数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1 f+ c8 g7 ~9 {" K; i6 M1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
+ h" g1 V& c6 ^& y& @型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
6 p0 J5 V' r& m' f: J( i人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% B: b& f0 |/ k* e5 F& ^9 h4. 按建模的目的分： ：
( X+ Y9 a8 J  X2 v; }% X/ Z预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
+ j5 c* g+ N! d9 C一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 b3 _0 }5 H/ q/ e% c- ]- T: ]往也和建模的目的对应
1 r7 }5 |3 I' [$ E0 p/ E5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
$ `% d5 c$ @# N( K: R6 }  i' S, P比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
7 ], x) J; f' @" c5 J& t) U运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( w) q+ |) c7 \; a! }; x数学建模十大算法
: m/ r$ F2 w2 ?" j( q* t1 、蒙特卡罗算法
. ^4 ]1 k$ R5 H. _! @, s该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
. y! V' k5 i3 K& n+ E8 X. S$ a5 v1 |2 P以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
- W/ G4 x! z: `( o: p9 D# M2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; ~5 g+ g: O1 ~/ I. M比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
  |7 j* j. g# X3 ]. r9 _通常使用 Matlab 作为工具
4 P( u* u4 E5 Q. Y; z( G* l- E$ D9 k3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 X4 F2 ^' h% R. ^建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
' ]8 w0 G' @6 G+ G这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
0 n( {. y) A# Z1 ^. b* x  ?6 w8 e* a论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
4 l4 s% R3 A% Z这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
  Y9 A7 l9 j* V0 G  z+ t( U& G- k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
- X7 A; u2 }) i3 D9 }2 W6 J帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
, J8 P! F$ O: z- W, B7 、网格算法和穷举法
9 c( |8 m2 X- ^" I3 D6 o当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
* g. W* J' N. v很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
* \3 a5 m" O4 f& K如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
2 k! m, D8 n! y3 ~' p; c9 o  t/ W10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
* N2 x# X3 Z/ {. d( \  [的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
' X% @. E) ?1 y0 J个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
  l# o# T( m6 R; F2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
" k' b3 R" C/ a( a! R找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# Y; z; c( ?, t( M②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
$ _5 v5 S2 f0 {$ S9 f4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
4 i0 b1 \7 a. E$ P$ e) H3 ]* d一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
. A( H9 Q) C3 W互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
/ `* D7 T9 O4 X" p! a7 X8 M0 J概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
4 Q! I. o1 s7 ]5、 、 时间序列预测
& ~3 ~1 i& O' Y/ o) n! E' e) X预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
; f; D5 f/ K! t  b（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
; T2 K- d  B7 R8 B  A' W1 {数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
3 d& t, q1 W1 @( Z( W& {0 ]% x预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
" G: g$ ^8 S* ]9 J, ?预测波动数据的函数。
  D1 ^" D7 c8 _7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
$ [9 X7 P! _. _适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
  Y6 d  u& v, z) k9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
/ u5 y' E- I  Y: v: |) s8 ?; p在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% k  `( }9 @* P' W0 M! Y4 x' p评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
: O: o9 D6 y7 P' f6 P; g11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 e& X0 A; ]$ w0 Y. i作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
. R/ g& s% N$ m12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( Q( r8 k; P# z3 g优化问题，对各省发展状况进行评判
9 X- W. W  z7 B! m13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
! J9 Z. [" @0 m3 s" `秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
1 [$ s3 V: l: k/ T) N# E似。
6 {; Y; l6 G5 x* i4 l) L14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
, T7 L% l+ b8 M% o& X2 i, E3 M的最差值。
, Y7 d4 L$ w6 n. I, s- N15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
) I$ \  t- [; x% A6 X3 n  w方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
7 C( C& W& W2 Y量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
( T' E( f. C2 o: K% z此外还有灵敏度分析，稳定性分析
1 u/ [5 n3 p% _3 c. i! u/ b# K17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
* ^4 u+ ?3 I7 K" K8 f模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
9 P5 g) E; g9 T( C+ k非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
$ @2 M( {: m& J7 D智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
4 [% F5 e3 r% o* L8 Q4 C1 K3 |算法、神经网络、粒子群等
6 v% ?$ w( k* w/ h2 m" [其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
9 }; b3 P) S2 N/ m' w3 L20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
3 ^. A/ H) B: n排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
% d: M- G/ b( t0 o4 z4 l计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
) T1 x) [* W- J般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
+ L' b" o1 P+ v( u/ J9 D6 K  C6 X# E22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
& f5 j4 ~& b' x5 S, @, b- Z# t支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
% x) b& B) s9 }3 d2 R# y23、 、 多元分析
' }% e- k$ ~: S1 v# g* F3 U3 s4 Y1、聚类分析、
( l4 }$ Z8 ]  d4 c1 K9 i2、因子分析
/ N( v! y' P' l$ h! n7 p3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
3 P% `  ?1 w, W0 J5 s7 H! q各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
, k7 ?9 X9 a9 ^# K6、对应分析
  c  z8 R2 _# d* U3 U- t% d% A7、多维标度法（一般）
8 c# l" E* Q+ t# H3 C5 c) ~) A- w8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
% g0 C' H7 ?$ l+ i主要包括以下几种方法，
; O3 U, n' S. c1、距离聚类（系统聚类）（一般）
! r# |' p( m3 f+ q' E2、关联性聚类
3、层次聚类
9 R: N) t1 N3 q1 e' o4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
5 r0 W1 B$ R4 P: A7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
2 r4 b/ a8 q) s) Z7 t1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
6 C: a) i  V7 Z: ]/ Q3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
: _* y1 \5 t/ E! _6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 v8 I) P6 W, T" M# s7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
6 ^' x, P2 s( a4 V8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
0 e, G2 D9 s; J$ c  L. c# y. ~' b% P! m9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
$ U7 M% n% O; g5 j3 @5 @- c量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
) w- T  J3 r' |5 P率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。