数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
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1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
- Y* e* E& G8 u1 s# n
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

) S. G! B7 h/ Q0 |5 E! e( nc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。


2.    双层玻璃窗的功效：
, c( |$ R! d. E- x3 }* b( R$ m
8 t% b$ A5 x/ Z, c* \7 W, E7 W' Za)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
. g. G% h: W7 Q% I
* X) O& m/ U0 N& e6 {/ g: d1 Zc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
, W' \/ ], o9 }6 O/ I+ ]4 L
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


9 Z5 ]7 h3 O4 R% J5 l3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
+ k, D+ X' q! F/ B
" G9 v7 _6 {; f* y# ?; U3 \+ xb)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

9 |8 w$ Y+ j: Z3 o. Y" \d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
! C; m6 X5 Z* ?
5 q" f2 q0 P: f' r2 H( k3 Y# re)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

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4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
7 B; s, I) B8 @" H
+ ~; f% p) B8 o/ ~/ p问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

8 u! W3 h, O( z. T% E8 J6 db)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
# n* k0 q/ ]1 i6 x/ h5 w8 I
, k. o1 `/ `9 t( D* t! m$ N! h$ Yc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
5 R7 a1 t, k3 g5 \: G
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


) H; Q- ]" P, R4 J  U% ]5.    实物交换：

! k6 ~7 f* Z+ e# M4 C( c  Sa)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

# w: H* \$ N0 _b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

$ s, h0 y+ `1 H' x; y2 ac)      根据不同假设，进行不同建模处理。


6.    传送带的效率：物理实际模型
1 P4 ~9 g) S; r9 c. u) o( J1 `
8 P% q5 r, U& z2 Z# ca)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。


7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

( R: c! r; A9 [1 S. T, a: Zb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
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c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：
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  R% c* L. g: f6 Z+ O1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
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2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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/ j) i+ p: v( }, l& [1 U5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

( O+ Z7 `" I5 `+ e/ f/ f5 `6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。


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