数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
- Q2 X2 y; A4 h医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

指数模型
7 K% M: o& q- H* ~定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

. M% L& d' v; T  P  l+ {将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
( T$ m2 A1 {1 d8 ?% d& s+ Ji(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
/ I: X; O. D1 Li(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
0 c! [' A! J7 o# Y, O! O1 H0 s
" U: Q& s( L6 K  L7 H2 `以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
- }# f8 A1 T8 l; ~4 L3 r3 f& DdeltaT = 0.01
lamb = 2
% }1 g# S! G" D/ \i_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
6 v- V( b, d! l4 X" k% N' c##
0 p: o1 X! c0 G4 p$ Rfor i in range(TotStep):
5 G0 G. [- w' Q    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)

1 p* T+ |* n, b0 L将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
; ^* ?; C6 ]' E9 B2 j4 Z2 S

- d& d, X/ E- R# e( c% d( I实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
7 U- i* u7 K9 o
SI模型
9 p" {  M/ K) |3 [现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

: W+ l+ U7 Q& U9 o; W+ t5 [N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
4 R( t2 q" z+ j. g- uN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

% R% T) Q7 v, s& i+ a消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
' S# C8 V5 f8 Z' D
6 P4 N! ^. }: G' c: f同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
, ^. g' ^- l1 {8 |9 G9 g
6 {/ J: r) o( U+ b, T, uimport matplotlib.pyplot as plt
8 V& p+ c+ c) P% J8 h4 p%matplotlib inline
deltaT = 0.01
: ~3 v, I# ]; o4 q: Q7 Y9 qlamb = 2
i_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
3 y% x5 v, J: l6 P$ zTot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
3 I! b8 y. o7 o# s9 i7 h5 O" X5 w##
0 w9 `1 u5 N" F0 {5 Vfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
6 L- H# _/ k9 T+ r) M+ {    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
$ ]0 I7 y% n% Splt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
% i& ]1 e% Z) W* u; z: O9 V  O' ~plt.ylabel('i(t)')

% g% c  e  W- f0 B1 q5 V8 @1 P! ]从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

. E, w- G# z: c( z9 B/ R然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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