[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： " u" i+ A$ D. ~8 }

# |" Y8 z% L! B- ?$ C m4 u

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

7 L- W+ C e; [" D5 t

5 V* R$ R8 T9 A; Q4 U7 V

# V ?! ?6 r7 t2 x5 Z2 E$ c6 x

移项，得

8 ?' K2 K$ K2 s3 P3 @, ?

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

- J- x# S5 _, D7 ~

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

) K$ c0 s1 B2 b! @

二种方程筛的比较

包学行

4 l, s5 j( t4 P. S' T: Y7 d

; \4 U, U/ q: t

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

6 y( [. `# C9 e, ^3 w

1 n5 a. U3 a. V+ v$ a

（2）

1 V( s4 x' c! ]- N- M, Z4 D

上方程（2）中的

（3）

. p+ J4 |) Z+ S( Q

. G7 e# j L5 U! G+ ]( N

该方程较为复杂。

0 t0 m1 z" ^: V& f. W, O

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

8 J9 L1 \% p) V3 x/ R9 X# c3 O; ?+ Z; s! z" B; b S0 Q @2 s% j( b2 _7 E: b. _& P/ W4 L) D! D, @' i. r2 H4 Z7 T# w) A4 j4 K3 h, P b' |% d1 a* X* F8 [! W% ^5 x7 o5 }& n8 |# S7 K9 }7 D' R2 f& i, c j) f! D3 f+ G* x& b n- ]( y( C- \' m) x) Z1 T! l3 K8 H+ H6 u! L% F; e& \' P( a6 |

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 & _/ R& k* n8 }' ]（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 0 D* r/ s9 E% r1 t（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。

" n3 J8 S) j0 a4 J, x