7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

. r, v; k# G3 H. W# xa)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。


- W6 d2 t7 @9 F* N
2.    双层玻璃窗的功效：

! p4 s& `0 j" h. X* u% L) g& u! ka)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

1 V& J, W/ U( E$ m( I: `b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
4 q, j$ g# l1 S% z: {$ X5 D* h' N2 a
, B2 {9 J- b9 r# A7 ~* r. hc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
9 E1 D- v: n- W% |9 ^* K$ x' L* e- i
# N2 t" x1 C  x" q, Yd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

6 D- \/ A1 _  r  ]e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

  u- V! F8 @  H7 }. {

3.    划艇比赛的成绩：
+ O6 o2 [3 h6 e! @, r6 K1 ^9 a
1 L, V7 F  ?  s& z' @& qa)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
6 J' z. u' \' K; z3 F0 h
b)     属于统计，数学模型拟合类型；
& l! Z% s# f9 ~+ E
& Z7 T2 V8 d) E( v# S& Ic)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

0 j: a0 s1 k( ~- d% h4 Md)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

1 ]( P: H, }$ S$ N3 t4 je)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


; `) O& P, L3 P$ L5 n  m& d  P, D
2 D2 w0 L: g3 m' V8 w  `3 o4.    录像机计数器的用途：机理分析
/ _6 I9 V' m6 W$ u8 H
, k  |3 U+ i4 B7 z, Ca)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
6 j0 n5 \3 Q' [3 L$ C
- a) @8 k5 B& |; Q) Q问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
5 s5 Y/ C" j$ M5 ^6 e: T) O) W6 \' b$ [
# @1 n# T* l! o2 O# f: E- }8 u) Tb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
0 E" `; g0 f5 n! P6 u
8 z2 b7 q: O) e- {c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！



5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
) d( M. `4 s9 W- l
4 f) q9 G& Y) Sb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
& R% e. P* X4 K6 c2 }
8 ?* d  k  r' a1 bc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
! r. {3 b0 ~8 P; P0 R/ Q2 J9 {
7 L) O, D# |0 }& @; X
# `6 p1 i6 Q/ a) w; v. l
6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
+ R5 _% I5 e) f: a4 {
c)      模型建立，提出提高效率的途径。

8 x4 I7 W, B6 t9 `3 U

7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

! K' H. u8 ^  a9 ^- I" X4 H8 |c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
0 Q: n. a- \7 P+ I8 L) B
. o" o7 X( x% L( t8 L4 f: L
9 [0 @- C9 _2 j* t- ?9 R6 h总结：
7 V) U2 t3 m' F0 y& v. E  k% y
0 x  R8 v8 _  M3 G* Y  |1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

/ V! h2 X- g, Y9 k* s2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
: z+ t" c) P3 }8 U, Z# `
0 B0 E/ R& A, o/ ^+ R: l# {7 c3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

* l; ]1 L) Z. @4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
& [+ V$ b# v1 {6 I% d& R, O' h
2 y( U0 \6 g6 p8 Z5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

, W/ G% a2 C' D, H& _- n+ R6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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