数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
' q  h2 n: h. t! I( x* w医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

指数模型
' B5 D" H- q  q" g) i) W' _定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
6 x4 `/ J. \  e) {7 `4 F1 R0 fi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
- Q5 r$ H7 }8 W6 s7 Yi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
8 p( E; S! h  j, }) Ei(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

+ U. T$ k) }8 [. r% Z) H4 _* N以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

. i+ ^4 p* _1 P2 K" Y2 _4 w! jimport matplotlib.pyplot as plt
2 q9 u2 v9 ?) n+ z/ B$ g3 T%matplotlib inline
deltaT = 0.01
3 S. m. `& Q* Y. g7 blamb = 2
# b% M4 p0 m2 B5 e# j" E0 qi_list = []
, d3 g2 W0 u( F- Bi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
, o- U$ }* X1 \2 y4 k4 D6 Gi_list.append(i0)
Tot_Time = 10
  f" I# Q7 O4 w: OTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
  W5 \; O. p- l' g  v4 m    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)
- ~% |, Y. x  s: S
% s$ p2 `- A; x2 I: D0 ~- m将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
0 ~5 {6 Q* X6 u

0 J7 |( h( N1 i- j" m1 `实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
- X9 }3 w0 ]8 y3 q
SI模型
& ?8 G  y1 D$ s5 E& P- m4 e现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
) v" R6 g* U! y1 l* v( R( Y8 @每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
  m0 G" B0 b: @/ l8 z9 }- z
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

5 B) ]% q$ Q8 B" Q: @! D* `: e1 m消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
3 B6 q) r  K2 a6 `5 e5 Y; C/ Vi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
2 k; h/ i6 M6 k. a* [# xi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
7 t3 v! \8 d# K" {" G& p
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
6 h7 k1 k9 J* }& Q4 elamb = 2
. s! d; l0 T- ?. li_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
, X' X% g/ W+ a( X% [i_list.append(i0)
+ K' M/ _5 W) K7 ^+ is_list.append(1 - i0)
: ?: \+ o! _' n- x% e1 ~- YTot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
9 y1 a/ N5 T( O- Mfor i in range(TotStep):
+ b( v' z8 q: E2 w    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
6 q/ g; `2 n) T5 N    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
" C+ d$ p, D6 _plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
8 W0 M* a. a; V1 l& Iplt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
9 K/ w1 o/ |8 j8 e) n/ d- Xplt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
$ n6 ~- p6 t$ s* g4 n
然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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) ^  Z2 |0 k  }  [0 m: Q