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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛--第四轮模型建立 3 I7 `" [+ P% G F2 v
: ]9 Q* m4 c; E0 j D- ?8 J O
' K* V0 w9 P P* v
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 --第四轮解析之模型建立与求解 ' W' G/ s5 g6 P t" B
4 f, u4 [0 [2 R* a) s; v
3.1 问题一模型建立与求解 ) S) U& ?( [. m3 p: W
3.1.1 新洛伦兹模型构建 4 t* ~9 U ^$ q. A- C
假设基于统计分布表示的收入分配的密度函数是 f ( x)，其中 x 表示收入，对应的分布函数为 F ( x)，则 p = F ( x)表示收入低于或等于x的人口比例。记收入低于或等于 x 的人口群体拥有收入占总收入的比例为L(p)，则应有 $ I' q$ P' `3 W5 E2 S
1 x L ( p )=mò0 tf (t ) dt , p = F ( x) file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps1.png
* b. ]' P7 I. _0 n6 O: aL ( p)称之为收入分配的洛伦兹曲线。收入分配的洛伦兹曲线 L ( p)在收入分配分析中具有重要地位，它表示人口份额等于 p 的低收入端拥有的总收入份额,因此 L ( p)是定义于[0,1]区间上的函数。按经济意义,它应满足如下条件:
3 @, ?. { V. E5 mL(0,t)=0， L(1,t)=1， L￠( p,t)30， L￠￠( p,t)30
: Y# p2 w" W, I即 L( p,t)在[0,1]上是凸增函数。
$ t7 a2 W8 n+ I) i9 S" A在分析与测算洛伦兹曲线的实际工作中,在只有分组数据可用的条件下,可以先估计收入分配的密度函数,从而得到相应的洛伦兹曲线,或直接估算洛伦兹曲线。国内外学者所提出的模型可以概括为三大类：几何计算法、分布函数法和曲线拟合法。几何分析法，是根据分组数据刻画洛伦兹曲线，利用这一方法不能得到洛伦兹曲线的表达式，只能用来计算基尼系数，但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线，所估计的基尼系数要小于实际值，尤其在数据点较少时，误差较大；分布函数法，是基于对指标的概率密度函数或概率分布函数的假设，估计其分布参数，然后对洛伦兹曲线进行估计，这类方法较为复杂，同时由于计算收入分配的概率密度的复杂性,很难提出合适的概率函数；曲线拟合法首先假设收入分配服从某一特殊的统计分布函数形式，如对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布、威布尔分布等，再据此为洛伦兹曲线选择适当的参数方程直接进行拟合、确定参数，由此估计出洛伦兹曲线。 9 H8 D4 \' B0 h- D' w) w9 t# g& S
为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数，本文通过分析洛伦兹曲线的特性，构建新的洛伦兹曲线模型，对洛伦兹曲线直接进行拟合。根据洛伦兹曲线应满足的性质入手，在查找相关文献的基础上，总结前人所做研究，构建 出满足洛伦兹曲线的新模型 L ( p,t ) 。 Chotikapanich（1993）提出较早的洛伦兹模型： $ a. }) L2 T8 D- L
6 3 ~% s8 i4 N% @4 R3 I$ M- b
3 N) E9 O9 R3 z" K
6 p* x/ }0 j' l' c
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# l. m) q$ f0 X' ]2 p
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9 E& J' k- `* p
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1 I- J* W& f7 s/ J! n7 H
| | | 2 X6 g0 M! s" u5 r6 r% \
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) o# M1 t2 j! z- dSarabia 等提出了基于经典帕累托分布的洛伦兹模型，其基本形式为： / ?+ |" m I, u" g; z
L ( p ) [size=10.5000pt]= 1 [size=10.5000pt]- (1 [size=10.5000pt]- p) b , b [size=10.5000pt]Î[0,1] | | 6 L, z9 b! ]. @0 @: I( _
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% ?8 G5 ^: v/ l2 h* s4 j5 U* N
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8 ^5 Z3 h. F( J' @) ~/ U* ^: ^
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5 f* e: V/ j8 u5 g5 R从（1）式出发，他们有提出了一族广义帕累托族的洛伦兹曲线模型，具体形式为：
( _: |7 }5 o0 Y1 D, i: V9 }L ( p )= pa(1-(1- p)b),a30,bÎ(0,1] |
% @# t p( z& V& b7 z# `; q& n
| 4 J% S; r( [9 K( h: B+ R3 s
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7 @1 p3 x+ y, v
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1 q/ i( m* b, g6 r
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* r. e; q* T: n. M
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* N. y7 e- f3 G+ O* A8 f. F! l# r
| 0 ~9 z6 J! C4 H, N+ k
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! {8 q y0 s7 ~( K/ P+ s% J h7 u
| " `" E, M! t! O, s
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) |4 |7 O1 N% O; I; S* V: N2 x
| $ ?- A7 M6 V2 b" l
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2 Y& G3 b3 b* [( y4 F# i' F/ f6 E
