7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
0 {: b: S: T3 e$ D/ D9 g$ `
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
, S8 n1 K+ v/ h, g# C" C- _
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
/ Q. f5 E/ D1 |& M, O$ f
  \8 s7 T: X3 U' Z4 p, V# u( _
6 W% \, ^" Q3 M' b+ u" i
2.    双层玻璃窗的功效：

) B( Q' c4 }! {) Sa)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
- ~9 _% E  z* ?6 [& t6 S- R
) ?! ~! h$ S. q; Z3 Me)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

. C1 g6 F8 I+ ]4 W# h

3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
4 v9 h" G9 M8 U6 o6 b+ ]2 P
  k6 z1 C( P1 ?5 s% ^b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
2 }/ ]' r1 y  \, S" c
; I# A" Z0 e9 l. N: jd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

2 s4 m8 D3 F( j4 K' [

5 s, Y8 w: p. ]4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
) z' ~" G* R7 |5 \$ `: K- b
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

4 s) M( K. T8 d4 T  a, B, o4 r9 e% Tc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
$ `1 N/ P& l& B6 p5 ]
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
* U& U3 ~/ ]( V' `

7 x& d5 D! n  R  U( B
5.    实物交换：
7 y% P% g2 @- C) v+ ^
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
$ n0 v# a3 v7 n9 v- F% r) k8 ^
# K3 ?- w. Q; Z- N7 u. Tb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

8 B% R/ _; ?3 _/ K+ ]c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
# E/ \8 P$ c+ k& K  s8 v# L
) s2 H: ]5 n: v" w- T( z% A; e

6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

8 h9 P& U' e1 W3 x8 ec)      模型建立，提出提高效率的途径。

! I, I1 f( F' n! `- N

& r' l" z/ s, S* z7.    起帆远航：

) T* V: h4 n$ R# r; H, p) y8 Aa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
3 i* M/ `* P) J* d' q4 `  ^
) X; U0 ]9 ^& c( F9 Xb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
. n# z6 e& J1 y9 M9 h+ \, q
9 _4 @1 f. @, p# o1 ~$ }
. S7 D/ \8 k- L5 E' A4 K+ q总结：
! @! r  e/ j* Q3 h. O
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

' |# t' ^; r& R9 h0 N& }$ ]2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
8 _3 Z% |2 S4 F  |; p0 n8 L
' a; Q& b8 ^& e9 D) H" h  z5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
( c; Q! A4 ~9 t  H$ q$ U
7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
---------------------
) {3 p7 ]5 _5 c