全国大学生数学建模竞赛

浅夏110

全国大学生数学建模竞赛

7 a, n3 \% O& J% n' v6 O
  ]1 c+ X: E8 X! b

& a& a5 M& F6 F0 h, N0 A! b


- u% i4 _7 o" S4 T/ a8 e
4 f" x$ Z8 Y6 D, C* M% D; `

目录

一、任务分析

二、题目一求解

题目分析：

模型建立：

模型求解：

3.1读数据，绘图

3.2探测器之间的距离计算

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

3.4提取小圆圆心位置坐标

三、题目二求解

---

一、任务分析

历年赛题

任务：CT标定，CT图像重建

知识：图像处理

标定模板为椭圆与球。CT测量所得数据为512*180的二维矩阵。

行数512:接收点个数，列数180:CT旋转次数。所成的二维矩阵并不是真实物体的成像，而是不断旋转的水平投影的叠加。

每个角度都有一个大小为512的投影向量，一共180个角度的叠加。

二、题目一求解

求解：CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离、CT系统使用的X射线的180个方向

题目分析：

标定 CT 系统的安装误差

模型建立：

（1）探测器之间的距离

模型求解：3.1读数据，绘图

表格一数据读取

• 
  ) T  i) x3 o3 s  r( I- i+ [8 q
  A=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls');
  
  
• 
  3 {$ v. i) \- L( k; f" @
  9 _# b! `" p4 I) W; vimshow(A)
  * u9 P# Z5 W# c, s7 |; e' J
  ) m0 O, G( ?( \+ @1 P
  

  L) i/ O5 c, o/ M

表格二数据读取

• 
  " D! g. D, L5 A+ v" N/ ^. J8 }! R
  B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  
  1 Q% U0 E6 r* {; T. H! ~  R6 q
• 
  
  X=1:size(B,2);
  
  
• 
  + Q5 d6 W& Y! X- J
  , D5 Z% \. x- R2 y4 G+ HY=1:size(B,1);
  6 _& y2 f+ d* C* ?: Q6 B
  
• 
  
  figure(1)
  ( n( o- x# F; Z8 f- q! J
  % M# X0 ^- {  y
• 
  3 W- w4 g* W4 O: A1 G
  mesh(X,Y,B)
  
  
  9 E, O3 H% C4 E* ^- ~* |# J; Q

3.2探测器之间的距离计算

• 
  ) a/ r8 w' r* M" V6 H
  & u  ?5 i: P% L- M( EB=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  * p, r' W7 [6 S3 t& Z9 ~
  , D8 a, l8 A1 A8 L$ |+ L
• 
  8 b' a8 |: C7 ]0 ?
  
  
  
• 
  ) h' ^' ~( h' c9 G  y
  figure
  ; V% o8 t7 S% L, J% Y- U
  
• 
  
  ( i+ e/ V# \' Q7 J, O( m% qlenb = (1:length(B));
  
  
• 
  
  6 V1 S8 R  P& {1 S! g& P' \; {3 o
  
  1 C- x6 r. c( v, F/ x
• 
  
  subplot(221)
  
  
• 
  ) O" o, [& D8 f9 M0 ?+ s; |" S
  % g/ b0 q% x- Bscatter(lenb( B(:,1)~=0 ),B( B(:,1) ~= 0 ,1),20,'filled')
  ; @  @. O, o$ Y
    E% m; ^: n3 X# W3 H& W( l6 u
• 
  
  3 G# U) Z! y6 Z9 u8 W+ ^+ ]1 ?title('1')
  7 H: t  Z3 J! u
  
• 
  
  ) j6 K0 I: s/ J4 G% Y
  
  1 O1 H2 X% ]1 \* G' G) {' \* L
• 
  
  + F/ l) c' j/ @5 u  R1 ^" z" W" _subplot(222)
  
  
• 
  2 E% I$ I2 i$ u9 u/ }' ?7 i
  4 J) C6 {8 Z5 R& Rscatter(lenb( B(:,6)~=0 ),B( B(:,6) ~= 0 ,6),20,'filled')
  9 }* z" h4 ]0 ~9 B2 j3 x
  $ I' s/ Q  \0 J" s: v- r" w& B2 v
• 
  
  " p0 {7 D6 \3 ^  }, d. j3 D0 gtitle('6')
  ) N4 a! P1 Q% E5 b
  
• 
  ' r' G( h; u/ m$ ]* }
  
  # O+ p) P; Y! X: z$ {
  7 W% [- w) g. h# T& s7 S2 ~# C+ n# x' n
• 
  
  subplot(223)
  8 s3 g5 U4 i9 M! L' N
  6 l1 ]4 r! {# o1 x5 `
• 
  
  6 G! p" [* I9 f" rscatter(lenb( B(:,11)~=0 ),B( B(:,11) ~= 0 ,11),20,'filled')
  
  & M. m4 F9 Y) ^( C2 z& U
• 
  
  : i2 z4 F  }; S1 }- Btitle('11')
  
  0 o  \# z$ ?4 I: o- E! m3 D
• 
  
  
    o$ |" v6 J. {
  ' ^% n% Q7 [% m
• 
  . W4 f* Z2 R% \4 E
  % W- w- K9 a' {/ G; Wsubplot(224)
  
  
• 
  3 l, H4 |& U1 ~
  scatter(lenb( B(:,60)~=0 ),B( B(:,60) ~= 0 ,60),20,'filled')
  
  
• 
  
  * B2 Q8 H/ G6 q+ O+ D; Y" stitle('60重合')
  
  
  # z' l. }+ I# f3 W2 D

图1:球投影29个点。图6:球投影29个点。 图11:球投影28个点。

解得，探测器之间的距离和小圆直径的不等关系式:  

由图即可解得近似解：

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

模板：小球与椭圆，小球投影为小圆。系统：CT系统。

模板与系统相对运动，一动一静。以系统为参照物，系统看做静止物体，则模板为运动物体。取第一个探测器为坐标原点，建立坐标系，解算

根据特殊点解得、与

. Q) D0 ^3 {7 [( t% r1 d! X0 t

点A:

点B:

点C：

解得

3.4提取小圆圆心位置坐标

分离段：取极值

重合段：边缘提取后，取平均值作为中心

得到180个小圆圆心，解得180个角度。

3.5参数修正

3.5.1 进一步确定旋转角度的范围

3.5.2 修正旋转中心坐标

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