数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
6 D' J4 E2 s+ ]( {" H2. 按模型的特征分：
9 G- {6 v# q' S2 h* v. k静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
; d" I* Y9 P& p" I+ v性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
1 q8 A5 f6 x7 `* T* W" S" H预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
! [/ C. W. c7 x' T# ?/ y4 h往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
. [, Z4 u1 b9 V- Z6 c! c8 w比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 _  f: X: M) o- [" u" Y7 [6 g6 L: y6. 按比赛命题方向分：
3 a1 I# u& C- f* R; F2 I国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
& i- X, @; k+ \6 m6 [( Z3 ~$ q数学建模十大算法
$ Z3 y- s4 H: |6 j0 u5 a1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
) T3 j" ^6 V. k3 l# q; j, O+ d. D比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 U2 d$ R0 p$ }( _) y建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
9 a' `6 `2 e  \. L$ c9 u. Y6 P. |法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
6 b, [: R6 a& @( u* y这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
( R) N( f9 C. i论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 n& C" u& L; i0 J- Y+ Q2 i这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
& V% j, n3 c% ^4 F5 P7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
) ~, p2 _4 y% V) r一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
; _% y: r1 o/ j2 }. m8 n很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 `  G; D5 D1 D/ s9 、数值分析算法
+ o0 R1 Y: {; a6 A: M8 C如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
5 K4 l3 C; H5 @/ h0 S8 M# X如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* e4 T' U. u2 Z4 H. A& P( g10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
1 b- m3 T) i2 C2 S的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
* d' A) v9 k  f$ e8 \算法简介
; J* ?- y: g& m* v9 f' r- m! |0 G1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
2 X: y! Q  c, H; D7 i0 d解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
: Q8 Q, W! [( y' F& x个条件可用：
- [: V7 C7 A$ O3 K7 Y①数据样本点个数 6 个以上
5 ?- r: I; H( {* h②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
- E' t2 e3 f" y" ]( o# E& {2 @% K. d2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
7 P' V8 @" l& }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
/ E/ Y: z$ o& J2 a; x找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( f  F6 h$ `$ I+ N求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
8 ?7 ~6 y  c7 Y" s3 q- P# P②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
, a$ @) W$ i9 Q/ K7 n) X1 d2 _# |& P概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
$ c- T6 I( {, v8 |4 r预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
) k3 j! m" u7 j) u0 Z2 r6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
7 h0 F/ b, R$ d1 {$ _0 ~! t! c; \8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
1 `1 l  D( D6 c3 X3 ~: @在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 _! N  N! i: Y) O4 o9 N4 F逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
) I7 q# B, C" }& X1 ~7 Y. b作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
8 h3 N+ v4 H- f+ T0 i/ l" s  W; {优化问题，对各省发展状况进行评判
( E2 o- \! `. p( W' n. q13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
# T9 V. r  `7 W* g' J/ Z1 @秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
( B  W  G' w& Z+ S法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
1 @3 f5 r" ~0 p3 Z/ v似。
( q& g+ f4 B. d) Z5 z9 r3 {14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
+ }$ o7 ?6 T; X  Z9 h* n& g. p" }其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
( [. S* B3 B* {: R的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
1 Z7 o  W& ^8 W3 @/ ^' [! U可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
" o1 m" G/ }8 z  P4 \  J来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
4 M3 ^# d& Y; f  I% t  y5 p该方法做评价比一般的方法好。
0 p0 P& L# x  i16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
8 R+ e% h, E# m! {+ I3 r; F% J量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
, O# A% v' j, Y2 O+ Q, S此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
% D, _- g. R& I. i优解。
8 w0 t; Z' W6 M18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
1 e4 @) ?* B0 w其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
0 I, w3 I4 f% c7 V19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
& j" j  ^4 `( N: s# W- b排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
2 T0 @9 X. c+ z; T& Q' y即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
7 v2 a' ^$ n- Q( t$ P8 n/ K有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
8 G/ G* e2 R, F6 A7 i' }* J- y0 c( Y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
4 O- A6 j# X/ D+ }: x! n3 M般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
& }8 w1 v& G2 d% a21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
/ S1 |0 `9 I. a% q22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
% Y& Y' h( Q) h: E, N- e6 I23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
4 ?  Q) j( I3 W) Q) I3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
& l7 ^+ [6 M! x  b; r0 h$ |, b各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
, C, c0 Q' D5 ?1 p4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
; {4 r& C# ]8 W1 d+ v" w主要包括以下几种方法，
$ {3 N6 t6 w! {; ~3 E; k% u# h1、距离聚类（系统聚类）（一般）
& H4 X+ a6 \# P( P3 X2、关联性聚类
3、层次聚类
3 w# z1 E4 g# r: I4、密度聚类
* O5 r# ?8 ^" q$ W5、其他聚类
* x/ k  K& i" W' |" v% F6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
' l2 F8 @* I- r3 ~+ c25 、关联与因果
( e$ {  x6 F) t) Z1 o, j1、灰色关联分析方法
9 H0 ]# Q" ]* z8 v5 I- K: i2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
& y! B5 S# N5 f- o% S3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
+ {, n* m( g* [9 X3 |（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
3 J- T% P, j3 o+ x* a8 @$ Y7 Y6、标准化回归分析
0 J# w8 t- r0 A6 s若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7 k- y" L. L3 m5 D' z9 f% g7、生存分析（事件史分析）（较好）
5 a5 g! M* y% K% {数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
, s" ^8 ^  F& b5 U2 ~+ u26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 R4 C  R. ]5 d2 K" B4 X) d量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
* s, Q7 y% r. y# a  e1 ^8 u率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
# E/ g3 F; R& {5 c- q" I
  r( \" L6 C0 P, X- Q2 s' ?
/ c; k6 W, P3 ?7 h$ r