7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

# o2 v& T' {# g1 Ha)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

, Q1 Y) c  Y) B. |( T% {) Bb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

- v* ?+ }1 i8 }; C0 k2 Tc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

  `( b; J* Q5 M  V9 p7 Q! T0 \
) d) M, U" V: s  H7 J# F
2.    双层玻璃窗的功效：
/ j$ e# L$ [3 S! T
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

# K3 s. T6 N. _# W7 U( s# tb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

) R3 G1 y: L; Fc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
6 t3 p2 u7 J/ I8 K
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
9 z  `: G6 X& w9 G
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
( |3 h. Y& O+ G+ E/ ^
% R2 U' W  V+ U6 [9 i! [; S

+ ~  ^; @, q" v. p( T; M7 o; c9 i3.    划艇比赛的成绩：
' v( V' X) n9 z$ H5 s( u! Q4 _- x
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

  t, Y5 R# G1 B0 t; V* f/ P, d, X

4.    录像机计数器的用途：机理分析
" R. Q; H5 K% {: M' L5 o; p
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
6 b3 b8 ^1 C$ Y# Z  E. b
: q+ h  g: V! o! Y0 Ib)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

2 ]" M- Z: X/ ?: [# `9 ~0 E  @c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

8 g& ~0 A1 Q+ ~2 \) od)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


6 T6 h/ z& j! o; V6 b- G0 D
( u4 Z! \9 {5 S- T! @3 o5.    实物交换：
6 W- ?; C( X# O3 W5 W  [" c- B
. H/ a, H4 S! [$ l9 Ia)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
9 e0 S7 t& q: U# ~
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

! q# @  k9 v7 s/ ]& d9 Lc)      根据不同假设，进行不同建模处理。



6.    传送带的效率：物理实际模型

2 x0 G/ F$ U3 Wa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

& R1 ~) A- a% I% Vb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
* v- g3 \* L% c' I9 q
) z. a6 V; \4 `  q  r7 zc)      模型建立，提出提高效率的途径。
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2 j1 j7 I4 L" x& v" a" [# ?  x

- L& I* v2 z0 G" E3 ~7.    起帆远航：
$ h% E1 V7 R( v- u" V2 u) M
a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

9 @& j0 k1 f5 Y( \' zb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
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' t1 q' b- D" [$ `c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
7 }+ f1 p* Q" o- }( h; B, i) q

2 a6 g' p: a, v1 U总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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6 [0 Y+ a9 o2 e5 C3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

" d( U6 K5 r- v4 r" m" A3 r$ H0 p  T5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
  A7 V" w- M9 `* h* @" }! p
6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
  e' ]" e/ h! o- b
( D7 `  k* _' j" i. a+ Y7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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