[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： 1 \+ U, h0 X k2 G; P5 m

6 {7 ~6 B; n5 o* S

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

( j& H \& D0 S" E+ t; ]3 ]( z3 i

, ~9 N2 O3 x1 |' m

$ G5 r" N0 q# E3 Z; f0 b( ^. V+ N

移项，得

: ^/ o2 S i' {# n! h- p

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

3 ?4 M+ }$ T+ O

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

) P1 b9 n5 f I2 g% ]. H

二种方程筛的比较

* N( k3 h4 s+ I+ d/ G9 F0 t

包学行

! T; p; W, Z5 I5 |/ G

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

& k# |4 r1 U: h6 ^; d

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

; E( U# q) F- a; M9 z2 V2 n& `4 U

（2）

- h: L; ?8 ^0 ^6 i1 D% ?# q

上方程（2）中的

6 }, E: R0 I- f& ~7 U

（3）

7 I, N# [4 z4 e9 \! o4 z

% ^6 N1 {$ L% \" ~

该方程较为复杂。

# E2 T, g7 I/ B# J

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

; o2 u/ P: c$ [

0 f7 u+ K9 K' r+ k$ @. r1 i% l1 ~0 L2 W% R: D. u0 f- \7 _- h1 k# P! _1 j0 t+ b% Y& o4 s8 r5 k+ H+ P1 `6 q* ~" ?. m) e: V- p& b" \' S9 t5 k7 R/ v1 u0 a E3 V, J3 z, }- R9 H! ]& o$ m% W+ i7 z. K3 ~: u+ [/ Y3 t7 m( v- ?9 A/ M, i3 E2 s# P( T0 ]* E2 S- V3 T2 Q- y2 ^' X6 }" e$ e. s8 S8 b: e1 i U; |5 {) v2 ]5 O

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 : _. u/ p9 j. z3 E9 v+ Q小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 3 `: b; [) T4 L% s( w. m（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。