数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
7 W- d% f% N8 H" [6 G% Q医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
- o) @3 k. L3 h% w! U
) A" ^4 `( |9 K: c4 v0 S指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
% i# t! ^0 r. P+ ?( P) j8 oi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
- w) N, j' Y4 b( ^i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
3 K' E" H" q6 o7 b4 r. di(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

5 y& q) _+ `) r以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
9 E6 X% S7 I! H+ M8 r! Q%matplotlib inline
6 X/ l4 z7 a) adeltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
  F: u- f* l( ^- q; f% w  GTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
" k2 c+ p- W3 O##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)

将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
9 O0 j5 w4 l% U5 Z  D2 Q- W9 `
" P+ Z" W! V! l7 a( z+ E" U& _9 w
实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
: g3 d# F, d1 h, g+ d$ y- u
在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
) B8 s! U' s) w) g3 C# q仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
0 y, i. J6 @4 O! P6 |
+ i) w' d% @6 B7 x- `N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
) G3 ^5 w; K9 j( {# Y2 h! yN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
7 R2 W: j' M/ M% M" Pi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
5 c8 T, Q# T& }, r5 V
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
6 |' L" i% V# K8 P1 O* N- `
$ N8 b/ `+ R' f8 s; F& G3 |import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
& ]( ~0 K. O0 X) `( [0 @9 ]1 MdeltaT = 0.01
- E5 ^9 T' W$ i6 ]( `3 O/ qlamb = 2
i_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
$ |" a9 B; Z/ e+ t8 j+ }2 e# j6 {i_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
# N* `) i1 e) f8 m1 t( G##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
* E1 t% W1 H; I- N    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
' z# P6 q" v$ zplt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

5 V; r# r( P# i8 }6 J9 ?然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
8 {: p- i: P4 R! s% ^————————————————
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& t6 n0 _3 ?) p0 N6 s$ W, j