[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

/ v# { c" X& f

3 y2 K S! C ^

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

6 _2 I; o1 R7 k/ t1 s

. x$ l& U& Y; w2 z; r2 \

移项，得

, q0 B9 H3 m) m- i/ H5 l# R

' H/ m' l3 B2 z" P6 K

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

7 c# h0 K& W. M# e5 y# x( U

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

* o, t( a/ T: W6 l: w; v

7 b3 P1 N2 _6 V" g

二种方程筛的比较

$ q8 k. w( N- j7 R. y$ Y. z) [

包学行

6 h0 z* f9 ^3 f

9 M4 d( E/ I6 V3 N

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

6 ?+ l2 K9 {0 g" j

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

; d; P W( |3 y

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

2 f% J' q; B9 z! V9 Q! c

9 D8 W6 z2 n& @4 x! q, [0 s! O+ {

（2）

( J& |& y$ F" t6 H6 O9 e) O5 k

上方程（2）中的

0 _! B% B' C% X: L/ z

. A+ c6 \& \( R. X7 j

（3）

( y0 ~6 R5 r, [! T8 G

6 O: y$ o. t9 V) l" O ?; a

该方程较为复杂。

6 P6 k5 H8 t+ F" h

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

3 V6 `) [- R4 C6 M8 N5 V

! r3 @; p) y( F7 z3 T( o8 g

t' t3 ?: O" P' d9 R4 h( V, N8 W+ a0 Y d# M, \8 y( g; L+ G, L, f* u4 [3 q0 o- W4 W$ R; [: s, }: i0 i' U: B5 f$ y& n7 z; |" v$ U# L- f: G* k3 j1 S% g# l! q$ x8 ~# p7 B% Z9 v4 A' M0 y; d0 k3 g# ~" |" `* q [ s- t. N& b1 {/ L$ w% k4 l% J! s% U. q* i+ c z2 |- q+ y) k# A5 | A) p& I. t, g/ Z+ G

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 / u- x, W( m( W# C, l$ y（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 # N( R0 s2 l4 a小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。