新手建模（5）利用类比法建模

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       类比是某种类型的相似性, 相似是人们对两个事物表面的、外在的表现进行比较的结果 . 如设计飞机时, 要考虑使乘客在飞机出事时不易折伤颅骨, 用蛋壳在各种情况下被敲碎的情形进行研究, 即把颅骨问题类比为蛋壳问题, 因从机械结构方面, 人脑与鸡蛋大致类似, 两者都有硬脆的外壳和浆液的内含物 . 而数学建模的过程就是把实际问题通过抽象分析用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题, 表述成什么样的数学问题, 取决于思考者解决问题的意图, 一般在具体分析实际问题的各个因素的基础上, 通过联想、归纳对各因素进行比较, 与已知 模型比较, 把未知关系化为已知关系, 在不同的对象或完全不相关的对象中认出同样的或相似 的关系, 寻找解决问题的关键和与之类比的数学方法, 建立起解决问题的模型 . 在这一过程中, 由于建模的复杂性, 使建模中的类比是含糊的和不确定的, 同时带有创造性 .
      当我们在拿到题目后不要急着就去找变量建立方程，我们找变量建立方程一定是一个从简单模型到复杂模型的过程，如果我们先从一个简单模型类比题目中的模型，将题目先粗糙化为我们已知的简单模型，然后套用简单模型中的变量和方程，这样第一步便完成。接下来就是考虑题目的具体要求，一步一步细化条件。拿89 年美国数学建模竞赛题为例分析：
% [$ v8 `+ N: h  u1 x" Q题目大概为：机场用“先到先服务”的原则分配飞机起飞的跑道, 在一定的信息下, 开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型
1.找类比：从分配原则看应该是一个排队论问题, 可以建立统计模拟模型 .
* v) P: V# ?; P7 j# X9 M  H  V; K               给出如下的假设
/ I# z* i. ]! ^: q               设变量　 1:第 i 驾飞机被指定在第 j 个小时段窗口上起飞,
                                           0: 否则 .
8 }0 E! g) i8 s4 ?. W2 F安排方案矩阵
6 I* J9 a1 K! t

0 U/ V) V+ m5 v# A

C ij表示第 i 驾飞机从第 j 个小时间段上起飞时所需一切费用之和, 以全部飞机安排的总费用 为目标函数
* Z9 N: p/ E% r: t

' q9 h) X8 F8 w* s

然后建立一个整数规化数学模型, 使一个似乎与规化无关的问题转化为大家熟悉的规化问题来求解 .
* G- ^/ s) t' c# \
% W; M. ]- R( b      现实生活中, 人们对所研究的对象愈陌生就愈想拿熟悉的东西作类比 . 如麦克斯韦把电磁 现象与不可压缩的液体对比, 因为二者在数量规则上相似 . 许多在质上虽不同的现象, 只要它们服从相似的数量规律, 可以运用类比方法来研究 . 随着数学在自然科学、社会科学等领域的 广泛应用, 前人建立了一些日趋完善的经典模型 . 如人口模型、存贮模型、经济增长模型、交通 流等, 这些模型不仅能解决某一方面的问题, 且具有一般性 . 建模时可根据问题的要求, 考虑是 否与某一经典模型满足相似的规律, 通过假设类比联想寻找二者之间的相似关系, 建立联系, 从而减少模型分析的时间, 抓住主要矛盾, 类比成功后, 再根据具体要求, 作进一步修改、完善 . 如预报人口增长的指数模型和阻滞增长模型是经典模型, 有些问题如传染病问题、捕鱼问题, 在一定条件下, 服从于人口增长规律, 解决这些问题时, 首先, 通过类比建立各自的初步模型, 再根据捕鱼、传染病各自具有的特性, 建立新的模型 . 以传染病问题为例, 传染病受传播途径、 传染病类型、卫生水平等各因素的影响, 比较复杂, 如何解决这一问题, 首先, 根据传染病的传 染和人口增长的相似性进行假设简化, 不考虑疾病传染期间所考察地区人口的生死、迁移和治 愈状况, 把人群分为易感染者和已感染者, 只考虑健康者受感染变为病人, 这样与人口的阻滞 增长模型满足类似的规律 . 建立模型后, 在模型分析过程中发现, 该模型虽然能预报传染病传 染高潮的到来, 但随着时间的推移, 健康者全部变为病人, 显然是不符合实际情况, 于是修改模 型, 讨论病人可以治愈的情况, 寻找到解决问题的思路, 使模型一步步完善 . 另外, 模型建立以后, 有些模型求解过程比较复杂, 也需要与某一算法进行类比, 而且模型 求解以后, 还要考虑模型的实用价值, 即检验模型是否与实际问题相符, 这一过程也是一个所建模型与现实问题的类比, 这种类比含义比较明确, 最简单的是模型与图形的类比, 用图形的性质来说明模型的事实

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李江杰

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李江杰 发表于 2018-7-22 15:50
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