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~% `# _ J; e
| L ( p )= pa(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] |
% Y3 n$ ? v( L& ]# H. ]# f
| 3 d4 C3 K. u' o
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1 e% W6 M- e" A8 \
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% V- c1 F/ k! m
| L ( p )=(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] | 6 ]1 v" |( h" }! i6 A$ F
| ; N+ ~. x0 y9 ^, N ~5 ]& Y
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9 t" ]4 a$ f4 g B& ]+ @
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| 7 w" W. o7 m8 S4 a# Y( g$ a) d
| ( {* t2 a/ \/ o$ ^, U
| : K" ]; `( F; L( d% v) |$ g
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3 ~% s4 F8 p( y. H
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. H5 ^0 c& o$ L+ T
| " t c' o- |8 j F5 m9 B/ r
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$ J7 t, R# B" n8 b* `/ R
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8 l' |( w; U% z: q8 q
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% r9 c- p; j: W9 D7 K8 l" {! h
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6 W& o) c" {8 u% J
| 4 ^' F6 a6 O# S# J( E
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$ w) K, W. D0 y# k! ^% Q6 C( K
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| ! d5 ^- Y$ x3 N7 c$ x! j4 t
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' G! D: f M, e; S* e1 ~
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0 R! i2 \3 m- d- w' ?$ }5 H; X) e
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. b4 h- F& l. x5 L- S
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| 0 A3 s; T' G; ^5 _" v9 R
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4 f4 x5 b7 ]1 H6 _8 D
| ) b4 w! `% ^9 Z: q) f6 D
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| 3 D" o2 z# s5 |) n- @8 _; L8 I M
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) p( j/ U2 c( a2 d8 a- S" Q7 B
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2 ~( r) h6 _3 i
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3 a' e+ F) b5 Z5 Y
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2 u3 [, N1 P9 d/ ~5 Z) u" [ j
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4 L* M# C! ~$ b) K
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1 C9 W% N0 L7 b- N- W
| 1 m/ r* [+ j& o) k+ J; _0 U
| | 1 [ ]9 N8 ^! S; S
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3 w! R% N$ m; D5 R1 S" s* T
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| ( y# [2 r: ^" f6 r& J
| 5 f- D7 h8 Z3 ^' y
| $ k9 @4 n, q, k7 ^" Z# Q' }* @
| ( p& [0 b) Y9 _/ G
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+ o% a* M3 I { q. K
| * {( V- q: C/ ]6 P9 ~/ N
| | | | | ) s2 i% h5 \7 Q! k: I
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: E2 F) e* I' ^$ }$ t
| | ( v$ M: l6 C" A2 ]2 q
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i t& F+ x' X5 _
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0 T. M" z. e* f7 B: D: o: T- q
| " |7 n; T; ~* M) m( m7 i
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, D8 W' x; L; D4 v. B& v, @) B
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8 A8 I3 S0 ? \( Y; j7 O, H3 o4 M
| | + ^% j% r4 L7 [( ?+ J
| | 4 q5 L& a, u1 A a
