[原创]实力论文 jpb2：推证哥德巴赫猜想

god

程平 先生：

5 G1 W& u- x. {* B

你好！

! L6 l7 i1 w2 S' s: N7 Z

现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。

推证哥德巴赫猜想

通俗易懂，清澈透底。

名词：对称奇素数。

内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。

1 -------- 对称奇素数：

设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：

N-si 称为 si 的对称数。

N-Fi 称为 Fi 的对称数。

若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。

$ J0 S1 _4 Y2 ?* @

若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。

p Z3 k5 I% U: B! ^

例如：

偶数 N = 6，不大于 6 的：

' Z5 X- k# @. S3 l

奇素数 si 是 3，5，有2个。

对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。

对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。

H% d$ N$ w; }

合数 Fi 是 4，6，有2个。

! B9 e; d0 [7 Q' C8 T. _4 B

对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。

9 R0 W* g/ L( H8 U# y

只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。

: }$ P v O/ ~1 Y2 s7 F3 }5 W* Y3 I

N = 16，小于 16 的：

奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。

% f& }& i0 F- k5 D. L

对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个

6 O0 _/ Y6 W: t3 G9 d" K, w+ ?$ Q3 d

合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。

3 ^/ @9 D5 Z& r' i6 }. h

对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。

1 S0 h% S2 l, \( C) o

2 -------- 等价哥德巴赫猜想：

设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：

N > F -------- (1)

, O0 V; X+ s2 j- F+ ?

设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：

π(N) > π(F) -------- (2)

这就是等价哥德巴赫猜想。

+ S! z/ r0 I4 {( t- d. V

这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。

% P- m9 g0 y6 p5 I, \$ v

例如：

N = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。

对于任何有穷偶数，(2) 都成立。

3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：

证等价哥德巴赫猜想有穷成立：

根据初等数论：

设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：

π(N) = π(s) + π(F) -------- (3)

对于任何有穷偶数，(3) 都成立。

例如：

; b$ H( N6 q# m6 m9 ?

N = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。

设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。

J [( Z4 q% g! H) h8 v9 ^; J/ f

根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。

也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。

! r% e' j- v2 B# h! @% m: p , I" [* K3 \) Z7 N( ^

证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：

把F → N 的偶数称为大偶数。

- ?8 }' G# \7 L& u; F2 B % a8 J# O2 f# u: \5 T( Y

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。

设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。

3 |; t. |7 {4 ]1 D

根据数论知道：

+ _1 N' ^5 ] _7 j O6 ?

若N → ∞，则F → N，得：

lim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：

lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：

N π(N) / N π(F) > 1，变换得：

0 k7 t" C! u+ z

π(N) / π(F) > 1,

由此得：

{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)

+ S: W+ o' e$ o) I. S* i0 ^

由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。

由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。

7 B( N9 z5 n8 E" r! P7 y. S

4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：

?0 }; g) I- z+ a

由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：

+ y: l' V! N$ ` ^

π(s) ≥ 1。

这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：

: L; n+ J2 @$ g2 k$ Q v

N = si + N-si，

+ u& s! U7 ^& i: ]- K

哥德巴赫猜想成立。

* R9 x5 o5 ^3 {* u5 \! H7 {

参考资料 1 -------- 比较：

9 s; t/ Q! }! x# q5 [, ^

N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF

10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149

$ Z1 W, t5 A/ d4 A) m1 M" o& l2 x# O

10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110

10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088

1 ^6 h; a: j. n3 n% ?

10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073

1 r/ h6 X6 G L

10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062

+ U4 v2 s" M( Q

10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055

10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048

10^16----0.027-----------0.027------ 0.027

$ Y2 l, L8 x: F. T6 O; F% s: N. M

10^21----0.021-----------0.021------ 0.021

$ Z0 z. m% [. @" [8 a1 f& Q

对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。

对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。

理论符合实际。

! v; d' j+ H& G) `

参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：

N =π(N) + F + 2，得：

π(N) < N - F -------- (1)

根据 (1) 由数论知道：

π(N)→(N/lnN) -------- (2)

" d1 i2 w$ p; u" C

同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：

) T' P9 \; I- M

π(F)→(F/lnF) -------- (3)

设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：

π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：

1 G8 k* {1 u; e& P+ @2 X, Z

π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)

由 (4) 得:

π(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)

9 }4 J5 h- I. [1 h

根据 (1)，(5) 得：

π(s) > π(N)/lnN -------- (6)

( i9 H2 H% ^! K m) E

由 (2)，(6) 得：

0 ]. F- H. ]6 {; H

π(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)

- q& D3 I6 v6 |9 d6 Q% S1 L

变换 (7) 得：

π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)

计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。

' |0 \. P& |' f# ?* H

哥德巴赫猜想方程

基本名词：哥德巴赫猜想方程。

1 v9 `- C4 Q2 d9 _

主要内容：确认哥德巴赫猜想。

5 X/ o0 B/ ^ ~+ E, ^$ w" D

1 -------- 差值方程与均值方程：

设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：

s=x+a，

0 t9 n: N' k7 F- O( d X6 T

f=y+a。

若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：

; p* A! ]& |1 n" i+ @7 e. [" |9 i

x-y=s-f -------- (1)

! f8 ]! f( m9 V" _6 [) y

根据 (1) 得均值方程为：

& q1 h( L. b" N! V

x=ss/(s+f) -------- (2)

y=ff/(s+f) -------- (3)

把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：

ss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。

2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：

3 e/ J0 m$ @- H, k; a/ E' B1 D, g

这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。

设一般为：

) B5 m4 {% b! J/ d2 O

k=ssy/ffx -------- (4)

2 g4 b# i8 ?" C' j, R6 X. m! u8 A% K' a

变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：

x=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)

5 Y1 l, W$ O4 N$ { Q

把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。

; n, I# k! ]9 K3 M& {! e0 T

设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：

(ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。

9 P" |$ Q* K8 g3 ?. C6 I

由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:

- w9 @5 [: a( _+ u% C5 ?9 l

kb=ss*f/ff*s=s/f。

把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：

ka =2–s/f。

3 H2 l! p/ G2 c7 p. g) i& f3 [9 i

例如：

- d) X) q0 O. t

N--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb

9 O- ]. c1 ^9 m3 P& g

21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28

21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28

21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28

9 S9 m. L s# S9 `

21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28

H# v" }: l% N5 b' d* P/ B8 H

由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。

2 H* p" G9 c" m Q) C

由方程(5)，若k < 2，则：

x > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)

1 A4 P6 Y, ~* [

由(6) 得：

x→(f-s)/(2ff/ss -2)

! z5 B$ F2 U( _- ]/ D m% |

=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：

$ m8 G# b {5 \6 a$ `# a

x > ss/N -------- （7）

由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：

0 A- i z1 H m! @! h, d

x≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)

. i- ^& T6 U! ^9 m

由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。

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不要白费心机了![em16][em16][em16]