数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
2 D: \' e2 l/ i2 M  l# p$ l& P2 z( p1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
/ C* N3 G  U. h, |' p2. 按模型的特征分：
: |2 y0 g( u7 U$ C" u# m% _静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
& v& B( b5 S8 E" n0 O3 h性模型和非线性模型等。
% R4 g# ]& t( h' {0 c5 t+ ~" P$ ^3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
7 m5 Q2 M& y% m' p, [4. 按建模的目的分： ：
# f$ K+ h! p2 B7 g5 a8 m( |1 U预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
/ |3 v/ x2 b# R% I6 _$ f6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
8 B+ j, W! C' S! Y数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
) k- @, A. J6 y' w' G. c! x该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
5 J. p! t( q9 u6 L5 ^; l4 j" k以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
  V0 m; z/ }& z& x, O$ _2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 X* v3 t/ j8 j" n建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
  p( A( i8 o9 ?% e  r0 A法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& a% q& b: Z/ h% n3 z+ G4 、图论算法
4 ?: F; Q* Y. z6 F这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
3 Y) n7 {6 \# d, u" ^论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. M6 u& P3 O5 o, b4 b- E2 f5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 I# D- h$ M" @% u这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
5 @$ D: y+ Q" `2 \& d帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
6 |$ l0 w" \4 s! w. h7 、网格算法和穷举法
, P2 B" u( F" I$ F% H- P9 _- S' ]当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
! y# ]$ c2 z# d: |# q一些高级语言作为编程工具
) U# }6 Z  p  D' q% D+ ~8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
2 L6 y8 ?% f& @: |据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
& f1 `' ^) F, b9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
2 E/ R2 `) c! J10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
5 R, k, t& n4 w3 j0 T% b" Q% l1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
0 q% @# e% w. h个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
9 `$ \7 C: Z! Z7 V4 ?  d②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
' E# i4 Q2 m0 ~  ]2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
9 X7 J5 _: b$ ]- {" K2 k0 f; Y$ T2 D微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
0 }+ O! R& V9 d! w. Z9 c3 、回归分析预测 （ 一般） ）
: t; ^1 h1 G, d% ?2 t3 i) U. K求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
2 P* i7 a+ c- ?化； 样本点的个数有要求：
2 l0 y  A: _; I' X, G①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
2 O  y" Q4 Y; @6 R3 e: `②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
2 Z+ r) U7 H* e7 Q  u互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
" @2 L  ~: \+ O预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
' L( B9 N" I: n, O0 w& c6、 、 小波分析预测（高大上）
/ d7 \6 |% `7 E( Q; i2 v3 K数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; l. L0 F1 e6 \- k. r3 @; @3 o预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
4 r8 U- B: O, I: G4 q; I! |) I8 W办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
& q( ]  O* ]& }' s, F  H# N适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# r) [2 w" i8 q! {9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
- |& m8 F3 ]8 c3 j在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 D7 q+ p6 e6 I! A1 N逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 l6 Z1 z- f% M9 E0 @评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 m# o6 X# W* R, m# ~, {2 ?( e+ P11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 _+ Q% i9 u5 P% `: S, i0 r9 l作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
8 U3 `' j; r' o2 h9 Q7 U12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
! a( C* \  B' r秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
$ t  D; \6 T! j; W: M: l其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& \- o" p% @' Z2 f解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
3 e2 g* a9 P1 {* [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
, [: _; {* m( X/ V; l来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
9 o3 {3 J0 m: h2 n, s6 h1 U2 ?该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
* m9 H$ U1 O/ _/ V' a  G协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
/ t9 q1 [4 ?1 ~3 k8 P7 J2 ^+ v素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
, ]7 k6 N$ d; x& _) U此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
6 s# J8 y" H5 Q' G) _8 o+ X  G模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
# @- s- H0 J7 H& Q/ j" J智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
: b. l4 D. N- [9 l- Z. [算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
& X/ R/ m$ v; y1 W. o3 d离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
! a0 q' G: K8 W3 J$ f6 R20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
! n& T& J3 j9 z5 O6 A排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 `! ]# O$ I$ d( I, n有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
/ n8 Y: V( p1 n: I计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: U  ^+ m, X& a' Z% y' M射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
+ \! e! \# T2 A7 X8 \23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
/ D- l' j3 z# j* ~' S6、对应分析
/ G' f! W6 w. t% M0 U7 Q' q7、多维标度法（一般）
/ z* P: ^" d- G* ^* q6 o: f& z8、偏最小二乘回归分析（较好）
  M1 K5 y6 D. B3 b24 、分类与判别
4 H$ w7 {3 B1 M6 q, z主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
- }; @; w# s4 K3 W# }7 A$ R2、关联性聚类
$ X/ O# ]) X* t( W& [" o3、层次聚类
4、密度聚类
* v. i7 c- m# N3 o5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
" Y3 \" y# M7 s# ], i+ x% P8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
7 t2 R' Y: W* \+ u+ H2 T3、Person 相关（样本点的个数比较多）
3 t& z/ _% [6 A0 t  G8 m+ }" o4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
! {. X; A# n, o* X一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
! M& F/ Y6 b- S. ^  a5 v/ V6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
5 t7 ?! x6 A8 X7、生存分析（事件史分析）（较好）
' Z! u5 W* w% @( u" t& ~9 Z数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
3 v, M" k7 _" x' S" `1 e/ i2 o/ `9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
/ J4 j' F8 u  ^3 k量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 I0 d& D8 Z. x: n& }
9 b( R8 g# W! v  ~# ^' p8 r! P4 Z
+ q, E$ `- F  G/ |# b# O: M& k! [- Y