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TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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1-3、常用概率分布与随机数生成 本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布,包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布,并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法,并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。( l& e) `# d% ~; z$ b
9 r4 a8 Q) ?% Y' n! O 一、常用概率分布与服从该分布的事件举例5 t) x* x: E8 y1 A% L F/ ~
9 H: K% e$ F Z: i" M( s 在实际生活中,有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布,与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述,建议参考概率论教科书。
+ n/ t6 b: Y0 i
: c; N- e* H" y! X; Y2 i; o 1、连续型分布
, M1 d1 @0 m. }$ g* W: F' Y* D: @
/ E4 i6 K! a* t* _ A: N# S1 G: V (1)、均匀分布(Uniform)( D- I/ T5 H* X! }4 A/ E
$ X# Y3 c) o/ p! x2 H7 z( X. b1 I
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义,均匀,表示可能性相等的含义。在实际问题中,当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
. L% u% ]* D5 z+ I0 n & Y$ u( o2 t) Q6 ] m
概率密度函数: . o5 S) U1 ~/ j# y- y7 }
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
) |( r7 X8 Z. W7 ?9 I f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
9 v; g5 Z1 R8 J" Y: e 1 n, R4 u, |7 J7 `* j d$ |* }
$ t! f% L6 O c0 } 分布函数: & H5 w( h" ] ?2 [* i: V
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
- Z+ i" `/ {4 [3 h F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b4 ?- ?$ q( K8 D+ o9 H2 V
& ~7 E C) A: g7 a$ Y" k& z6 \, g
4 J) L4 B. R! l 适用模型:3 D' ?8 D) H/ t3 _. U
/ e( j3 J# k% {# K W6 R 在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
; {# g' K R0 j: g% d 1& u6 _$ X+ o0 W4 ~
(2)、指数分布
/ N7 q+ ?& s6 Z9 o; n ' v4 f: p$ T- B4 P! T
在概率理论和统计学中,指数分布(也称为负指数分布)是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布,即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟,它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外,还可以在其他各种环境中找到。5 V y% R6 [6 V9 k. j& A
* m& |; W* {, J9 H( f
概率密度函数: . w! i4 f) o* o3 K; T9 D
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
. ] @' P( b0 ^# E% ^ f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
/ e" ?2 O) w$ I+ o5 f# x ' M. h5 p1 c! b5 j
8 Q7 W9 Y! j9 |0 P/ [ 分布函数:8 v6 r3 l# B8 E5 I
( ]# f' t$ s: E5 G( C0 n
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
8 W6 D( B7 j; I) [6 n0 C F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
) v+ m y. n% b9 q$ k
6 {3 g" z8 y4 S4 d
g( N' n# c I) l- Z 适用模型:
m! g6 l0 m/ `4 j1 t) B ! a2 M/ ?" N1 w# I! m2 [
在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害。可以近似地作为2 J2 I* {+ W; H, K7 }7 t
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型,特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。. J' I9 b! G% V8 S: o
1$ ?6 J0 g- g4 A" N
2
# j5 h8 ?" n* Y+ u8 V8 n (3)、正态分布(Normal)(又称高斯分布)$ v. N' X8 D" U1 L
: @& f9 |2 P- `( }% H+ i- B) D* T 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。 $ `, ]' E; Z) d, A1 ]4 L6 Y
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2) : C! f# B6 Q, i7 U
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
. g1 Y% Y) @1 a! i+ Y
% `/ h" c+ Q1 Q: |0 d. n2 w( F 概率密度函数: / P5 d9 q5 |" P0 e. C
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
% @/ p# b2 P- k* K/ e3 B+ J f(x)=12πσe−(x−μ)22σ21 O" ~/ i& |- K1 L: n9 Q5 k- ^
|5 Z) C7 N3 s j a) E
. `6 p6 K' W1 S9 i" m+ e
分布函数:
" c% j* A( }' g) G F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt$ t, e( U: r; x n8 r. q
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt; {5 I3 i$ h7 h5 A
$ m3 `# u3 g5 I $ K, k) q9 w! g* o" l$ Y* ]( Z
适用模型:$ s/ ~- V9 E- V9 c" P$ l1 k
/ o0 w- G. L) y' H' O
社会人群生活水平
9 |/ q9 B1 @. b3 b- U- U* h 人群身高分布
, y D9 R0 C% ^7 Z 通货膨胀率和能源价格/ y/ ^- x1 Z3 o. d
考试成绩及学生综合素质研究(教育统计学统计规律表明,学生的智力水平,包括学习能力,实际动手能力等呈正态分布)
6 U m0 }- Y" d& i+ C 医学参考值(某些医学现象,如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量,以及实验中的随机误差,呈现为正态或近似正态分布;有些指标(变量)虽服从偏态分布,但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布,可按正态分布规律处理)
6 F% o* b5 F9 R' l& F7 l 1
$ _9 M" k3 o' N8 A2 H7 f) f* \ 21 G/ s7 [2 S5 v. R' ~
3
" Y# z# N0 t5 F% y: Y- t( E, \, J 4
& t4 Q; w* S1 [) \ 5. u) K2 t# Y" E: l: G3 E8 b$ k
2、离散型分布3 |+ w1 p) c L: \! S1 d. y" H
' F) k% d4 L2 V# |
(1)、二项分布(伯努利概型)
5 X# @' g2 Q: `3 `1 H
+ O) C6 v% h% j 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。
& \5 Q: X; g* _' k" B 在n重伯努利试验中,设事件A发生的概率为p,事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,…,n; P1 Q$ c1 n+ W0 x, d* H& ^' S
% j i3 S- B& O1 W. Z 分布律:) `( V6 u* T9 E, J
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)% j, [1 W' {& }$ S! M* {6 u# i
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)/ t* Q# d& ]$ @( N8 l' S
n=20,p=0.7时分布图像如下: / s' P3 b1 q- O) Q# V }. N J. h
& z3 ]9 d5 m% M7 {( u' @9 U 适用模型:: [# _! _, Q/ R/ r: n' e+ v1 U
2 ?6 |6 S9 n. J5 u9 }
打枪、投篮问题(实验n次发生k次)4 D: P( d" u8 A5 I6 y* @+ F2 ?" A
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题* h4 g" J8 l' r5 d
1) I% ]0 ~- }0 ?- \% }2 Q
2
/ c: @( m$ @& g: g (2)、泊松分布(n趋于无穷时二项分布的近似)
* j* t! k- m% V+ X+ W& @
$ O7 t: Z) ~! t7 @6 @ 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
) c, G' ?4 x0 F6 s4 L; \1 A
! \9 g0 ~# g2 m( ?5 e8 ^7 V 分布律:
* P/ M }3 N+ p/ x' ?! d P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)0 R/ v6 z) Z1 U! k' T2 e- A3 @) A
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
J2 f+ S0 U) q) r " ~7 C/ R0 y; J7 f1 e+ g/ Z
. x7 F& @) R4 t9 e; K $ ~% h( E( c8 |+ `3 U& A# }- L
zan