数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
0 s9 K1 s( t% p& f" ^2 Z6 C1. 按模型的数学方法分：
$ R% R" d! A0 F8 ]几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! Y3 w$ h9 B8 }: n2 q0 A静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
  Q7 c5 q" W* t/ P  A性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
! ?, F* @0 s* r9 ^人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
5 T# U( u+ c- J. m7 |比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
$ K7 _% x, M; z* g2 j国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
1 R7 g6 Y5 M2 ~1 S7 f7 u& i运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
6 ~; n, r0 V' @$ m1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
% q0 g6 Z( P4 U, v( h: v以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; z" _4 r; B. V4 r: K. N$ w5 Q0 r( T比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
9 J! B; `& n  X/ Z2 y通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. r! v# [3 c9 O& F- k; ?+ }+ y% c# @4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
) a1 j0 k& X( `+ ~论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
4 h  f" G8 A1 z" j这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
' F( c! l9 J5 J! w$ I  j这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
' c: e' `% W3 S- @3 z当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
2 }" {/ z8 p4 g6 }5 q8 、一些连续离散化方法
2 _4 l5 F6 S& _5 M, m* i* M9 B很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
- s7 T* K  t4 _& K8 J据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
# \* m! S$ v, D6 f& g0 l赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
8 g& C( O: n# y, D7 I解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
; i, L% T# [( H4 }% U个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
; O( j6 K0 h( `* P+ \2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
& [' I9 H5 f6 D# |" {  b" q微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
7 X! o- ^* @& Y1 H; A其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
) L2 I; F& G, M, W3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
; ^/ Y* N$ s% T: Z化； 样本点的个数有要求：
2 L$ k5 }% j7 S9 B①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
% g  G  x, N' i0 `; Q  i②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
7 x# a3 c+ r( x( W' L  [$ z: I/ E4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
( V  k0 W1 {, M; p8 K) |# U0 F- ?一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
6 K2 a& L3 A8 p4 m0 K. R6 k互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
# M/ q9 w" x* M  m2 \; \) M$ s3 U概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
2 m9 i3 D/ S; y' l5、 、 时间序列预测
( S* Y& _: R: W6 M6 ~0 I预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
  J6 h- B: _- z  {5 j8 p2 E（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
" ], d. d% T6 e6 j2 A数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
7 v" e0 y5 N1 N预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
# ]# `0 Q: i5 f) [! f6 m) A大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
$ K  J) W: b7 }$ x: Z# w' O办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
% Q! l2 e. z& N2 S, W+ B/ H适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
/ ^2 u# @$ W% M9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
6 u5 F# ?8 P5 j; ?5 c2 b拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
( E$ c3 D' j6 k6 R' X; p2 R在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
; _7 B  ]% {% Q10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 m2 U5 t# }1 {% M. }作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
2 V' C: t5 T+ k# {3 q12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
# R) u2 \) n9 R$ C! j优化问题，对各省发展状况进行评判
9 i+ e1 Z2 Q8 H/ {8 p13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
8 t0 v" E/ m2 ]4 b. v" {其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
% t! M& e; X4 ?: t! y* H15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
4 f+ ?% S* y; x0 j8 |7 P16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
1 i7 g& J5 _7 A/ W量有无影响，差异量的多少
& l& V0 n$ A' H) ^! d协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
1 Y. i; ~/ X8 F4 v! j  c模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
1 B. [6 J+ F) F! |18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
. c6 b, S" m. `9 O其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
; i" A. N0 ^- H# n2 T1 \) g1 A& ~20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
* E5 D% M. ^# B& e; {& U般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
. E, \6 Q+ T9 y" j21 、图像处理 （ 较好） ）
3 L' W7 ?  `; W( x# \MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
% w# i# y8 }; M- F1 r例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
, B2 v! j4 W% E& j. }0 {7 g, y; T2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
  o3 u+ `9 [# w+ w: L: c4 o( D4、判别分析
6 ~4 [/ o( S0 q0 \5、典型相关分析
8 M3 @6 g+ K8 l. r, z6、对应分析
/ N) E  l# ^4 _* ^) @) B- W, H7、多维标度法（一般）
4 }' R: O* e+ y  d8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
$ m6 |. Q7 `1 a2、关联性聚类
" F" z1 ^- c- T8 e5 d3、层次聚类
4 C1 A% s/ n& g' }8 ]$ Q. _0 A4、密度聚类
. R2 \* t2 I. Y( B" W! h5、其他聚类
% ^5 n1 \- {3 |* G2 S+ [5 u6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
, i3 S2 Q- o) O& m8、模糊识别
25 、关联与因果
8 d+ e% x# v% I) K5 _1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
" o; J3 b1 o! C4 }4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
+ {$ ?) ?5 n- B+ N: K0 h5、典型相关分析
' C' \6 y( G8 ^8 m' v（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
: B6 z$ _% X) N+ v3 G# v7 _一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
! H+ h9 `/ I4 ^, u( i6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- g" B& H! [+ i7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
) I: S# R4 f3 _5 T" U9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
3 Q1 F9 k) }* C+ t2 T' v7 ~率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


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