数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
" e0 ~* r! h: D0 r) h. b医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
. B% b3 w* w+ S2 A+ D" `
指数模型
8 h- o6 X1 ?- W- k7 B定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
" E# F3 B, [4 J: z& _7 z( ii(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

# h8 S) N' d" f, Q* n将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
6 e! v) T2 `- B2 q& zi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
  K( }8 l8 n1 R
- @0 X9 x. M# }9 [以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

; b3 M% B( }/ C, o4 f7 E, q3 Timport matplotlib.pyplot as plt
( w1 ]8 b# R4 R, ], H& X: e  `# D%matplotlib inline
( w2 O- p# V+ YdeltaT = 0.01
" z+ p, K& s7 a) ~% z' Vlamb = 2
i_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
$ @2 L  ~$ n! P5 g% [5 ETotStep = int(Tot_Time/deltaT)
$ T& R: q" T+ s" h- A3 _##
/ f: n/ ^* D' m7 Tfor i in range(TotStep):
6 x& v$ O; V# C# E# E    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)
$ c% l/ }3 H+ I  I. y
7 ^; @* t: h& E: ~6 W; V将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
2 G, d8 p, D- O

. |1 [# w" }4 V实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

8 j: I' r4 G$ n+ a5 k* b5 S0 s6 E! eSI模型
9 L, }: o  u6 N7 G+ }' Z现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
$ H$ N' I' P7 N$ |7 E3 K) K+ `
) j" {. }( O0 i( C在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
! F; |' V; ?0 `3 X/ S仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
; Q* e& K" R8 Z' G# s
7 |7 d* n; G5 ^; g1 ~7 O! aN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
( X# e4 T% s8 f% i6 z4 QN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
5 H# m) _+ }, Q' Ji(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
) w2 w& L4 X8 ^( C( ]: ?%matplotlib inline
" B& c" c1 o( EdeltaT = 0.01
lamb = 2
6 c, T. w- {! B  M/ {i_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
4 r  w" I0 |2 R1 f: Qi_list.append(i0)
" P; X  [7 R5 a* e) Ks_list.append(1 - i0)
/ a6 F/ a7 K* V$ fTot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
3 d7 P7 ?! c  t0 D0 _. `6 Hfor i in range(TotStep):
0 }; G" Z/ ]8 ^    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
  u! p, d, ^4 t! y    s_list.append(1- i_new)
( ]- `, ]2 o: K' _Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
  K+ L9 y3 f2 M5 \1 @( I) W. `plt.ylabel('i(t)')
0 O- K, o0 w& ~1 F8 H9 x% E4 ]
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

  C' E7 t; }1 u/ ~9 `( s然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
, j) p9 @9 X& `$ z+ z! s————————————————
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. p# z. O# z) p6 F1 M" `