数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
; W! l) D8 |' J! \  w1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
- ]) |( [/ o5 G7 ^* h3 D2. 按模型的特征分：
. g' x$ O3 {: e静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
0 q" j; ]: v+ J% d  |3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
3 B, E5 q/ P7 z  A) j* ^+ W一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
  d/ V0 u( B( E3 o, c往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 T" w3 `' Z! A; k比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
8 l% l$ J7 Y$ V1 ~/ W0 [6. 按比赛命题方向分：
" H: j! V& }. i- w  v国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
: z6 C& x; M$ ?6 T运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
% w' K( S9 ?+ S0 W5 D8 {2 \1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
3 M' t3 D# h: G$ j$ D% m; P以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
; I0 E# n' d  u2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
9 y7 P' ~0 v; d! a! {3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  a) Z  F1 \9 `" {建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
; d  k0 ?/ q6 n- g法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
) F( Q) R9 ^6 I! M; O6 Q1 m4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
' u( }# J1 g/ h论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
4 D, s! {, j: b  ~4 B; Z6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 ^9 ?2 l; Y* S- m这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
8 ?+ c& I' _2 ]2 [# p* [帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
0 I; M+ O* f+ D# h; R3 `7 、网格算法和穷举法
( b; N! N) T- E7 o8 t/ V3 O0 {当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
( z4 k3 C( f6 S" u& R& D: n% n一些高级语言作为编程工具
! n' w5 p! E6 [) \- F5 P! p8 、一些连续离散化方法
: s  x" S9 B8 ?# e, g很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
2 M5 y$ K! u+ t; ?0 w% k据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
8 m6 |$ a$ [% R( Z+ ?- g# J10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
! j  |) |, g' _5 d4 R0 w2 z行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
9 l. h4 @5 Q; @  T8 c①数据样本点个数 6 个以上
- J; y" w( C( ~) J. [% ^②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
* _' t0 V- R/ |+ V& y; O找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
- z& H/ y4 H- n3 、回归分析预测 （ 一般） ）
' e1 s/ b" P$ X/ G# a7 ^求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
! u* @1 j- F7 P4 v' N. M0 k3 u4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
4 r; ~3 J( F1 `; O' O! S互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
4 u+ c& k5 M  g( a+ z; }5 I（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
5 J+ |) E2 Y0 g! w  [4 S: B" O7、 、 神经网络 （ 较好） ）
$ F. k/ o( W4 l; D. p5 o$ t( v大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
* x; S1 t& }! d% F: m5 _, T办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
- {) @8 Q3 U3 y' W1 n& B: N; f& Y8、 、 混沌序列预测（高大上）
& F8 n2 \8 x6 C) M0 c适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
& P5 Y9 l- X3 y' }/ N拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
$ ]! y) t5 @! f6 b, [/ U8 R2 f逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 I3 c( P% V: R作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
  k  j0 |. d! t  X2 y12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
9 n1 F2 p* V3 H3 [( p+ z# V- J3 y13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
! w8 i( S+ D& R5 j6 w* a14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
, H9 [8 {( ]2 U6 a1 [其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
3 n% p; |1 Q' G. D, ]% M( `/ G评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
) S8 [5 X- ]& T解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
+ O+ d0 \" v# T' I3 |9 C: X来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
/ o; B5 U2 I0 n: L3 o% d16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
9 y9 P3 z& D7 s4 j2 J方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- P6 Y; W, _7 O5 L3 O7 Y量有无影响，差异量的多少
: t& q( h! A$ ?7 }协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
# ^# O3 w, u. F2 s17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
! {" c* W5 G! s, s+ v: [智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
; k: n( a( w+ I4 \3 V其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
2 Q2 H6 d: l" u$ r% p# [6 j19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
+ }9 R/ e6 T) _& a1 _, ]20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ B. |5 q" G" P排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
' p7 u+ h; F+ x4 ^/ w( `即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
4 s* w/ [* ~3 ]0 O. l计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
* q& S, Q3 O' b5 M& I% h& d21 、图像处理 （ 较好） ）
' e$ k7 P& H6 A% |! Y- RMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
( W6 ]6 H, @6 {! ?9 h支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
% p( x3 f& y2 A' x9 s  r7 ]5 H23、 、 多元分析
1、聚类分析、
5 {6 I+ g9 c3 Z& P3 _/ q5 s2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
; b/ c& `, x, Q; J" b. ?5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
) [% {. ?9 }8 P' m) r9 @8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
4 h% ]+ Y/ h  b4 c主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
. T5 |7 o4 |9 {" |) k9 P  R2、关联性聚类
3、层次聚类
6 ?7 z3 k# @3 j& m: F, @4、密度聚类
7 B6 G6 c2 m3 Q( }% E. i5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
1 }0 Q$ ], S, {* S: f2 ]: w7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
0 u, i$ P* ?' f3 g0 F8 z! P1、灰色关联分析方法
2 y5 J: `" b- L3 Y2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
7 v7 M, j/ {0 }, u. ]# ^; k3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
6 H% Q5 \+ ?( J% B+ L5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
) u+ y+ }8 l1 ]6 z6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
# o5 Q% k  c1 I0 n5 G* y  I数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
6 J, k6 Y7 Q8 T3 j7 O0 H计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
5 K, A! j$ L0 W26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 P: d; l! v3 J  s7 o量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
, h- o8 @' }, r! [' U0 f率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。