[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

/ {6 _' u' P6 [& Q) I; J

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

移项，得

( Y4 T8 Q5 d5 ~# C

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

; X0 z2 c* n, V" z2 Q4 Q

二种方程筛的比较

包学行

) y K0 o6 G/ N# m

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

上方程（2）中的

（3）

0 U& I8 g, L# ] Q. K. K9 `& v

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

3 T: k/ M( T6 {0 c7 a

- _8 p1 m( N5 h- T) K0 h

1 Q4 x/ P; c g* t: v6 T% p; w, ^; J! d0 B" i9 g) _. {1 N8 ]7 y& G2 D. L/ Y- ~5 t% L, V% ~/ ~% j- v5 r* O$ y, O. j, F. e0 ?; R& u1 v% }5 r6 ~$ i' i3 M3 ?: X8 M$ s# B0 }1 ?, }1 F. A4 f9 I6 ?# T0 ~) a h: e5 f/ B& ]0 C9 o5 B" L4 K! U8 A& R! t7 }0 G6 d( y- f: v) D, p& y0 j) f- e6 e2 q$ k; X3 R$ E' K2 Y+ B) B4 q- d5 J% v+ i, N4 e) y8 j j9 P: B* K( Z1 ]' R

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 ; g t }: e7 {. e$ o, Z（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 , @8 O3 u' j& n: ?% I1 w; i小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 ; c% O: s% B- L4 {( I（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。