| . ^" e' P+ } {' R& r/ R u
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- B: M l6 ^# N6 w5 l
| | ' ?- r+ ~& g4 x' }8 W' q# y! [8 Z5 q, u4 F
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$ ^+ h8 Z2 i) G: @9 ~3 xOgwang 和 Rao（2000）曾提出用两种混合的方法建立洛伦兹模型：加权积（weighted product）及洛伦兹模型的凸组合（convex combination）。并且得到凸组合模型（8）满足洛伦兹曲线性质：
8 r$ w$ h. J' q5 e; Q- b | ; _4 N5 F9 [- D
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3 O- W! a8 R v. H% K- y+ t
| | 7 j& ~7 N Q" x) S+ y
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) B. J+ ]$ j* H: x4 K6 W( A; T2 G+ e5 j
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. z/ d& _5 r0 A/ \& K2 {
| | | | | + w6 z2 t* D4 V+ f
| | : P' G9 _1 L& z2 F) v$ x; i2 `
| | | + s# H: w2 j; {, n1 {' a, v9 U
| |
0 a4 S! ?/ W' \! n8 w8 S
|
更一般化的经典洛伦兹曲线模型为王祖祥（2007）提出的如下的二元参数模 3 d7 Q& y2 m# y
型：
4 C3 H' Z! O* d0 M1 D- J9 a | ( p ) [size=12.5000pt]= 1 [size=12.5000pt]- (1 [size=12.5000pt]- p ) b e[size=14.0000pt]-g p | | |
; T: H; o3 c: H
（9）式所表示的二元参数模型作为一个洛伦兹曲线的参数估计模型使用时 8 X2 a& B; \/ R; [
比基于帕累托的广义洛伦兹模型具有更好的性质。
- T. o( }* w+ r& B现在的研究成果已经证明：假定 L ( p) 为洛伦兹曲线，则对于任意的a 3 0 和 2 x; D1 ?1 C' O4 g1 t1 c4 N6 W
| | 6 F1 O. V& d5 x( z
| - T4 {/ Q. Q9 f: f$ g0 a$ g
| | 9 m) \ e5 C; `2 Z% k+ X
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5 G) D8 D M) O+ x/ l0 C
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3 c- n1 W. j; T% o
| - F! C6 z/ V/ g7 [ J
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3 U9 e4 q4 B j0 }3 z7 T' V4 w
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: s2 {: p$ f0 _! {
| 都有 L' ' '( p)30，则当a30，h31 / 2 | | ) a5 @) }4 f- G2 L7 V" g4 T
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4 E2 m/ {4 Q) k
| , c. C+ ^1 o% j5 I! D
| 且a + h 31时，L ( p) 也是洛伦兹曲线。 |
6 {! k% k- n) r S
|
/ H, i& K0 d7 }; A/ X国内外的专家学者在研究洛伦兹模型方面做了大量的工作，王祖祥、
" `4 m( C, W* E, ~Sarabia 等提出了一系列的洛伦兹曲线模型，除上面提到的公式（9），如：
$ K' Z# o6 y8 k7 m8 G
) {5 L: k3 z. n* ^ g' e. J5 c) B6 [8 o; Y9 } s+ P
7 8 w2 j, ^ C1 G
$ S) ]/ u9 R8 |6 d7 pL ( p ) [size=11.5000pt]= pa |
3 S; D" b' k4 I) |
| | ; p4 H; @! a B
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, b$ _! f0 \* U' W9 d* ^3 D
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$ Z# f# M# ?, V7 K
| . ?6 M' T: @- m- b. c( X
| 6 H% Z! M" t' b, W" P! p/ |
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1 U' _. V0 `; I' D8 P# M
| * x7 _! J8 F) H2 g! a8 }
| $ g8 k8 \" f% G
| $ r- L8 u O5 `: @4 H$ K
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4 P9 q) x" p$ ]/ L' c' K/ J
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- M* N6 ^% Y$ Z$ }8 D i1 V1 t
| & k4 Y1 p3 b9 U( t* I
| | 8 Q, t2 ~4 H+ g
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9 g% J1 D+ h( N
| # N, j" i8 Q9 n& [8 W
| 2 {( C/ Z) ]6 ~( \
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( k; Z) a/ C9 k+ i- f! I. F! ~
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) t; d9 n z6 L3 D) {" c/ Y" t
| ) H. \6 ]" `, a
|
+ `& g; B$ [) X) i
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. V# s. x* m& Z
| $ Y2 r# a/ P) a! r6 |3 |, U" ]& b
| | & `- u# J' p4 H" m+ E0 V- ^/ C
| | * h+ B! ?9 L P6 u) _- Z7 E e% b
| 5 u$ j) B1 x! I4 U! ~2 [
| % y* e, [; }% X' e" J- L
| 6 \3 X1 k/ {& @" O$ h) M1 b# |
