为等于 1 的数。
d: E. P% ^! e1 J2 l8 M: Z