数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

" n! l+ K' P( ?* v* g" P0 @# ^% J1.    席位分配：
0 U1 W: G% N6 r% s8 E; c" h3 U
% g: \0 m6 G5 f% S' Ha)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
: M9 \! ?+ J6 E* c; S" ]9 @
% _+ F  m, L7 Y5 s5 l
, H( r  \( x2 w3 c6 y) z2.    双层玻璃窗的功效：
4 s% W5 j4 l/ Z" l
# q3 u9 Z) {: \( B! ia)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
/ G+ [4 H: B  o9 J& M) B: N
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

7 R0 ~; w: B1 D1 ^3 id)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
0 j  w) @3 s+ ^8 |0 u" N5 J9 K
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
5 |( n$ H0 M6 s2 m1 e% g9 o7 A
, y# O' R' Y5 J3 T; i2 G& M
8 w" p& U$ |/ p: R3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
( j( R$ p5 V9 e4 t/ t- a
8 Y$ o. d% }2 Z: Vb)     属于统计，数学模型拟合类型；
  B) ]5 v3 _6 n/ v- h" j
# T# d! {1 x/ I* gc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

% o" c: R, ^# r- L( R, ]: R7 _, n2 xe)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


4.    录像机计数器的用途：机理分析
7 i6 H. M! G& F* S' E9 }2 X
9 n8 V8 n- {# Q8 _& A' Y0 L4 t, @. ya)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

$ C+ S: N  K% p3 X) @b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

" p! e" O7 i' H% tc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
7 k, |9 P. A9 E
+ V, k. Z; i9 D
5.    实物交换：

2 W' S4 J8 \7 c3 [. w# ba)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
1 J! U& M! ]2 A. v4 P+ y6 K
, Y' K$ O  B5 F% t/ H( nb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
& _4 ]" @5 b! L8 Z

6.    传送带的效率：物理实际模型
; I+ V+ x( z1 R) r$ b4 O) ~
) c0 L/ m% Q  ~' [( H* Ea)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

/ f( F: P$ i- fb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

/ b0 t6 j. o; r2 R* |c)      模型建立，提出提高效率的途径。

+ b  C- {" e# E5 v( Y
7.    起帆远航：

7 k5 B# A+ z% o+ ha)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

  Q7 H8 X  B8 J( i: wb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
/ i; O$ C. [9 W8 z  f; Q$ ~6 \
0 ]9 F/ g# P3 ^2 Fc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
, S" X, k- v% |4 D8 F: t

3 e& K" w% J$ e总结：

8 X: w# ?! r% }* m1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
- a, {# ^$ ?9 @& ]7 f: Z. O
1 s3 g$ R' n- W: ?1 |% @3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

* j- C8 t. D0 a! }0 s/ l, W4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

0 U& ]  }+ [- K4 C5 L5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
2 N. u5 I8 W, `. l
6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
, I8 e; I' U4 @  `8 o3 x
& x' u$ D" R* v% e# f7 ~8 E7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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9 ]1 |" P( i" X6 ]以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。

* q- a5 `, m$ F) R& F( @