| - e% [, N* [2 K
| " O% v8 F& u) O" r8 u w( q' g
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4 ~8 i5 u8 o+ G i# p: L* \
| * H" M# s7 s. `
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3 N" s( L0 N/ Y3 w+ M
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" c4 Q9 O: ^, L; u) p% |
| | 5 B: `% U7 x; b3 _
| ! f) z2 P$ W5 c" S2 L R
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, \; p Y) b! ]3 W
| | " t9 n# E0 ~- V# u3 u; G
| 1 ]5 O, q0 Z6 ]3 N" G7 O
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+ c# V/ Q6 G0 K
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. G6 v8 E, _& U% [: i. W
| 4 b2 J* s: i: D3 }" j. n. m4 S# [
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* h! `9 F$ g$ q# }. I
| 5 E2 h; _& z% F9 L+ y$ X
| 2 [ Y" W9 L3 ^/ J
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0 r/ \: p* A9 v. k q
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; F9 ]( j- w+ n5 z
| | 9 o; d4 m8 @' Z+ W
| | | 9 R8 U2 e* T" M$ b4 x3 ?- d
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( l( Z( G1 ]# B! B% k: A
| 9 Z* d: P. V+ T3 R' Z
| | " S& y5 H5 C4 U$ C
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; t+ {0 ? @; O' g
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, e% B; s7 u: z* u! D
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1 j J8 U+ J+ P/ |7 p
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; U: D1 p" t# K. r4 r6 t! {
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4 E9 n8 Q( E, I5 Z! I
| : x+ L) o; c; J6 v# c
| | ) `) z) e. F. T* }1 p
| | : K/ {3 O8 {/ s! [+ C+ l- E4 {, h
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2 u- H# x% Y3 y
| : p m+ a1 C: I+ X
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* k: }7 B& p4 Z2 q2 b
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5 d' h5 @/ t6 R/ u
| ' A: x# Y [0 d6 \9 U, p% Q% T
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, L* m$ y+ M4 j! G/ i
| | ' r4 y2 @; J j5 j- I
| # A1 g* X' l: m/ u0 h8 s' U
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6 p( t% X4 w8 l( H
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7 K7 h3 e" [; c6 u$ v" J( a8 h6 _
| 3 D7 o/ c. C) U1 f4 G
| , w2 y4 {& F9 _5 P) g
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. g9 Z0 ~2 W6 D2 \; ~" w4 p
| L ( p ) [size=12.0000pt]= [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p ) b ]a [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p)h ]l | 9 I+ E9 b5 g2 Z, n! U
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* B0 u7 B1 v) W/ a' f$ X. c
| 6 N% s5 l7 v J0 P
| 9 ^6 w3 h9 M. w2 w. E
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( o, C* i- \. ?
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1 Y( t) ?; K$ |/ M* Z
| L ( p ) [size=12.0000pt]= p | | | | | |
: a1 O0 m, Z0 a
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, _+ h }8 p3 w4 U$ j6 \8 Q2 O
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3 T. _$ K! M3 s. i# l& `0 }
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+ S# g" L8 ?- D& B
| 1 x5 I1 A+ \! S; r3 \
| % H8 p: `' W+ v: M: h
| | " k, N- }# p( w# i) P" @3 Q
| 2 [4 Q4 d9 E& m* ~
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: D. [7 k# K0 g; }+ o; {
| z ?9 l5 Z( a' C8 l" t0 ?
