[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

6 g1 K0 B, g3 U5 N# l7 P

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

/ t9 s4 M1 |- I$ L

( {; Z3 f# H$ m7 N; Q: v

! e- Q* C2 J; g% }+ O, B3 Q

移项，得

7 H2 {" E, M i( F! T, [; M

Q$ M) L/ X4 Q: L: ]* x' A

2 X( G) v" W8 O) e6 I

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

二种方程筛的比较

包学行

, Q/ m# @9 n" B( }

( |8 O* N, W& L" R4 N! e: R- n* o) X

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

* @, R4 L1 c: P+ c9 |% h

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

$ A- i3 c1 r, R3 i8 |. E

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

/ R: q/ z' U2 Q# E+ Y+ X. s" L. N! J

1 T. ~, N/ w5 ?: V: s; S& n/ h

（2）

/ C+ T7 _1 T: w8 [9 O0 J/ }

/ `9 T! [# ]: w4 p9 ~

上方程（2）中的

8 A) `6 u+ n. H# @; H4 @& t

0 O. j; H: r: e/ m4 S. h1 o

（3）

" A$ d8 N2 B2 ^' t3 o: o' b

- {% R% q, @0 s. _3 L

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

/ f% w6 a _! x4 n+ x

3 V) l$ m2 g- k" @5 N9 i( I2 l8 F

! h" J( Q0 E3 z$ V, B ], d; e0 G3 s* c& O( [8 u& }3 P. ^/ B5 G! ?; b( u; K1 y) G4 l5 w) d3 {3 R" C2 K) M' F) ~, g3 H' H% }8 ~: Q" g) Q8 x/ m! `7 g& w7 G, I1 m" _) C& b2 S4 U# o7 `1 j0 R8 J& w7 L; J4 B. l$ f& l7 } b$ }6 j9 q9 w5 U3 l2 g- W3 X. f: X+ L4 n$ ^- J7 `( C# ?3 T* r; U. t4 s- ^# ^+ z0 v O, G7 f) a ]" ?: i' u3 c# r% r* o- O% M* k& N( ]3 P( I" i( W3 r+ d, W; ?/ b3 `% `1 N9 b% C) E+ N; p D- l" v$ {8 y' K! H5 m( T" _/ i' c$ e0 Q# O

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 / {" [5 K5 x' V5 w3 M3 K（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。