数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
0 V, h7 }7 ]+ D+ [# P1 N
指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
' e7 j6 Q; \, r2 ^( qi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

! O: r+ x6 G& b+ g+ n: j5 \以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

* D. x6 I7 m( ?" k& K& `import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
$ R" b. s8 }0 n# s2 F3 ^) Fi_list = []
! K( \- U' ]8 l" `i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
$ s9 U5 G$ L3 `* u! p3 ~( x) qi_list.append(i0)
7 c7 l$ ]" q) y7 S: J  \( A. D1 x, |Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
8 N, `2 c7 Y8 p) l$ cfor i in range(TotStep):
" m$ U6 _! m- d5 c/ m7 e) s    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
9 E* n9 _) z" _. U: E- Q2 B; k    i_list.append(i_new)
2 J% R" z& a% j' tplt.plot(i_list)
( R- f3 K3 s: f& V9 K
将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
( v7 H9 l! {0 Y  y# }
; P. V0 D! O* M7 v  j3 o
  {' W, ~& ?/ Z; J" ~实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

, }, U  J  Z3 `9 R/ kSI模型
- \. S/ k1 T1 G& Q现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
7 |. q# W1 e( R7 W. R
; }1 C' [/ ]0 J' A! C2 ?* O在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
! `$ U- c7 V) G, J( D每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
; U* O3 Y; d/ V1 R. j仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
: @* B( e; |2 X' d9 KN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
  A' l6 G) Q0 _' x) [# Y/ }* i3 q/ O
消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
! \; [8 a. r/ Z$ q8 t9 di(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
, g4 ~' t8 |6 d8 N2 x& o+ D$ yi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

" e9 g' Z8 ?8 s& [$ m同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
) a' }3 m6 ]  E% a6 t
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
% Y3 E# X3 b6 \: G1 ^& }' @- h  Elamb = 2
- ?, m5 {' r$ \) J5 ni_list = []
; w3 y0 w; ?, R/ z: _6 B, ys_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
1 c+ O& y. I0 [% j  ]/ j# H7 ji_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
. E) T! Y. O: l0 G7 F" e) E) RTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
/ r7 ]- p# l5 K3 L% u" E##
% C& Q) f- t  s( ofor i in range(TotStep):
3 L- _+ A' _% D- \) P+ u$ f9 V    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
# g% }+ o9 |4 `0 U: K4 |, i    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
. h3 `3 H9 t6 g" K8 v3 y1 q7 Rplt.plot(Time,i_list)
1 D( c0 f$ A% ^2 m& ]* oplt.plot(Time,s_list)
6 g1 m( Q1 b& T  I: V1 hplt.title("SI",fontsize = 20)
% b: l" {$ N( Rplt.xlabel("Time")
. Y0 |. @# i0 W& ~% c" E$ Q' J" _! Aplt.ylabel('i(t)')

' b) w% I/ ~0 f. b$ O! K0 G) _7 ~! q从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

) ~3 q* q) L1 V/ |! W然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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/ s' ^5 K, ^7 h8 o原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383
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