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在研究现有文献基础上，按照洛伦兹曲线应满足的性质以及推导定理，本文构建了基于指数成份的洛伦兹模型 L( p,t ) ，形式如下： * y0 \. E% t: Y' j5 v
L ( p )=[1-(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] | | # N, R2 g4 T, y$ ]/ U$ w/ R1 f
|
2 K8 s& b$ I; ]$ ^
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4 g g) U. j2 `1 D* B$ M. p
| 其中， 0 ￡ a + b ￡1， 0 ￡ g + h ￡1。 | 8 C* h8 O& \! L/ H) m' U
| 4 Z' ?) a. S1 y( B# k! _
| | 7 _8 A: q3 S. b$ f( k/ f6 w
| 6 V; I2 z3 Y/ {5 |0 }
| |
, Q8 W4 H* \: x. m6 q
|
& t5 {/ r% B3 x% M
| | # \, k+ D4 H j( M/ d4 Q3 f4 R
|
, M* \; B/ K& ~& h
|
# g% M$ u0 k! O+ w# @L'( p )=[a(1- p )a-1 e -bp][1-(1- p )g e-hp]+
$ p( U) b; y( [2 J6 z[1 - (1 - p )a e - b p ][g (1 - p )g -1 e -h p + h p (1 - p )g e-h p ]
/ I' p) V3 y. G1 g3 `- _在满足条件 a + b 3 0 ， g + h 3 0 的情况下，当 p Î[0,1] 时，满足 # R! y# q9 l/ J$ ^( |) ]- F% X
L'( p )30。
$ R1 F8 M4 b( v: d0 eL' '( p )=[a(1-a)(1- p )a-1 e -bp-ab p (1- p )a-1 e -bp+b(1- p )a e-bp - z4 X3 t4 g, x0 [. M6 K4 _
- ab p (1- p )a-1 e -bp-b2 p 2(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp]
1 q( U% v$ F' Y+ 2[a (1 - p )a -1 e - b p + b p (1 - p )a e - b p ][g (1 - p ) g -1 e-h p
- p( d H. y3 S; b+ h p (1- p )g e -hp][g(1-g)(1- p )g-1 e-hp
8 N: C* g# }8 z. ~+ o- gh p (1- p )g-1 e -hp+h(1- p )g e-hp 0 t+ D) Q, a/ h# ~' S# g
- gh p (1- p )g-1 e -hp-h2 p 2(1- p )g e -hp][1-(1- p )a e-bp] & g6 e, M: k, }+ h/ R
= [(a + b ) - (a + b ) 2 - b 2 p 2 (1 - p )](1 - p )a -1 e-b p ( U8 M, M- Q$ m- T4 y
+ [(g + h ) - (g + h ) 2 - h2 p 2 (1 - p )](1 - p ) g -1 e-h p
1 e5 o3 Y% m( F8 g& W4 H当满足条件a + b ￡1，g + h ￡1的情况下，当 p Î[0,1]时，L'' ( p) 3 0 。 7 z4 c) Y8 x' m9 R, F
综上所述，新构建的洛伦兹模型模型（14）式满足洛伦兹曲线的定义及性质， 6 a+ A: x: H6 F0 s
8 # s3 {6 f3 `# a9 N- c' n2 D
0 F4 b. A ]$ T8 j4 F& j" O- ~- \6 o! ^$ ^7 H4 v: d; H
可以用来拟合题目中给出的数据，并且与现有经典洛伦兹模型做出比较。 8 u y% k$ [3 s: I
3.1.2 模型的计算与比较
$ e: B2 h8 O& I& {* {, @7 s) v有关收入与人口的数据一般情况下可以得到收入人口分布的分组数据，这种数据的完整形式为(pi ,xi file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps2.pngm)，i=1,2, ,n或者(pi,Li)，i=1,2, ,n，其中xi是收 7 ^6 ^$ f3 U) Q/ J2 N% b
入区间点，满足 0 ￡ x1 < x2 <
+ \& x+ ~3 a" y9 F7 Z' r2 t |
IP卡
狗仔卡
发表于 2019-9-26 11:26
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