数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
5 q1 U3 S" D% w) r& p型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
. I# z" y8 D' i( @: v+ [7 \静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
: M- h" O5 K6 p+ k人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
7 {- j' L$ Y. g. z2 p4. 按建模的目的分： ：
# y  Y8 T2 Y6 v  w- q0 t2 |预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
2 J8 F6 \  Y) f往也和建模的目的对应
2 `. d8 V6 m2 G  ]5. 按对模型结构的了解程度分： ：
7 \2 U1 x3 M/ Q9 y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' g+ M2 @. ], C( l) ?6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
$ i* I! q  l0 _. M7 e* U数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
5 r) K7 ^: E# o- B0 V- t* K该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
! N0 p; `' g" M/ A以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; T( f+ C4 a3 O* i) C! J比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
9 b! Z$ A8 L$ L+ H/ m4 P; t' O这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
: x2 B! R2 r/ s* u论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
9 x2 v/ y- |$ S9 x; w. q7 C帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
5 f; ]5 l! }# b6 P7 、网格算法和穷举法
+ {& ]0 S2 _! o. ?0 s- o. W当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
; M9 e5 l+ W4 w# L; m一些高级语言作为编程工具
: c( m4 R+ ?+ i! ^1 K6 {6 }" X8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
& e$ ~7 u6 b: X1 |4 J据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
! T8 ?; g& r" Z3 F5 Z* Q& X如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
" ]% o7 h. C  Z9 b赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
. ]- d% ]2 X3 R; ]的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
: U" ?  Z+ h' Q7 r/ q- f/ m/ A行处理
( H/ Y/ k$ V0 {% k2 K! b/ d: G5 L, |算法简介
* a) y- X$ w" V, s( C1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
4 W' p" _6 k1 c/ c3 T解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
5 l2 s/ W% x6 G: o1 M  K①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, d1 p& ?1 k% l! ^求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 B" X% q7 X* G* x9 o3 h$ h①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
/ G# I) i" M9 ^% k* S一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
" L3 H- F) X& B; ]4 P4 [! v, C概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
0 X9 c6 d/ y" G5 U9 U1 L预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
$ v/ O4 a9 r5 E9 c( |. h数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
: B1 e' Z" |( E# L' H# `! r& a# m# C7、 、 神经网络 （ 较好） ）
9 V' l$ Q$ M3 t( l大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ v& l5 P5 R( M6 R8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
# H3 {; t* K8 y, V: W在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
2 b( @  M# q# [* A% ?: k% N2 O# L逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
( p" B2 @6 ]. |4 A10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ y  a% O: i! o  `% @) Y, m! l3 o! G; r11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 `% S! [, r# C5 ]8 h作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
9 ?7 `! g5 t2 {& h  `13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
# G6 C7 U1 N5 b" n6 v秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
( F; N& N) t  I* E7 V法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
: o+ x9 q5 T( w0 E- d7 W评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
8 p0 m# u) p0 f8 Y& H. S, U- O! y解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
8 R: @" q7 c+ a% e) v% F) X的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
, N/ S% W3 F9 ]. ^5 x' X该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
6 |; j5 z& b9 e协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
  i& p8 U( _5 G6 V17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
4 G% z, N# v& C$ G" P6 ~* D18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
% j! |1 b, V. h8 |算法、神经网络、粒子群等
( c8 s+ p5 W: l+ A7 m其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
4 p  D9 D; ^; a; m  Y3 T计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
' ~) J% C# R9 S1 U) o+ YMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
) }4 r& ?* i9 S- v8 _22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
7 R# M; R. p4 e& u% ]  g支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
; V) j7 u. w3 f射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
& c0 u/ ~8 p# z( h& E" r3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
" [2 d1 Q% s( K/ k, z各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
- N/ j( [3 X% B7 z从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
! L) i" P: r: q6 |) Q5 ]; l/ C6、对应分析
0 B( c3 S; c# R1 D$ K5 z7、多维标度法（一般）
7 K1 e" l% v/ K. O9 }) C5 S8、偏最小二乘回归分析（较好）
+ b4 a$ I, H" `5 B% B) `24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
2 [& P' F* Y0 i0 ~. H7 q+ _! E1、距离聚类（系统聚类）（一般）
' W* O. x' t" g* J2、关联性聚类
2 I5 t. ]6 |$ x# v. e  F1 B3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
: `7 e4 F8 `3 F2 V: l3 o9 T8 z7、费舍尔判别（较好）
* C  j5 ~, G/ k  T# G8、模糊识别
' R* d8 \5 Q( q" w; o/ s25 、关联与因果
7 T" T" a: u4 i% \- ?1、灰色关联分析方法
( O0 |+ _2 X2 L+ l2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
/ X& n5 P, C4 X5 ?5、典型相关分析
3 [9 o7 G, ?2 c: j' V% p$ J（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
2 l- J" Q2 B, s, o- n一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
( l5 C" f3 C+ q% ?: F数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% T& J6 @# f( \( i( [/ F9、优势分析
% R  Z4 I5 F- U# h& g) A9 c26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
/ y: h# k9 r3 @4 _& C$ \量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
/ R* n. z& S  H: T' s  I

$ ^& N/ u0 U) j% a5 a0 P