数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
+ ^. C. g2 g/ n
8 G$ u8 O1 b$ C. a1 x) C1 z4 x  z. i指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
# v9 {" P5 U3 J+ [4 bi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
* h# A' v" Q& n- v5 C/ i3 ui(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
* b( E: H  O/ t+ g; O/ v
以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
  c/ ^4 G4 P( D  i) C# {0 O" L) q7 D
import matplotlib.pyplot as plt
, x3 `2 w3 K' X0 a, a. k6 @4 {%matplotlib inline
( E; H. r& g2 r: y  }6 UdeltaT = 0.01
lamb = 2
8 a' h. t8 }  I' W8 c' _5 q1 B( hi_list = []
$ t5 p; b; e7 u# w# a+ ^1 m' g- L/ ki0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
3 D7 s7 U5 a/ X5 s, R" X/ ?i_list.append(i0)
4 ]9 j7 K5 i, g+ \7 @Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
' _4 d' e) q# r9 e: Y6 K3 s, n9 _##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
1 J5 D% U$ W' N    i_list.append(i_new)
; u4 L' f6 x5 r9 {& I* ~plt.plot(i_list)
* _$ z( S  V7 f( \, M! c
将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
5 Z9 `+ p! W; E4 _- c/ x# R

实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
: h, |- k7 ^: D2 K! @% X
SI模型
  @7 n  q5 \  F% d2 M. d5 G现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

4 t0 j- }; a" N1 R6 k在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

5 f4 x2 J/ n1 r3 u+ T9 ?. LN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
8 b1 B# S& {; T$ |" p( S+ MN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
  V6 R4 {" C" n3 n. v, l9 Q: D
消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
* v, F4 X) w0 `- g$ A7 C8 oi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
! w% v9 @/ l9 z$ bi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
5 \( W; q1 w5 \# b0 x
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
8 L* A" W& b7 ^% M( ]%matplotlib inline
deltaT = 0.01
" y; S  {$ \1 K) U5 T2 Rlamb = 2
i_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
7 A1 g/ N- B% l" `7 R( o+ z" [' @i_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
4 |6 S; n; J/ y- LTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
0 g6 e- i) v, M: ~* R##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
) W2 S& w2 e+ N" R  x. p    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
- @6 P, _3 b5 K" V; e9 tTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
, @7 E9 R. T  m$ F% K$ e! D. pplt.plot(Time,i_list)
7 L+ H; p3 O9 ~! T& F$ F6 R% X6 Q3 `plt.plot(Time,s_list)
; d3 j3 i. ^, f" h7 M) Oplt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
: T% V# y, v/ |: m9 C  cplt.ylabel('i(t)')

; e4 [. R. l8 _6 I! \2 k从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
% Y6 q4 ]$ d8 q9 E( m  A. ?( u- h————————————————
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/ p+ p- E0 |- u& B- I! D