数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
; y% l9 t1 I0 ?/ I几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
" Q! s# x( n' l. W" \9 X% U型、马氏链模型等。
$ w2 z9 ~2 I; j% P2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
  Q1 |; ~6 t7 H" @/ I人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
; k; a3 R/ m) N! O预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
7 c) D5 B+ `) P5. 按对模型结构的了解程度分： ：
3 X' w  F' w+ s" C( a3 f有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
: g2 I- z: @$ D2 G0 L' {8 a  R( {6. 按比赛命题方向分：
6 S. S6 t8 V, ?  C# D- z- {- ~国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
& N2 u0 @7 k7 \4 _  h! T运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 T; {6 ]0 k3 ?6 V$ a) Z- P/ }1 Y数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
, N, ?! l: Z9 @该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
6 o7 j8 @. b. Y' A+ ?以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
! J6 @  Y9 @2 Z; w2 n2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
$ \5 A) ~6 i4 ~0 `  Z, v3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
* e! a( n+ D% [' \. {4 、图论算法
+ }5 ?8 q* x& _/ d& S7 N这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
/ T7 N+ {3 X2 K5 J! b# V5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 J! T  @3 ?- E% ]) m这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
& Z% @$ k7 \! A" ]$ X7 l6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
2 c, R$ K+ A0 Q- x* f这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
- C' z7 l' x0 L7 I) R$ |5 T0 a7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
+ \: `0 |) ~9 t0 O很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
* E1 P: g' j* x2 v据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
1 H' J* a1 L; u; M( ?+ c5 X8 N如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 q: K# X+ L9 C4 ?5 I如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
# X/ y7 l! Y2 b8 T1 R: a% F10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
( W! G$ u4 U! W4 d  c0 C8 ~的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. k$ _( R. K6 q. M' s: ?" X7 U算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
( z3 C" o% r' G9 ]2 b% j- k2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
/ f. }# V6 Z6 s7 t% S( z/ u" }  K其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( p/ n* G- }. B2 k) {' [求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
8 o1 K! O: q2 x9 D9 D4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
1 Z# O# j) e/ p2 L9 J( y4 q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
! J4 r) M  j8 \$ W8 r+ j3 i% R( i互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. w: ]5 b, n- F. `8 A# W（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
1 |4 D* n5 |( z% \数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
/ K0 U% t" c- F) U. {预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
0 j8 ?0 @" R- j" L  s  e( B3 m预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
2 T/ G" }! m8 s5 X& l& s办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
2 C. U8 t: n$ N5 U0 V4 t% v. q8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
( P+ _3 C7 v5 Z9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
% i$ f6 M: \$ A拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ V0 ?, [' N* L- G9 h9 _  P在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. F( C  }3 ?, ?4 [9 H作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( O. ~' y) |& F( F优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
7 c( A1 z; T9 v, |似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
: {# H& @) R: N( [其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
9 m7 q' ?8 H$ i解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
2 H3 k' V& h5 ]% w) }- d( x: [4 I可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
- r: B" Q: g0 Z7 S来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
: ^% U) W2 ]' W% G1 I- o该方法做评价比一般的方法好。
4 L% L# X- t0 ?; G16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
1 i% B! J8 W3 {* U0 H% k方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
3 h/ T9 I5 U. v量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
; i% w% G9 n$ }5 P' m, I& X: ]此外还有灵敏度分析，稳定性分析
" y" V" ~& c4 I! r( v  D- Y9 L17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ J7 F8 B4 o2 ?4 T1 z模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
8 d: C4 E" L1 t0 x$ d! e. n; h; Q( b6 @18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
6 U0 o% h0 ?2 ?7 x, _( o- `. Y# i+ ^$ {其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
7 I0 x9 m1 Q0 ~1 [3 Q8 h1 d' S排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
7 L3 Y, X" S- G7 a即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
& d; h# l3 M( N  C1 o计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
$ M$ T$ `$ z4 S. M& y: M7 ~9 [+ t21 、图像处理 （ 较好） ）
% o' ?: o/ x8 y. t1 ?$ h# x2 b1 L  FMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
* r1 L, x; @3 a  `5 `5 O& G8 m例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
4 n6 S8 T+ `6 ?5 l9 w) _1 z. l* q22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
7 ~0 `- Y5 D& D射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
+ }8 z: Z+ Y) [0 G6 ?各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
; T& x3 g* q5 H: O! {& B4 L5、典型相关分析
6、对应分析
  V: d! G" @0 N7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
. ~3 s% A' l( s/ j3 h7 M1、距离聚类（系统聚类）（一般）
6 k' ?- _3 g3 k* L# V' |  _+ Z2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
5 g; C) f* r- w: K7 G1 a6、贝叶斯判别（较好）
7 @6 i/ n- z: A1 O% v: E1 d& T7、费舍尔判别（较好）
+ |) G8 l/ B0 [6 Q: c4 I5 {8、模糊识别
  a( Y4 x6 d' n25 、关联与因果
( {1 g( @" s1 C8 L0 X2 y1、灰色关联分析方法
! H! T/ L  D1 N# `2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
& X4 V) o- |" `% Q* d& U$ E  c( T3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
  X( i# O! g+ R5 j+ P; X（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
4 V6 Y, j" f+ W/ C一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ a8 f6 S7 {# o6 J6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
4 |8 ]$ I; A) y数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
# K% R. F. B* Y/ D4 [. L6 [7 F, v0 }26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
1 `+ E( {5 M* ?, S4 k量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
5 I. `3 P! Y0 t; e0 G
( \: O& |- m! N9 d. |
, s2 {7 Z4 D8 M1 t1 I