数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
: J2 E5 ]- `+ Z) o6 q# u7 Q
+ A( H8 ~" D$ y. h& @1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
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0 h4 h. V$ z* i# C& fb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
2 [& c# ~8 c+ [! V
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
, q% o& a0 C0 Z* V4 d" W/ R4 O
6 W4 L6 ~8 S/ U3 |7 \6 j) k
9 e5 Y' m( Z3 x4 o2.    双层玻璃窗的功效：

0 W1 W6 A# c! I6 S5 ~0 o, Q9 \# W1 ga)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

* M6 g3 s/ j- V0 X  Fb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
; Z; Q( D) ?( U) d$ {$ @& |' P
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
, i/ R3 u, R/ J/ U, i
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
! n% r8 L0 t6 a% i9 T( |* U
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
2 J) \& B- T4 ~! m( c0 K+ c! N

" ^1 Y  g: q# `7 e% r3.    划艇比赛的成绩：
- \$ @) P! o) h4 y
- @! C- t8 W* }; H: @7 G5 D1 ea)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
, J" k6 b' R2 q# j
6 y  H! G* m7 F4 [8 n, mb)     属于统计，数学模型拟合类型；
+ Z9 ~, Y/ L" J2 M) R. V2 e9 w
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

1 E4 |) g' S& E1 e* H- g0 [2 Zd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

" c2 d* a) Y9 S/ l* v, \e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


# M4 z$ |/ ~. t, O! J4.    录像机计数器的用途：机理分析

. u' \) @9 M: x6 t$ b) z0 B9 j. na)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
$ ?0 Q( F' K2 A! p& s" q: a6 X
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

7 D. Y0 J# O6 |b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

. l- O* T& s/ F& h5 Vc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

7 U! B# m6 \0 L6 I( gd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
7 O' w2 u1 C+ B  i  P0 @) G6 _

5.    实物交换：

9 Y5 ]  u; o6 F2 ya)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

, W' j9 |+ m( q( d. ~! d) A! D9 Hb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
5 w- E7 W( P0 j
5 T& g+ e- }; n' J+ G) S. Sc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
8 k7 v* w" Z! p& Q
! p1 b9 u0 t/ r# z$ N) w
3 }9 }! }* A3 b$ V* V; x6.    传送带的效率：物理实际模型
5 m7 a: m. g  [' K$ s+ y
6 T4 p& r. K* W) r/ N6 d1 oa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
! Y, h" \0 n: k5 y1 L7 B9 S) f4 w
b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。

" q, F3 c* z- X/ W' \3 |5 y
2 ?1 O4 F# ]$ N$ T7.    起帆远航：
5 k$ Y# a$ z0 F1 b5 Y4 q4 ^
0 a. B! P; T% z/ Y# @9 f% K; L+ @a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

5 D( l# D- m+ r% T; Ub)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

, p$ O; C0 D( H: n4 R- Wc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。

" k+ C; P+ {; X
总结：
- C4 F* [9 x" Y' z8 L
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

+ s6 K. h7 H2 W' d2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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2 U" t8 ]( e0 }3 a5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
" V0 `) f- p9 h+ D8 p1 D9 p1 e
8 P/ l' r* f3 z3 R6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

0 X% z. {4 `  U& w) G以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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