[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

! h) ?! C# U( u- ~% |; r0 `& X

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

& b* U8 l F! U+ p1 G) H3 n) X

2 F9 {; A1 j3 ]

移项，得

3 u1 I; J8 ~/ g

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

: h7 D. V5 ~5 a+ Z% j1 B

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

3 h1 P8 x* w* R+ O, `/ j

二种方程筛的比较

`% d, E+ |6 j5 ^

包学行

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

, s; r4 X+ a7 L- s9 d

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

* K/ d/ |+ M* m" j/ m

（2）

' J% N& b( S& U+ m e- E

$ \' w s9 ?$ S6 O4 F+ a' W$ B

上方程（2）中的

* h9 ~6 Q6 M1 l" T# G& ]

/ h% T' i: m; }, D- {# J2 `

（3）

+ b& E0 v" U5 Q& ]: Y4 a* [

) w" k9 U# A7 Z4 g# c) _& ~7 C4 x& K

该方程较为复杂。

3 N& P: h& o. t3 |% u

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

1 k$ ]' g3 k" l) Q6 H z% N

o* ~" J! \ r7 ]$ [- _+ y; U! R7 z' c) v& b ~# f7 K9 Z. n# h3 E# g) q1 ~, n. d5 _6 }8 N' l$ i H' ~) _% P, ^ |' K* H `, @+ u3 T- a, H1 J# q2 C0 }' J+ |2 K8 g8 w& S3 j5 g+ }- b3 H) S n1 @" y0 T3 p( X ~8 y; h$ r% U* ?" r& k+ B: Z+ X$ {* f. p9 v. i% h; @8 ?( r, _" m: H1 p: t$ Q6 O6 k; ]* x) O/ F3 `* g+ p R4 R* y0 f) Y9 I0 O2 s# S* ]" {! ?: K7 z

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 / l' g, m& n* k& n' P* F0 n/ I# _小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 8 w8 f) Y% o) d8 i（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 9 r+ H4 t, P$ _. v$ y7 ~大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。