数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：
4 j. e7 B. S4 r! U8 e
' T( m9 _# A; u" R/ a6 ba)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
- j3 E1 Y' e* N# F1 }
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
. P5 ]/ x& @2 C  [# U3 T$ x% X* e
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。


2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
& i' I' `$ H* T& c( X" z
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

0 ?, K* X+ O1 n6 }2 A0 hc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
* A, O% F# y1 E6 k$ ]
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
- M5 T! N% {5 e3 `

! y; d) p/ |8 K* n3.    划艇比赛的成绩：

  ^- _* l; e) Na)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
$ `  d. Z  Q6 a/ A
. |4 T0 U& B2 s$ nb)     属于统计，数学模型拟合类型；
( x6 Z8 ], D/ }; V' b; @8 I
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
' d9 k) ?0 ~$ _7 X( F
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

0 Y. `; ]8 m$ e8 ]e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

/ o# V: W. P' u3 ~3 j, t
4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
% g) n1 d6 e4 M- K6 T
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
% C. b$ P) g6 ~5 m9 n! r0 ~$ C5 T+ Q
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
" M# r% w( S6 L7 Z, Y0 F9 T
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
. a: z* D9 Z' r3 A

! W8 V& c2 `2 k! U3 _; m/ h5.    实物交换：
" @/ D* U: D2 J' N- t" c$ r
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
3 g5 \2 O# U' ~
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。


, t/ `# K$ o2 R, p/ L/ a/ n6.    传送带的效率：物理实际模型
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a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。


7.    起帆远航：

: |+ O" k  Z' c, _. `' h: ua)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

0 O" Q3 U4 F8 v" Jb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

  _- g0 T# `1 u4 Ic)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
" V4 o# ^2 B4 }: W1 J

总结：

* P( O5 U: G+ R! A1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

" }) p+ H! [# t2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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1 C2 Z; E- B3 N/ u4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

/ i: @( c/ c/ A+ Y" i- C6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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0 t! I9 k9 T% f( G以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。