7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）
0 T* A5 k& G6 P' w" a6 {  g
1.    席位分配：
! f( S/ d4 A* T, q+ a
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
3 r* M$ w* l  w
2 u/ }. N6 b: m) o; Qb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
1 W7 Q  T2 n& J" A$ }  {/ G: ^
: S+ B, Y( r# _1 P" j: Hc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
5 N3 |) k( v/ u4 z; Z

/ ?( j$ Z  l% ^. F/ P! z
3 y, {7 U; \+ _$ p. }4 P! K: k8 L2.    双层玻璃窗的功效：
7 k3 h6 A5 r, O4 t. @+ S' v
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
0 n# H+ Y0 ?1 g8 y9 q; Q5 ?+ R
  G1 N2 M2 u% d0 n4 [8 E( k' Ab)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
& f. Y  c) L1 w) }. E! f( t
  _! W+ T# }4 w( {1 B; d) c$ A7 tc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
, B! H% P0 F' c4 V9 ^2 H, O: T
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

+ ?, }# N  C! p6 V

* D$ \" A- [4 u5 P- ]- Q3.    划艇比赛的成绩：
/ L6 P/ I1 @- W: o8 z" ]
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

9 p/ W* e. G7 x; v4 Pb)     属于统计，数学模型拟合类型；
0 Z  n* L  e! O
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
6 J9 T. X7 c4 @; C4 K0 p
  Q" M. c! X2 g) n' ge)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     



4.    录像机计数器的用途：机理分析

" W4 e- B- z6 aa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
. \! c- y, L1 Z' u6 {+ S
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

6 H4 |5 E2 {' l: Lc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

- ~" b' a* i5 i5 n' ?2 ?d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！



5.    实物交换：
/ d- X$ `0 j9 ^" n& ^
' G0 p. T, s! b' b8 E* Ga)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
+ v! T9 c% U# s$ G
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。



# V7 z" N7 F+ m2 j& r6.    传送带的效率：物理实际模型

% u/ p/ }+ }5 g% Q$ _, Ra)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

7 {8 \' g! N1 `c)      模型建立，提出提高效率的途径。
! `  N3 k0 a# S+ j# ]" k' Q" t7 x


& y1 d9 U$ ]( b$ N5 |7.    起帆远航：
) d- G/ c6 _0 E' B& }
a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
; x! v& R3 N7 T8 q# _% U
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
9 f  E4 |, j' b2 i6 [6 Q9 b, H
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
* i2 S. g. }7 V$ i/ K
6 z9 v' G' f. T% ^" r$ |6 Y+ T
; s% i( s2 Q& V* w: p5 e总结：

5 d/ B8 X* p6 e: P) |1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
2 V7 x6 f$ R; X1 C1 j. L/ P* b8 C
: O7 m* X, Q5 Y' E/ E! o2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
$ p" x, j" I# {+ K8 s
/ D$ Z6 h/ ~, l3 ]  C3 ~4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
* X; }* D; D( K( U
5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
6 j! G' d2 @: x7 [6 m
/ u6 M& l0 j/ r) d2 \6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
9 S, m* \: ?) d8 P9 f/ R% k
) U. Z* b& B: C) B( J/ c( h3 h: p7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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