数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
- N$ m8 g* Z6 J5 P/ M+ i3 H0 a, t
6 ?: Z1 @1 e" v, m! D: Y. S/ o指数模型
) G- @) X- U7 A- H' h7 W定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
; W& x9 a; C' h6 K* d% }2 R' Ti(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
% v( S4 Y6 P& Z7 q/ w
( d/ {5 N2 C. R  l( {- N; z( q将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
- O+ t8 J$ c& i  O- fi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
) j( J- N! m. e
+ `: i1 Z7 b4 @( t# I. f以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
: _/ ?8 g7 N; u6 ^( W' J$ h9 gdeltaT = 0.01
% M; a. \8 l, z3 Ulamb = 2
i_list = []
3 l9 L3 A# P: N6 M4 |" Ji0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
. w) r- ^1 R  I, L. V3 [i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
0 h$ n- h! }; [# F* A5 ITotStep = int(Tot_Time/deltaT)
" e4 h9 V- k5 A6 i1 n##
3 B0 q' [7 \3 q% u0 [5 X+ @for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
! i2 [7 p  [% ^' y9 L# N% W3 nplt.plot(i_list)
4 y4 h$ f7 l! }8 G8 f
8 \/ R; c+ H6 f% d将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
6 \( m  e. ^% \/ M( h7 a

1 F% V2 o* w6 C) H# O' o' R实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
$ S8 v( e0 }1 p$ d
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

; j) ]8 \+ E- k7 g3 Y2 WN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

# M5 m1 O0 ^& c; F3 Q( t, O- D  ]同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
- `$ h1 ]/ W0 H" |3 f
$ }: K* c" S5 {& r- N+ X9 pimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
1 X& }5 x, i* J5 [deltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
3 r& U+ B4 X, r' _+ ts_list = []
' W, V) j4 d0 `9 t- C5 _1 Mi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
& H+ e+ C# c; ws_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
8 b* N6 e4 Q6 P( p  R5 [1 e' ^for i in range(TotStep):
$ f3 r4 D; i. B4 m$ ]) ]    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
. z) D' a' H6 Y8 T7 z+ c    i_list.append(i_new)
* r6 }( Q' n0 N# f- E! _0 |    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
- N* P' T! [( B, Kplt.xlabel("Time")
+ B/ h; e. d$ ]" @1 Tplt.ylabel('i(t)')
9 ~# g% b( m( R# e9 P* b& X- w
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
* M/ Z% E; o4 v* }; @( }( |' f
1 I# F2 `2 W* e( @7 D然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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; C) w9 D% s! k$ w3 v) i7 @原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383

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